Экзаменационная программа курса «Статистическая радиофизика»

1. Вопросы.

1. Случайные величины. Распределение вероятностей. Аксиома измерений.

2. Закон больших чисел. Теорема Бернулли.

3. Совместные и условные распределения

4. Характеристические функции.

5. Центральная предельная теорема.

6. Функции случайной величины.

7. Пуассоновский импульсный процесс.

8. Случайные функции; их задание, сходимость, непрерывность и стационарность.

9. Моменты случайных функций.

10. Эргодические случайные процессы.

11. Функция автокорреляции случайного процесса.

12. Спектральные характеристики случайных процессов.

13. Корреляционная теория случайных последовательностей.

14. Спектр случайного процесса на выходе линейной системы.

15. Распределение вероятностей случайного процесса на выходе линейной системы. Теорема о нормализации.

16. Узкополосные гауссовы процессы.

17. Спектр колебаний с флуктуирующей частотой.

18. Классические методы спектрального оценивания.

19. Нелинейное безинерциальное преобразование. Корреляционные функции на выходе генератора гармоник.

20. Марковские процессы. Уравнение Смолуховского.

21. Марковский процесс с дискретными состояниями.

22. Двумерные случайные блуждания.

23. Уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова.

24. Стохастические дифференциальные уравнения. Случайные функции с независимыми при­ращениями.

25. Усреднение точного решения стохастического дифференциального уравнения.

26. Уравнение для средних и его связь с уравнением ФПК.

27. Уравнение Лиувилля. Случайный телеграфный сигнал.

28. Тепловой шум в линейных диссипативных системах. Теорема Найквиста.

29. Дробовой и фликкер-шум. Шумы полупроводниковых приборов.

30. Шумы усилителей.

31. Корреляционные и спектральные характеристики случайного поля.

32. Электромагнитная волна в статистически неоднородной среде.

33. Анализ случайной дифракции методом ММА.

34. Плоская случайная волна в диспергирующей среде.

35. Корреляционные функции одномодового и многомодового лазерного излучения.

36. Анализ флуктуаций многомодового лазерного излучения.

2. Задачи

1. Установление колебаний в генераторе происходит по экспоненциальному закону A(t) =A₀exp(t), гдеА₀- случайная величина. Найти:

а) закон распределения амплитуды колебаний в фиксированный момент времени;

б) закон распределения времени достижения фиксированного значения амплитуды.

2. Найти закон распределения и среднее значение случайного модуля радиуса вектора , если величиныxиyнезависимы и распределены по нормальному закону с нулевыми средними и одинаковой дисперсией².

3. Найти распределение вероятности случайного сигнала на выходе квадратичного детектора, если на вход подается нормальный шум, а характеристика детектора имеет вид y=x².

4. На цепь, состоящую из последовательно соединенных полупроводникового диода и сопротивления, воздействует стационарный нормальный шум с нулевым средним значением и дисперсией ². Характеристика диода имеет вид:

где u– напряжение на диоде. Определить среднее значение и дисперсию тока в цепи.

5. На резонансный контур воздействует случайный импульс f(t). Найти соотношение между площадями импульса на входе и на выходе контура:

если он описывается уравнением .

6. Выразить спектр случайного АМ сигнала s(t) =a₀{1 +(t)}cos(₀t+₀) через корреляционную функциюB() и спектрG() модулирующего процесса(t).

7. Найти спектр случайного ФМ сигнала s(t) =a₀cos{₀t+₀+(t)}, если случайная фаза(t) распределена по нормальному закону.

8. На вход ФНЧ с полосой пропускания , описываемого уравнением, подаётся шум(t) с нулевым средним и функцией автокорреляции видаB() =²exp(–||). Найти мощность флуктуаций на выходе фильтра <x²>. При каком соотношенииишум(t) можно считать белым?

9. Показать, что _k=, если ширина спектраи время корреляции_k определены следующим образом:

10. Стационарный случайный процесс x(t) =a₀cos(₀t+) имеет случайную фазу, рас-пределённую равномерно на интервале [a,b]. Найти корреляционную функцию и спектр этого процесса для случаев, когдаa= 0,b= 2иa= –/2,b=/2.

11. Найти спектр шума на выходе квадратичного детектора, если на его вход подается гауссов шум со спектральной плотностью интенсивности G₁(). Какова форма спектра на выходе, если на входе спектр прямоугольный?

12. На вход перемножителя подаются два статистически независимых стационарных случайных процесса x₁(t) иx₂(t). Выразить спектр сигнала на выходе умножителя через спектры процессов на входах.

13. На вход RC-фильтра с полосой пропусканияподается белый шум. Используя уравнение фильтра, найти мощность флуктуаций на его выходе <x²> .

14. На элемент низкочастотного фильтра воздействует внешняя сила, случайным образом изменяющая параметр фильтра. Исходя из уравнения фильтра определить порог параметрической нестабильности для первого моментаm₁= <x>. Получить уравнение для моментаm_n= <xⁿ>. Определить порог параметрической нестабильности дляm_n.

15. Найти стационарное распределение вероятности для процесса x, удовлетворяющего уравнению, и вычислить стационарные значения моментовm_n= <xⁿ>.

16. Найти отношение сигнал/шум на выходе узкополосного фильтра с полосой пропускания описываемого уравнением, если на вход подается аддитивная смесь белого шума(t) с нулевым средним и функцией автокорреляции <(t)(t+)> = 2G₀() и полезного сигналаs(t) =s₀=const. Под отношением сигнал/шум понимать отношение мощности полезного сигналаи мощности шума <x²(t)> на выходе системы.

17. Найти отношение сигнал/шум на входе и выходе узкополосного фильтра с полосой пропускания h, описываемого уравнением, если на вход подается сигналf(t) =a₀cos{₀t+₀) +(t). Спектральная плотность мощности шума(t) равнаG_()=G₀²/(²+²).

18. На вход RC-фильтра с полосой пропусканияподается белый шум(t) с нулевым средним и функцией автокорреляции <(t)(t+)> = 2G₀(). Используя уравнение фильтранайти мощность и корреляционную функцию флуктуаций на его выходе.

19. На вход узкополосного фильтра с полосой пропускания 2и резонансной частотой₀подается белый шум с нулевым средним и функцией автокорреляции <(t)(t+)> = 2C(). Используя уравнение фильтранайти мощность <x²> и корреляционную функцию <x(t)x(t+)> флуктуаций на выходе.

20. Найти флуктуационную энергию магнитного поля в последовательном RLCколебательном контуре.

21. На вход идеального усилителя с частотной характеристикой вида K(j) =K₀/(1 +j) подключена после­до­ва­те­ль­наяRLC-цепь. Найти мощность флуктуаций на выходе усилителя.

22. Найти показания вольтметра в режиме измерения действующего значения напряжения, подключенного к выходу реального усилителя с частотной характеристикой K(j) =K₀/(1 +j). Ко входу усилителя подключена цепь, состоящая из параллельно соединенных сопротивленияRи конденсатораС. Известно, что приведённое ко входу значение шумового напряжения равно λ.

23. Определить собственные шумы (приведённое ко входу значение шумового напряжения) операционного усилителя, если известно, что при подключении на вход резистора R₁шум на выходе составляет, а при подключении на вход резистораR₂–.

24. Вычислить среднее значение и дисперсию случайного процесса вида

y(t) = A₀cos(₀t + ) + A₁exp(–₀t),

если известно, что случайная фаза распределена равномерно на интервале [0,], а случайная величинаА₁ распределена по Гауссу со средним значениеми среднеквадратичным отклонением.