Кудряшов Методы нелинейной математич 2008

Волновые числа и частоты этих двух волн отличаются, соответственно, на небольшие величины k и ω. Поскольку решение, описывающее каждую из этих волн, удовлетворяет волновому уравнению (1.7.1), то в силу линейности уравнения, ему будет удовлетворять и сумма решений [13]

Из последней формулы видно, что суммарная амплитуда волн

с течением времени меняется. Итоговая картина, которая получается при сложении двух волн, представлена на рис. 1.4.

Скорость распространения волн в этом случае может быть вычислена как скорость распространения максимума суммарной

Когда мы имеем дело с волновым пакетом из нескольких волн, то групповая скорость равна производной от частоты по волно-

Рис. 1.4. Распространение волнового пакета из двух волн, волновые числа которых отличаются на величину k

где i — мнимая единица, ω — частота, k — волновое число, a — амплитуда. Для линейных уравнений множитель a сокращается

и, вообще говоря, может быть выбран произвольным. Зависимость между ω и k называется дисперсионным соотно-

шением, и ее задание позволяет восстановить уравнение, которым описывается волновой процесс.

Рассмотрение диспергирующих одномерных систем ограничивают случаями, при которых зависимость ω = ω(k) являтся функцией действительной переменной и ωkk = 0.

Подставляя (1.7.13) в уравнение (1.7.1) находим

ω = ±ck.

Откуда следует, что для волн, описываемых уравнением (1.7.1), фазовая скорость

ω

Vp = k = ±c

и групповая скорость

dω

Vg = dk = ±c

совпадают. Никакой дисперсии (зависимости скорости волны от ее длины) в данном случае нет.

Рассмотрим теперь уравнение

являющееся линейной частью уравнения Кортевега—де Вриза, и найдем зависимость ω(k). Подставляя (1.7.13) в (1.7.14), получаем

ω = k3.

Фазовая скорость для волны в этом случае зависит от волнового числа

Vp = ωk = k2.

Групповая скорость для волнового пакета, описываемого уравнением (1.7.14), дается формулой

Vg = ddkω = 3k2.

Мы получили, что групповая скорость волны для решения уравнения (1.7.14), в три раза больше, чем фазовая скорость волнового пакета. Видно, что в дисперсионной среде фазовая и групповая скорости волн не совпадают. Если в начальный момент времени волновой пакет был локализован, то с течением времени он будет расплываться (диспергировать). Поэтому слагаемое с третьей производной в уравнении Кортевега—де Вриза называют дисперсионным. Это слагаемое приводит к расплыванию волны. Однако мы знаем, что уравнение Кортевега—де Вриза имеет решения в виде уединенной волны, переносимой с постоянной скоростью и без каких-либо изменений формы. Тем не менее противоречий со сказанным выше об уединенной волне нет, поскольку в уравнении Кортевега—де Вриза, в отличие от его линейного аналога (1.7.14), существует еще нелинейное слагаемое uux, которое «уравновешивает» влияние дисперсии.

1.8.Нелинейное уравнение Шредингера для огибающей волнового пакета

Выше мы говорили, что на практике волны, как правило, распространяются группами. Подобные группы волн на воде люди могли наблюдать с незапамятных времен. На вопрос о том, почему для волн на воде так типичны «стаи» волн, удалось ответить Т. Бенджамену и Дж. Фейеру только в 1967 году. Путем теоретических расчетов они показали, что простая периодическая волна на глубокой воде неустойчива (теперь это явление называется неустойчивостью Бенджамена—Фейера), и поэтому волны на воде из-за неустойчивости разбиваются на группы. Уравнение, с помощью которого описывается процесс распространения групп волн на воде, было получено В.Е. Захаровым в 1968 году.

Естественно, что процесс распространения волнового пакета в различных средах может описываться многими нелинейными уравнениями в частных производных, однако здесь для простоты мы предположим, что этот процесс описывается модифицированным уравнением Кортевега—де Вриза [60]

Предположим также, что x и t в (1.8.1) — пространственная и временная переменные для несущей волны. Можно ввести набор «медленных» временной и пространственной переменных, которые описывают движение огибающей волнового пакета и рассматривать эти переменные как независимые. При этом имеем

Здесь ε — малый параметр, который соответствует характеристикам (длине и времени) огибающей волнового пакета.

