9. Моменты случайных функций

Моменты случайной функции определяются так же, как и моменты случайной величины. Например, момент n-го порядка определяется как

Смешанные моменты случайной функции могут быть построены но основе самых различных комбинаций ее значений, взятых в различные моменты времени.

Смешанный момент второго порядка носит название корреляционной функции и имеет вид

Очевидно, при t₁ = t₂ = t B(t,t) = <²(t)>.

Центральный смешанный момент второго порядка

при t₁ = t₂ = t равен дисперсии случайной функции (t,t) = D[(t)]. Нормируя его, получим коэффициент корреляции:

|R(t₁,t₂)|  R(t,t) = 1, а если значения (t₁) и (t₂) статистически независимы, то R(t₁,t₂) = 0.Для случайных функций, можно ввести условную функцию распределения, например

Тогда можно записать:

Для случайной функции можно ввести и условные моменты, например, условное среднее:

Тогда корреляционную функцию можно записать в виде

Поскольку для стационарных случайных процессов одномерная функция плотности вероятности не должна зависеть от времени, моменты n-го порядка таких процессов являются постоянными величинами:

Соответственно, функция корреляции стационарного случайного процесса зависит только от временного сдвига:

Ясно также, что и функция корреляции, и центральный смешанный момент второго порядка (), и нормированный коэффициент корреляции R() должны быть четными функциями временного сдвига, то есть

В рамках корреляционной теории обычно используют более широкое определение стационарности, по Стационарной в широком смысле или стационарной по Хинчину называют случайную функцию, функция корреляции которой зависит только от временного сдвига  = t₂ – t₁ и конечна при  = 0.

10. Эргодические случайные процессы

На практике приходится иметь дело с одной системой, которую можно наблюдать в течение какого-либо времени. При этом можно найти среднее по времени

которое, также является случайной величиной. При этом

Предположим, что (t) – стационарный случайный процесс. Тогда средние величин (t) и совпадают и равны некоторой постоянной величине:

Найдем дисперсию среднего по времени:

Осуществим в последнем интеграле замену переменных ₁ = ₂ – ₁ и ₂ = ₂ + ₁, эквивалентную повороту осей ₁ и ₂ на угол /4 (при этом, очевидно, ₁ = (₂ – ₁)/2 и ₂ = (₂ + ₁)/2). Разобьем площадь, на которой осуществляется интегрирование, на два треугольника, как это показано на рис. 3.1.

Рис. 3.1. Замена переменных при вычислении дисперсии среднего Получим:

Теперь запишем неравенство Чебышева для случайной величины :

Таким образом, если выполняется условие

(3.7)

то величина сходится по вероятности к статистическому среднему приT  , то есть

(3.8)

Условие (3.7) называется условием эргодичности Слуцкого для стационарных случайных процессов, а удовлетворяющие ему или выражению (3.8) случайные процессы называют эргодическими.