19. Нелинейное безинерциальное преобразование. Корреляц-ые фии на выходе генератора гармоник

Р/м безинерциальную систему, связь между процессами на входе и выходе которой дается чисто алгебраическим выражением вида

(6.1)

Далеко не все реальные нелинейные системы можно считать безинерциальными В большинстве случаев их можно представить в виде последовательного соединения нелинейного безинерциального звена, и линейного фильтра с частотной характеристикой K(jw).

Р/м прохождение узкополосного случайного процесса

через генератор гармоник , нелинейное звено которого работает в соответствии с выражением

(6.3)

а линейная часть представляет собой полосовой фильтр, настроенный на частоту mw₀ и имеющий полосу пропускания Dw << w₀, то есть выделяющий из сигнала только гармонику с номером m

Видно, что при четном n генерируются только четные гармоники, а при нечетном n – только нечетные. Гармоника с номером m описывается выражением

Средняя интенсивность этого процесса равна

где

Отсюда вывод: относительное распределение интенсивности процесса h(t) по гармоникам (то есть – его спектр) уменьшается с ростом m, а его форма не зависит от характеристик входного процесса. Величина КПД генерации гармоники существенно зависит от распределения огибающей r(t) входного процесса. Обозначив дисперсию входного процесса s², получим . При чисто гармоническом входном сигнале (r(t) = const, j(t) = const), получим , а при входном процессе, соответствующем стационарному гауссову шуму с рэлеевским распределением ампдитуды, найдем. Таким образом, КПД генератора гармоник (по любой гармонике) при гауссовом возбуждении вn! раз больше, чем при гармоническом.

Рассмотрим спектральную плотность G_m(jw) гармоники с номером m сигнала на выходе генератора гармоник.

Если входной процесс является узкополосным, стационарным и гауссовым с корреляционной функцией B(t) = s²R(t), то корреляционная функция выходного процесса B_h(t) = <hh_t> может быть представлена в виде ряда по степеням R(t):

Здесь

Коэффициент корреляции узкополосного случайного процесса можно представить в виде

При четном k можно записать:

где

Можно сделать вывод, что автокорреляционная функция гармоники с номером m определяется формулой

Взяв преобразование Фурье от полученного выражения, можно найти спектральную плотность интенсивности гармоники с номером m. Если спектр входного процесса симметричен относительно частоты w₀, то Q(t) = p(t)/2 – вещественная функция,

а функция Q_m(t) – вещественная и четная (поскольку p(t) = p(–t)). Таким образом, спектральная плотность интенсивности m-й гармоники также симметрична относительно частоты mw₀.

В качестве примера р/м генерацию высшей гармоники nw₀ (m = n), считая спектр входного процесса симметричным относительно w₀.

Для спектральной плотности входного процесса и высшей гармоники получаем

Введенные здесь функции g_i(w) определяются выражением:

Например, если функция p(t) имеет вид

получим

Таким образом, если спектральная плотность интенсивности процесса на входе генератора гармоник имеет форму лоренцевой кривой, спектр высшей гармоники также будет иметь лоренцеву форму, но в n раз шире.

Аналогично при

получим

Видно, что если спектр входного процесса гауссов, то спектр высшей гармоники тоже гауссов, но в данном случае уширение составляет раз.