8.Случайные функции: их задание, сходимость, непрерывность и стационарность.

Понятие случайной функции является обобщением понятий СВ и ФСВ. Случайной функцией (t) с параметром t называется функция, значение которой _i = (t_i) при любом значении параметра t = t_i является случайной величиной. Если параметр t имеет смысл времени, случайная функция называется случайным процессом, если координаты – случайным полем. Существует подход, который заключается в представлении совокупности множества абсолютно идентичных систем, находящихся в абсолютно одинаковых условиях. Тогда при регистрации какой-либо характеристики системы одинаковыми способами получаемые значения (реализации) будут различными. Совокупность всех возможных реализаций называют статистическим ансамблем или ансамблем реализаций; соответственно, совокупность систем называют ансамблем систем. Согласно определению случайной функции, ФСВ является случайной функцией; однако понятие случайной функции гораздо шире. Значения случайной функции (t) могут быть как непрерывными, так и дискретными; параметр t также может быть дискретным – в этом случае величина [n] = (t = t_n) называется случайной последовательностью.

Если параметр случайной функции принимает конечное число значений t₁,…, t_n, случайная функция эквивалентна совокупности случайных величин [1] = (t₁),…, [n] = (t_n), которая может быть описана n-мерной совместной функцией плотности вероятности (x₁,…, x_n). Однако, ситуация существенно осложняется, если количество значений аргумента бесконечно, либо аргумент непрерывен – в этом случае уже нельзя задать какую-либо функцию распределения и необходимо определить, как понимать задание случайной функции. Если случайная функция (t) задана как статистический ансамбль своих реализаций, можно задать распределение вероятностей этих реализаций. Так, например, для счетного набора реализаций x⁽ⁱ⁾(t) можно ввести вероятности p_i каждой реализации и определить среднее по статистическому ансамблю:

Удобнее другой подход, основанный на представлении случайной функции (t) в произвольный момент времени в виде случайной величины, которая может быть задана с помощью одномерного распределения, зависящего от времени:

Тогда среднее по ансамблю находится как

Следует понимать, что такое распределение никак не учитывает взаимосвязь значений (t) в разные моменты времени. Если задать n моментов времени t₁,…, t_n, можно ввести n-мерное распределение

Для конечной случайной последовательности такое описание будет полным. В общем случае говорят, что случайная функция задана, если ее конечномерное распределение _n(t₁,x₁,…, t_n,x_n) известно для любого числа n произвольно выбранных моментов времени t₁,…,t_n. Очевидно, функция плотности вероятности _n(t₁,x₁,…, t_n,x_n) должна быть симметричной относительно перестановок пар аргументов (t_i,x_i). Кроме того, должно выполняться условие согласования,

Случайная функция называется непрерывной в среднеквадратичном смысле, если

Этот предел часто обозначают следующим образом:

Случайная функция называется непрерывной по вероятности, если ее среднее арифметическое сходится к математическому ожиданию в каждый момент времени:

Наконец, случайная функция называется непрерывной почти наверняка, если

Существует сокращенное обозначение этого равенства:

Непрерывность случайной функции (t) по вероятности не означает непрерывности ее значений x(t). Задача о дробовом шуме, где заряд, пришедший на анод, является дискретной величиной, но случайная функция q(t) непрерывна по вероятности, так как в силу наших предположений вероятность прихода на анод одного электрона за время dt непрерывно уменьшается при уменьшении dt. Это означает, что

для любых  и . Это и означает непрерывность по вероятности. Дифференцируемость случайной функции – как существование в каком-либо смысле предела приращения функции к приращению аргумента

Интегрируемость случайной функции определяется как существование в каком-либо смысле предела частичных сумм

Случайная функция называется стационарной или однородной по времени, если для всех ее конечномерных распределений и для любого  выполняется равенство

Из этого определения, в частности, следует, что одномерная функция распределения стационарной случайной функции вообще не зависит от t, а n-мерная – зависит от n – 1 момента времени.