25. Усреднение точного решения стохастического дифференциального уравнения

Р/м линейное дифференциальное уравнение первого порядка с переменным коэффициентом,

Точное решение этого уравнения известно и имеет вид

где x(0) = x₀,

Если x₀ = const, a(t) – детерминированная функция времени, а случайный процесс (t) – белый шум с нулевым средним (), то

В частном случае при a(t) = a₀ получаем

Такого рода уравнение описывает, например, процессы в RL-контуре, подключенном к источнику случайной ЭДС u(t). При этом x(t) = i(t) – ток в контуре, a₀ = R/L, а (t) = u(t)/L.

Дисперсия процесса x(t)

Мы получили выражение, где

Это означает, что x(t) – процесс с независимыми приращениями, можем записать

Это распределение описывает марковский процесс, Следует понимать, что если функция a(t), входящая в исходное уравнение, или начальное условие x(0) = x₀ – не детерминированные величины, процесс уже не будет марковским даже при -коррелированном воздействии и уравнение ФПК к нему неприменимо.

Рис. 8.1. Транзисторный генератор с трансформаторной связью. В качестве примера р/м транзисторный LC-генератор с трансформаторной связью и мягким возбуждением (генератор Майсснера), схема которого показана на рис. 8.1. Уравнение баланса для RLC-контура имеет вид

или

К этому уравнению необходимо добавить передаточную характеристику транзистора i_к(i_б), причем с учетом ее нелинейности, поскольку в линейной системе генерация невозможна. Учитывая и шумовой ток коллектора, запишем

Кроме того, связь тока базы транзистора с током через первичную обмотку трансформатора определяется выражением

Окончательно получаем нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка вида

Вводя обозначения

перепишем уравнение в окончательном и более простом виде

Будем также считать, что шумовая составляющая коллекторного тока имеет вид

Найдем входящие в уравнение (8.11) производные и степени тока i(t):

В последнем соотношении учена высокая добротность колебательного контура. Тогда:

Выделяя синусоидальные и косинусоидальные составляющие, получим систему уравнений

В стационарном режиме при dI/dt = 0, как и следовало ожидать,  = ₀. Вообще говоря, нужно выразить  из первого уравнения системы, что дает

однако полагая  = ₀ как в стационарном случае, мы делаем ошибку второго порядка малости, поскольку работаем в рамках метода ММА и предположили, что |I(t)| >> |dI/dt|. Итак, подставляя  = ₀ во второе уравнение системы, получим

Общее решение этого уравнения найдем, положив его правую часть равной нулю, домножив на I(t) и сделав ряд преобразований:

Таким образом

В стационарном режиме, учитывая, что производная тока при t   становится равной нулю.

Если ввести обозначение I(0) = I₀, можно определить константу C в решении (8.13):

Отсюда следует выражение для тока I(t)

и для мощности колебаний

Перейдем к решению неоднородного уравнения. Оно может быть найдено, например, методом вариации постоянных в решении однородного уравнения. Мы найдем это решение для установившегося режима, когда можно считать dI/dt = 0. Тогда

Это уравнение соответствует воздействию узкополосного случайного процесса на нелинейную систему, поскольку мы представляли шумовой ток в виде .