Экзаменационная программа курса

«Статистическая радиофизика»

Минимальные требования

ОТВЕТЫ НА МИНИМУМ!

1. Дать определение частоты появления события и сформулировать аксиому измерений.

Если в серии из N экспериментов, выполняющихся при определенном комплексе условий, событие A произошло n раз, то  = n/N – частота появления события A в N экспериментах. Ясно, что тот факт, что при N экспериментах n раз произойдет событие A, также является случайным событием, а частота появления  – случайной величиной.

Предположение, что называется аксиомой измерения. Ясно, что 0  P{A}  1.

2. Записать формулу полной вероятности и формулу Байеса.

Если есть K взаимно независимых событий A₁ … A_K, причем вероятность P{A₁ + A₂ + … + A_K} = 1, то есть одно из них непременно произойдет, то говорят, что имеется полная группа из K гипотез, тогда для абсолютно любого события В

- формула полной вероятности.

- формулу Байеса.

3. Сформулировать закон больших чисел и теорему Бернулли.

Рассмотрим случайный процесс (где - попарно независимы). Для всякого

 > 0 выполняется равенство , которое называется законом больших чисел или теоремой Чебышева.

Говорят, что если для всякого  > 0 справедливо , то последовательность _N сходится к числу a по вероятности. Сходимость по вероятности обозначается следующим образом: .

Согласно теореме Чебышева

т.е. - теорема Бернулли: частота появления события A сходится по вероятности к величине p – вероятности события A в математическом смысле, - другая запись теоремы Бернулли; то есть среднее арифметическое сходится по вероятности к математическому ожиданию.

4. Записать формулы для распределений Гаусса, Релея и Пуассона.

- нормальное распределение (распределение Гаусса), для которого , .

- распределение Пуассона.

- распределением Рэлея.

5. Дать определение характеристической функции и записать выражения, связывающие ее с функцией плотности вероятности.

По определению характеристической функцией называется среднее от комплексной экспоненты

<exp(ju)> = , где

6. Сформулировать центральную предельную теорему.

Пусть ₁,…, _N – набор независимых случайных величин, средние значения которых равны соответственно <_i> = a_i, дисперсии ограничены и равны M₂(_i) = _i² < C < . Если для любого  > 0 выполняется равенство

,

то случайная величина имеет распределение, равномерно сходящееся к нормальному при N   независимо от распределения слагаемых.

7. Записать выражение для плотности вероятности одномерной функции случайной величины.

Пусть существует функция x=g(y), обратная бесконечно дифференцируемой функции y=f(x), тогда функция плотности вероятности одной случайной величины через другую:

8. Привести вид пуассоновского импульсного процесса, сформулировать предположения, при которых он рассматривается и записать выражение для вероятности появления n импульсов на интервале [0, t].

Рассмотрим импульсный процесс вида:

являющийся функцией случайных величин _i,  _i и  и сделаем ряд предположений:

1. Предположим, что функция F(t) затухает достаточно быстро, то есть .

2. Будем считать, что величины _i и _i статистически независимы между собой и их распределения не зависят от номера i. Фактически это означает, что 2-мерная функция распределения этих величин распадается на множители:

.

3. Пусть вероятность появления импульса в интервале [t, t + dt] не зависит от времени t и количества предшествующих импульсов и пропорциональна длине интервала dt: dP = dt,  = const.

Здесь (x|n) – условная функция плотности вероятности величины (t) при условии, что за время T появилось n импульсов.