34. Плоская случайная волна в диспергирующей среде

Р/м источник поля, находящийся в точке z = 0 и порождающий плоскую волну со случайной комплексной амплитудой вида

Случайный процесс A₀(t) будем считать стационарным, а его автокорреляционную функцию положим равной

Решение линейного уравнения может быть записано в виде свертки

где

функция Грина.

Умножим уравнение на A^*(z,t₁) и сложим с тем же уравнением, записанным для A^*(z,t₁) и умноженным на A(z,t). Получим

При усреднении этого выражения все производные по времени исчезнут в силу стационарности рассматриваемого процесса. После усреднения останется

Таким образом, функция автокорреляции (а значит – и спектральная плотность интенсивности) рассматриваемого процесса постоянны по координате z:

Теперь рассмотрим модель источника излучения в виде импульса F(t) с шумовым заполнением (t):

При этом будем считать, что (t) – стационарный случайный процесс с нулевым средним и корреляционной функцией

а максимальное значение огибающей импульса F(t) равно F₀. Приведенные условия соответствуют, например, задаче о распространении цифровой информации по оптоволокну, которая заключается в изучении изменения формы и длительности импульса при его распространении по оптическому каналу. При этом, естественно, форма и длительность импульса на входе канала (то есть при z = 0) зависит только от вида огибающей F(t):

Из выражения (10.18) видно, что амплитуда импульса A(z,t) зависит от разностного временного аргумента  = t – z/u:

Область интегрирования в этом выражении определяется интервалом корреляции случайного заполнения, который можно записать в виде

В дальней зоне, где , можно считать, что

тогда интеграл (10.19) принимает вид преобразования Фурье

а интенсивность определяется выражением

(10.21)

Таким образом, в дальней зоне импульс превращается в спектрон, форма интенсивности которого совпадает с формой спектра исходного импульса G₀(). Однако по мере роста координаты z высота импульса уменьшается, а ширина – увеличивается, то есть импульс «расплывается»

35. Корреляционная функция одномодового и многомодового лазерного излучения

Р/м квазимонохроматический (узкополосный) лазерный сигнал

E(t) = a(t)exp(it + i(t)), где a(t) – случайная амплитуда, обусловленная флуктуациями коэффициента усиления активной среды, (t) – случайная фаза, обусловленная изменением показателя преломления среды, длины резонатора и так далее. Амплитудные флуктуации часто удаётся уменьшить до 1 … 5%, поэтому в первом приближении можно положить a(t) = a₀ = const и записать лазерный сигнал в виде:

E(t) = a₀exp(it + i(t)). (11.0)

В силу центральной предельной теоремы (см. п. 1.7) и произвольности выбора начальной фазы, можно считать, что фаза (t), зависящая от многих независимых факторов, имеет нормальное распределение с нулевых средним. По такому же нормальному закону с нулевых средним будет распределение и случайная величина _(t) = (t + ) – (t) – набег фазы за время :

Где

(11.0)

–дисперсия случайной фазы, R_() – её коэффициент корреляции. Если процесс E(t) стационарный, коэффициент его корреляции с учётом соотношений (11.1) и (11.2) можно записать в виде

(11.0)

Корреляционная функция многомодового лазера

Пусть лазерный сигнал содержит 2N + 1 мод с различными частотами _m, для каждой моды применима модель (11.1), тогда

Пусть фазы _m(t) и амплитуды a_m мод статистически независимы, тогда

В силу независимости фаз разных мод

поэтому с учётом соотношения (11.3) получаем

Пусть все _m = _ и R_m = R_, а _m = ₀ + m, тогда

(11.0)где R() – коэффициент корреляции центральной моды при m = 0.

Если N очень велико, а то пределы суммирования можно рас­про­странить до бесконечности, при этом соотношение (11.4) оказывается рядом Фурье некоторой периодической функции F() с периодом 2/, следовательно,

И, наконец, для импульсного многомодового излучения Для короткого импульса a(t) можно считать фазы мод _m постоянными и аналогично соотношению (11.4), положив R() = 1, получаем

Таким образом, для описания флуктуаций в многомодовом лазере необходимо найти корреляционную функцию одномодового.