1.Случайные величины.Распределение вероятностей.Аксиома измерений.

Предметом теории вероятностей являются массовые явления – длинные серии экспериментов при определенном комплексе условий. Если при воспроизведении данного комплекса условий результаты экспериментов также воспроизводятся, процесс называют детерминированным. В противном случае процесс является случайным.

Каждому результату эксперимента можно поставить в соответствие некоторую величину или событие. Если в серии из N экспериментов, выполняющихся при определенном комплексе условий, событие A произошло n раз, то  = n/N – частота появления события A в N экспериментах. Ясно, что тот факт, что при N экспериментах n раз произойдет событие A, также является случайным событием, а частота появления  – СВ. Введем вероятность случайного события A как величину, мало отличающуюся от  при больших N. Предположение

называется аксиомой измерения

(1.1)

Ясно, что 0  P{A}  1. Для двух взаимосвязанных событий можно ввести условную вероятность P{A|B}, то есть вероятность возникновения события A при условии, что произошло событие B. Из частотного определения вероятности следует, что

P{A|B} = P{AB}/P{B}, P{B|A} = P{AB}/P{A}

(1.2)

Отсюда

(*) Безусловные вероятности P{A} часто называют априорными

(1.3)

, а условные P{A|B} – апостериорными. Если события A и B независимы, то в соответствии с (1.2) P{A|B} = P{A}, P{B|A} = P{B}, то есть P{AB} = P{A}P{B}.Если есть K взаимно независимых событий A₁ … A_K, причем вероятность P{A₁ + A₂ + … + A_K} = 1, то есть имеется полная группа из K гипотез, то

(1.4)

формула полной вероятности.

формула Байеса:

(1.5)

Р/м непрерывную или дискретную случайную величину  как результат некоторого эксперимента и поставим ей в соответствие множество случайных событий, заключающихся в том, что  = x_i (для дискретной величины) или

x <  < x + x (для непрерывной величины). Закон по которому каждому значению x_i (или интервалу x) ставится в соответствие вероятность того, что  примет это значение (попадет в этот интервал), называют законом распределения. Аналитическим выражением закона распределения является функция распределения. Введем интегральную функцию распределения как F(x) = P{  x},ее свойства: F(–) = 0, F() = 1,

F(x₁)  F(x₂) если x₁  x₂.Производная интегральной ф-ии:

(1.6)

называют функцией плотности вероятности.

-ф-ия плотноси вероятности для дискретной сл. Величины.

Среднее значение произвольной функции случайной величины f() как

для непрерывной величины и

для дискретной. Для любой случайной величины можно ввести моменты n-го порядка, которые определяются как среднее от ⁿ. Для непрерывной и дискретной случайных величин момент n-го порядка равен соответственно

Среднее или первый момент случайной величины называется математическим ожиданием:

Центральные моменты:

Центральный момент второго порядка называется дисперсией:

Р/м ряд примеров распределений случайных величин. Пусть эксперимент имеет только два исхода – либо происходит событие A с вероятностью P{A} = p, либо событие B с вероятностью P{B}= q = 1 – p. Тогда вероятность того, что при N испытаниях n раз произойдет событие A определяется биноминальным законом распределения:

(**)

Моменты этого распределения:

Первый и второй моменты:

Дисперсия:

Вид биноминального закона распределения (**) при p = 0,1 и различных значениях N показан на рис. 1.1.

Рис. 1.1. Биноминальный закон распределения

Будем увеличивать число испытаний N так, чтобы произведение Np = m₁ = <n> оставалось постоянным (вероятность p при этом будет уменьшаться). Сделаем ряд преобразований выражения (**):

Известно:

получим

(1.10)

распределение Пуассона (рис. 1.2).

Вычисление моментов этого распределения дает:

Формулы для первых двух моментов и дисперсии распределения Пуассона имеют вид:

Рис. 1.3. Распределение Муавра-Лапласа

Устремим в (**) N к  при постоянной вероятности p = const (p  0 и p  1). Получим

(1.11)

распределение Муавра-Лапласа (рис. 1.3)

Эта функция описывает нормальное распределение (распределение Гаусса),

При больших значениях n можно пренебречь дискретностью и от n перейти к непрерывной величине  с функцией плотности вероятности вида

(1.12)

Эта функция описывает нормальное распределение (распределение Гаусса), для которого

Вид распределения Гаусса показан на рис. 1.4.

Рис. 1.4. Распределение Гаусса