28. Тепловой шум в линейных диссипативных системах. Теорема Найквиста

Любой реальный двухполюсник может быть представлен в виде последовательного соединения идеального двухполюсника Z с источником шумовой ЭДС e_ш(t) или в виде параллельного соединения идеального двухполюсника с источником шумового тока i_ш(t), как это показано на рис. 9.1.

Рис. 9.1. Эквивалентные схемы реального двухполюсника

Связь шумового тока с шумовой ЭДС определяется интегралом Дюамеля

(9.1)

где h_z(t) – импульсная характеристика двухполюсника.

Спектральные интенсивности процессов на входе и выходе линейной цепи связаны с помощью соотношения

(9.2)

где Z(w) – полное сопротивление двухполюсника

Найдем среднюю рассеиваемую двухполюсником мощность:

Выражая отсюда полное сопротивление двухполюсника, учитывая сопряженную симметрию Z(w) получим

Здесь также учтена вещественность и четность спектральной плотности интенсивности G_i(w).

(9.3)

Рис. 9.2. Последовательное соединение двухполюсников. Рассмотрим два реальных двухполюсника Z₁ и Z₂, последовательно соединенных с помощью третьего Z₃, имеющего чисто реактивный характер (рис. 9.2). Их полные сопротивления равны

Если рассматриваемая нами система находится в состоянии ТДР, выполняется принцип детального равновесия, то есть мощность P₂₁, порождаемая источником e₁ в двухполюснике Z₂, равна мощности P₁₂, порождаемой источником e₂ в двухполюснике Z₁. Запишем эти мощности:

Поскольку P₁₂ = P₂₁ при любом Z₃ = jX₃, можно записать

или

(9.4)

Из полученного соотношения между прочим следует, что при R_k(w) = 0 соответствующая G_ek(jw) = 0. Остается найти явный вид функции u(w,T).

Для решения этой задачи рассмотрим высокодобротный последовательный колебательный контур из элементов L, r и C, заряд на конденсаторе которого описывается дифференциальным уравнением второго порядка

Будем считать, что и выполняется принцип равнораспределения (кстати, с точки зрения статистической радиофизики, это соответствует эргодической гипотезе), то есть на каждую степень свободы контура приходится энергияkT/2, то есть

(9.5)

Найдем входящие в выражение (9.5) величины, учитывая высокую добротность контура, то есть :

Здесь Z(w) = r + jwL – j/(wC) – полное сопротивление контура. Учитывая, что резонансная частота w₀ может быть произвольной, получим

или по-другому

(9.6)

Полученное выражение для спектральной плотности интенсивности источника шумовой ЭДС называется теоремой Найквиста. Выражение (9.6) позволяет записать вид функции u(w,T), входящей в формулу (9.4):

u(w,T) = kT/

Выражения для спектральной плотности интенсивности шумового тока:

(9.7)

Рис. 9.3. Реальный резистор

где Y(w) = 1/Z(w) – полная комплексная проводимость двухполюсника.

Р/м пример – реальное сопротивление, модель которого с учетом паразитных индуктивности и емкости показана на рис. 9.3. Полное сопротивление такого двухполюсника равно

В соответствии с теоремой Найквиста (9.6) спектральная плотность интенсивности шумовой ЭДС равна

и, как видно, не зависит от L.