Кудряшов Методы нелинейной математич 2008

который приводит к следующей системе уравнений движения:

x¨ = −x (1 + 2y) ,

и соответствующие ему уравнения Гамильтона:

x¨ = −α x − 2δ xy,

(1.21.12)

y¨ = −β y + γ y2 − δ x2.

Система уравнений (1.21.12) в общем случае не является интегрируемой, поскольку в ней отсутствуют переменные действие— угол, позволяющие найти решение системы. Однако при определенных соотношениях на параметры α, β, γ и δ решение (1.21.12) может быть получено в аналитическом виде.

Для системы уравнений (1.21.10) находится интеграл энергии:

который позволяет исключить одну из переменных системы уравнений (1.21.10). Хенон и Хейлес провели численное моделирование поведения этой системы уравнений, используя различные значения энергии в гамильтониане (1.21.9) и различные начальные условия.

Рис. 1.9. Схема тороидальной трубы для описания конвекции жидкости, используемая при выводе системы уравнений Лоренца

Уравнение движения жидкости в тороидальной трубе можно записать в виде

где ω (ϕ, t) — скорость движения жидкости; ϕ — угол, характеризущий координату жидкости, отсчитываемый от вертикали; g

— ускорение свободного падения; k — коэффициент трения при движении жидкости.

Уравнение теплопроводности для движущейся жидкости име-

где T (ϕ) — стационарная температура поверхности трубы, являющаяся четной функцией от ϕ; h — коэффициент теплообмена между жидкостью и стенкой трубы; κ — коэффициент темпера-

n=1

Параметры σ, r и b в системе Лоренца — положительные постоянные, имеющие вполне определенный физический смысл: σ

— число Прандтля, r — нормированное число Рэлея, b — геометрический параметр, соответствующий характерному размеру процесса.

При численном решении системы уравнений (1.22.8) Э. Лоренц использовал следующие значения параметров [53]: σ = 10, b = 8/3 и r > 27, 74, что соответствовало наблюдениям французского физика Бенара при изучении явлений в подогреваемой кювете. Решая численно систему уравнений (1.22.8) при b = 8/3, r = 28 и σ на отрезке от 1 до 10, Э. Лоренц обнаружил новый тип поведения траекторий, притягивающихся в фазовом простран-

стве к некоторому множеству, получившему название странного аттрактора, который позже стал называться аттрактором Лоренца [53, 55].

Обсудим некоторые свойства системы Лоренца. Полагая x = y = z = 0, в (1.22.8) получаем, что значения переменных удовлетворяют уравнениям системы, поэтому система Лоренца — однородна, x = y = z = 0 — стационарная точка.

Система уравнений Лоренца допускает замену перемен-

Следовательно, фазовый портрет системы симметричен относительно оси z, что упрощает численное исследование.

Система Лоренца является диссипативной, поскольку ее фазовый поток сжимается. Этот вывод следует из соотношений:

∂x∂x˙ + ∂y∂y˙ + ∂z∂z˙ = ∂x∂ (−σx + σy) + ∂y∂ (rx − y − xz) +

(1.22.9)

+ ∂z∂ (xy − bz) = −σ − b − 1 < 0.

Попадая в начальный момент времени в сферу, траектории решений системы уравнений Лоренца остаются в ограниченном фазовом пространстве [39, 53, 55]. Докажем это утверждение.

86 Глава 1. Нелинейные математические модели

Пусть в некоторый момент времени точка находится на поверхности сферы, уравнение которой имеет вид:

из уравнения (1.22.12) следует, что эллипсоид остается всегда внутри сферы.

Рассмотрим стационарные точки системы уравнений Лоренца. Координаты точек находятся из решения алгебраической си-

Из (1.22.14)–(1.22.16) следует, что точка O = (0, 0, 0) — стационарная при любых значениях параметров задачи. Пусть x = 0, тогда при y = x из (1.22.15) имеем z = r −1. Используя уравнение

Учитывая симметрию системы уравнений Лоренца, из (1.22.17) получаем координаты еще одной стационарной точки

Из приведенных формул следует, что стационарные точки O1 и O2 системы уравнений Лоренца появляются лишь при r > 1. В случае r < 1 система имеет мнимые стационарные точки O1 и

O2.

Исследуем устойчивость стационарных точек системы уравне-

ний Лоренца. Термин устойчивости обычно используется в широком смысле. Однако мы будем иметь в виду устойчивость стационарных точек по Ляпунову [55]. Эта устойчивость устанавли-

вается путем разложения решения вблизи стационарных точек и поэтому часто называется устойчивостью в линейном приближении.

Линейная часть системы уравнений Лоренца вблизи точки O = (0, 0, 0) имеет вид:

Матрица M , составленная из коэффициентов правых частей и соответствующая линейной части системы уравнений Лоренца,

Собственные значения матрицы M находятся из решения характеристического уравнения

Точка O = (0, 0, 0) при r < 1 является устойчивым узлом. В случае r > 1 система Лоренца имеет три стационарных точки, но точка O теряет устойчивость, превращаясь в седло—узел.

При r = 1 процессы теплопроводности уступают место конвективному переносу тепла, и в системе возникают ячейки Бенара.

Для исследования устойчивости стационарных точек O1 и O2 в системе уравнений Лоренца сделаем замену:

где x0, y0 и z0 — координаты стационарных точек O1 и O2.

Линейная часть системы Лоренца в этом случае принимает вид (штрихи у переменных x , y и z далее опущены):

dz

dτ = y0x + x0y − bz. (1.22.27)

Матрица M , соответствующая системе уравнений (1.22.25)— (1.22.27), имеет вид:

На основании уравнения (1.22.31) определяется тип стационарных точек O1 и O2. Анализируя корни уравнения (1.22.31),

находим, что эти стационарные точки устойчивы при σ > b + 1 и 1 < r < r , где

r = σ (σ + b + 3) .

σ − b − 1

При r > r точки O1 и O2 становятся неустойчивыми. В этом случае характеристическое уравнение (1.22.31) имеет один действительный отрицательный корень и два комплексносопряженных с положительной действительной частью.

Более детальный анализ режимов, возникающих в системе Лоренца, проводился с помощью численных методов. Численное исследование системы Лоренца проводилось многими авторами, и в результате установлена эволюция режимов, описываемых (1.22.8) в зависимости от различных значений параметров σ, b и

r[55].

Вслучае 10 < r < r1 ≈ 13, 926 система Лоренца имеет три стационарных точки O, O1и O2. При этом точка O представляет собой неустойчивую точку типа седло—узел, а две другие точки являются устойчивыми.

При r1 ≈ 13, 926 стационарные точки O1 и O2 остаются устойчивыми, однако вокруг них образуются две замкнутые петли кривых, исходящих из точки O.

В случае r1 < r < r2 ≈ 24, 06 стационарные точки O1 и O2 остаются устойчивыми, но от каждой из петель рождаются седловые периодические траектории.

При r2 ≈ 24, 06 стационарные точки O1 и O2 продолжают оставаться устойчивыми, но сепаратрисы, выходящие из точки O, не стремятся к этим точкам. Возникает множество траекторий, которое при r2 < r становится притягивающим.

При r2 < r < r3 ≈ 24, 74 стационарные точки O1 и O2 все еще устойчивые, однако в фазовом пространстве появляется предельное множество, называемое аттрактором Лоренца. В системе