Многие уравнения, описывающие нелинейные волны, имеют решения в виде гармонических волновых пакетов

u= a exp {i [kx + ω(k)t]}

впредположении, что их амплитуда является малой. Предположим, что основное состояние системы описывается линейной гармоникой, хотя малой по амплитуде, но не пренебрежимо малой из-за эффекта нелинейности. В силу (1.8.2) мы рассматриваем случай, когда огибающая волнового пакета меняется медленно, как по пространственной, так и по временной переменной по сравнению с характеристиками несущей волны.

Решение уравнения (1.8.1) будем искать в виде суммы нескольких волн u0, u1 и u2 в соответствии с методом многих масштабов [1, 39, 60]

Операторы дифференцирования по x и t при этом заменяются на следующие:

∂t∂ → ∂T∂ 0 + ε ∂T∂ 1 + ε2 ∂T∂ 2 ,

(1.8.4)

∂x∂ → ∂X∂ 0 + ε ∂X∂ 1 .

В соответствии с (1.8.3) имеем

Подставляя (1.8.3), (1.8.4) в (1.8.1) и учитывая (1.8.5), после приравнивания нулю выражений при одинаковых степенях ε получаем цепочку уравнений

Из последнего уравнения следует, что решение

u −ika3e3iθ + ika 3e−3iθ

2 =

удовлетворяет (1.8.13) тогда и только тогда, когда амплитуда волнового пакета описывается уравнениями

∂a + 3ik ∂2a + ika2a = 0 , ∂T2 ∂X12

(1.8.14)

∂a − 3ik ∂2 a − ik (a )2 a = 0 . ∂T2 ∂X12

Таким образом, получаем, что амплитуда волны a (X1, T2) описывается уравнением

При b = c уравнение (1.9.1) с учетом замены A → A exp {ibt} приводится к виду:

В случае одной пространственной переменной уравнение (1.9.1) принимает вид:

В пределе при b → ∞ и c → ∞ уравнение (1.9.2) переходит в нелинейное уравнение Шредингера.

Считается, что уравнение (1.9.5) впервые появилось в работе В.И. Гинзбурга и Л.Д. Ландау при разработке микроскопической теории сверхпроводимости [17]. Однако общепринятая запись уравнения (1.9.1) появилась в работе Ньюэлла и Вайтхедта [139].

При описании групповых свойств волновых пакетов уравнение Гинзбурга—Ландау популярно в такой же степени, как и нелинейное уравнение Шредингера. Обзор физических приложений уравнения Гинзбурга—Ландау можно найти в статье [81]. Уравнение (1.9.1) появляется при описании многочисленных явлений физики фазовых переходов, в теории сверхпроводимости, в теории сверхтекучести, а также при описании неравновесных процессов, характерных для открытых систем [96, 132]. Как и уравнение Курамото—Сивашинского, оно встречается при описании турбулентных процессов. В отличие от нелинейного уравнения Шредингера уравнение (1.9.1) не относится к классу точно

решаемых нелинейных уравнений. Задача Коши для этого уравнения не решается методом обратной задачи рассеяния. Уравнение не проходит тест Пенлеве, не имеет солитонных решений, но имеет небольшой набор частных решений [14, 44, 106].

1.10.Уравнение sin-Гордона для описания дислокаций в твердом теле

В любой кристаллической структуре каждый атом окружен ближайшими соседями. В результате возникает условие равновесия кристаллической решетки. Если это условие нарушается, то происходят изменения в решетке, при которых у атомов появляется иное число соседей или изменяется расстояние до ближайших соседей. В кристаллических телах это обстоятельство приводит к дефектам, которые всегда имеются в реальных твердых телах.

Многие свойства кристаллической структуры (например, плотность и удельная теплоемкость) слабо зависят от наличия дефектов. Однако дефекты кристалла оказывают сильное влияние, например, на прочность и электропроводность, поэтому изучение поведения дефектов является важной задачей.

Существует несколько типов кристаллических дефектов. Далее остановимся на рассмотрении точечных дефектов, к которым относятся нарушения в решетке в изолированных друг от друга точках кристалла. Примерами таких дефектов являются вакансии, атомы внедрения или изолированные включения примеси.

Внедрение атома в решетку может произойти за счет ухода атома из узла решетки непосредственно в междоузлие в результате флуктуаций. При этом в оставленном узле возникает вакансия. Такие дефекты называются дефектами по Френкелю. Кроме точечных дефектов, возникающих в результате тепловых флукту-