- •1.Случайные величины.Распределение вероятностей.Аксиома измерений.
- •2. Закон больших чисел. Теорема Бернулли
- •7. Пуассоновский импульсный процесс
- •8.Случайные функции: их задание, сходимость, непрерывность и стационарность.
- •9. Моменты случайных функций
- •10. Эргодические случайные процессы
- •11. Функция автокорреляции
- •12. Спектральные характеристики случайных процессов
- •13. Корреляционная теория случайных последовательностей
- •14. Спектр процесса на выходе линейной системы
- •15. Распределение вероятностей на выходе линейной системы. Теорема о нормализации
- •16. Узкополосный гауссов процесс
- •17. Спектр колебаний с флуктуирующей частотой
- •19. Нелинейное безинерциальное преобразование. Корреляц-ые фии на выходе генератора гармоник
- •20. Марковские процессы .Уравнение Смолуховского
- •21. Марковский процесс с дискретными состояниями
- •22. Двумерные случайные блуждания
- •23. Уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова
- •24. Стохастические дифференциальные уравнения. Случайные функции с независимыми приращениями
- •25. Усреднение точного решения стохастического дифференциального уравнения
- •26. Уравнение для средних и его связь с уравнением фпк.
- •27. Уравнение Лиувилля.Случайный телеграфный сигнал.
- •28. Тепловой шум в линейных диссипативных системах. Теорема Найквиста
- •29. Дробовой и фликкер-шум. Шумы полупроводниковых приборов
- •30. Шумы усилителей
- •31. Корреляционные и спектральные характеристики случайного поля
- •32. Эмв в статистически неоднородной среде
- •33. Анализ случайной дифракции методом мма
- •34. Плоская случайная волна в диспергирующей среде
- •35. Корреляционная функция одномодового и многомодового лазерного излучения
13. Корреляционная теория случайных последовательностей
Р/м применение корреляционной теории к случайным последовательностям. Дадим ряд определений.
Случайная последовательность стационарна в узком смысле, если для всех ее конечномерных распределений и для любого k выполняется равенство
где mi – номера отсчетов последовательности. Случайная последовательность стационарна в широком смысле, если соответствующая ей автокорреляционная последовательность зависит только от сдвига индекса, то есть
и конечна при n = 0, то есть . При этом, очевидно,B[–n] = B*[n].
Случайная последовательность называется эргодической, если выполняется равенство
Критерий Слуцкого для случайной последовательности:
|
На практике чаще всего случайная последовательность представляет собой эквидистантную выборку случайного процесса с интервалом дискретизации t. В этом случае спектральная плотность интенсивности может быть определена как ДВПФ автокорреляционной последовательности:
(4.13) |
соответственно
. |
(4.14) |
Для чисто действительных случайных последовательностей B[–n] = B[n], поэтому выражения (4.13) и (4.14) упрощаются:
.
Так же, как и для случайной функции, спектральную плотность интенсивности случайной последовательности можно выразить через ДВПФ самой последовательности:
|
Корреляционная последовательность, так же, как и сама случайная последовательность, является выборкой корреляционной функции, то есть
Возникает вопрос, всегда ли по автокорреляциооной последовательности B[m] можно восстановить функцию автокорреляции B(). Для ответа на этот вопрос введем дискретизированную функцию автокорреляции
Соответствующая этой функции спектральная плотность интенсивности совпадает с ДВПФ автокорреляционной функции B():
С другой стороны, BD() может быть представлена в виде произведения исходной функции B() на дискретизирующую последовательность (t), то есть
Из этой формулы и теоремы о свертке следует, что ДВПФ функции автокорреляции Gt(j) равно свертке спектральной плотности интенсивности процесса G(j) со спектром дискретизирующей последовательности (t):
Поскольку (t) – периодическая функция времени, ее можно разложить в ряд Фурье, коэффициенты которого равны
и записать ее спектральную плотность в виде
–циклическая частота дискретизации.
Пользуясь фильтрующим свойством -функции, получим связь ДВПФ автокорреляционной последовательности со спектральной плотностью интенсивности процесса:
ДВПФ Gt(f) автокорреляционной последовательности представляет собой сумму (наложение) сдвинутых на f/t копий спектральной плотности интенсивности процесса
Если функция G(j) ограничена частотой max (то есть
G(|| > max) = 0), а частота дискретизации fd удовлетворяет условию Найквиста:
(4.17) |
то копии функций G(j) при наложении не перекрываются, как это показано на рис. 4.2, а. В этом случае на интервале частот –d/2 < < d/2 ДВПФ (4.13) полностью совпадает со спектральной плотностью интенсивности исследуемого случайного процесса и его функция автокорреляции может быть восстановлена по своим отсчетам с помощью обратного преобразования Фурье (4.14), вычисленного в пределах [–d/2, d/2]. Случай, когда условие (4.17) не выполняется, показан на рис. 4.2, б.
Рис. 4.2. Наложение спектров при дискретизации случайного процесса