14. Спектр процесса на выходе линейной системы

Р/м систему, связь между входным x(t) и выходным y(t) сигналами которой описывается линейным дифференциальным уравнением вида

Реакция такой системы на произвольное входное воздействие нах-ся с помощью интеграла Дюамеля:

Где h(t) – импульсная характеристика системы, равная нулю при t < 0, x(t) – начавшийся в момент времени t = 0 входной сигнал. Для входного сигнала, начавшегося бесконечно давно

Р/м в качестве входного сигнала стационарный случайный процесс ₁(t). Поскольку любая физически реализуемая цепь имеет конечное время установления (релаксации) _р, можно считать, что h( > _р) = 0 и записать выражение для средних значений процессов на входе ₁(t) и выходе ₂(t) системы:

Выходной случайный процесс ₂(t) также стационарен. Найдем его функцию автокорреляции B₂():

Здесь введены обозначения

Выражение для спектральной плотности интенсивности процесса на выходе:

Осуществляя в интеграле по d замену  –  =  и подставляя явный вид функции (), получим:

Здесь

частотная характеристика системы. Подставляя полученный результат в выражение для G₂(j) и учитывая, что

получим:

Мы нашли связь между спектральными плотностями интенсивности входного и выходного процессов:

Полученное выражение позволяет не только найти спектральную плотность интенсивности процесса на выходе линейной системы, но и определить физический смысл этой функции. Рассмотрим в качестве системы узкополосный фильтр, частотная характеристика которого имеет вид

Считаем, что ширина полосы пропускания фильтра  настолько мала, что в ее пределах можно считать G₁(j) = G₁(j₀) = const. Тогда средний квадрат шума на выходе фильтра равен

Спектральная плотность интенсивности процесса на частоте ₀ – это энергия данного процесса, приходящаяся на единичную полосу частот вблизи ₀.Вместе с теоремой Винера-Хинчина запишем функцию автокорреляции процесса на выходе системы

15. Распределение вероятностей на выходе линейной системы. Теорема о нормализации

Р/м линейную систему, на вход которой подан стационарный гауссов процесс:

причем то естьПоскольку все моменты стационарного процесса постоянны, его двумерное совместное распределение можно записать в виде:

где

Любое одномерное распределение гауссова процесса должно удовлетворять нормальному закону:

Случайный процесс на выходе нашей системы можно записать в виде интеграла Дюамеля:

Поскольку в этой сумме все слагаемые ₁(nt) имеют нормальное распределение, их сумма, взятая с любыми весами, (то есть ₂(t)) также будет распределена нормально, но с другими моментами.Запишем

Р/м другой случай – процесс на входе системы не является нормальным, однако для него система может считаться узкополосной, то есть  << _G, где  – полоса пропускания системы, а _G – полоса частот, где G₁(j)  0. На основе соотношения неопределенности можно утверждать, что при таких условиях интервал корреляции входного процесса ₁ будет существенно меньше времени релаксации системы _р: ₁ << _р. Выберем временной интервал  так, чтобы выполнялось условие ₁ <<  << _р и перепишем интеграл Дюамеля

где

, N = _р/ >> 1. Поскольку  >> ₁считаем, что величины _n некоррелированы, а выходной процесс ₂(t) является суммой большого числа некоррелированных СВ; тогда в силу центральной предельной теоремы он является нормальным процессом. При прохождении через узкополосную систему любой стационарный случайный процесс нормализуется – в этом состоит суть так называемой теоремы о нормализации.