Кудряшов Методы нелинейной математич 2008

(2.6.3) будет также интеграл XF = C2. Однако поскольку уравнение (2.6.2) является уравнением 1-го порядка, то эти решения функционально зависимы, и поэтому

Учитывая (2.6.3) и (2.6.5) имеем

Откуда приходим к выражению

являющемуся полным дифференциалом.

Соотношение (2.6.6) приводит к результату Софуса Ли: оператор (2.6.4) допускается уравнением (2.6.2) тогда и только тогда, когда функция

является его интегрирующим множителем. Поэтому, зная какойлибо оператор, допускаемый уравнением 1-го порядка по формуле (2.6.7), можно найти интегрирующий множитель.

Используя этот подход, проинтегрируем уравнение Рикатти, имеющее вид [32]:

Подставляя x = ax, y = by, находим, что уравнение (2.6.8) будет инвариантным, если b = 1/a, и поэтому оно допускает группу преобразований растяжения

Уравнение (2.6.8) можно представить в виде

Метод интегрирующего множителя применяется только для интегрирования уравнений первого порядка. Однако группы преобразований могут быть использованы и для интегрирования уравнений более высокого порядка, поскольку они часто подсказывают упрощающую замену переменных. Применение этого под-

хода основано на следующей теореме [30, 32].

Теорема 2.5. Всякая однопараметрическая локальная группа преобразований x i = f i (x, a) в RN с помощью некоторой невырожденной замены переменных zi = zi (x) может быть

получим набор переменных, определяющих группу преобразований вдоль оси ZN .

Рассмотрим интегрирование уравнения (2.6.8) с помощью соответствующей замены переменных. Уравнение (2.6.8) допускает оператор (2.6.10), который в соответствии с вышедоказанной теоремой приводит к группе преобразований переноса после замены

2.7. Группы для линейного уравнения теплопроводности 115

Здесь u — температура cреды, которая зависит от x и t, a2 — коэффициент температуропроводности.

Общий вид инфинитезимального оператора можно представить формулой

где ξ1, ξ2 и η — координаты касательного векторного поля, которые требуется найти. Оператор, продолженный на вторые производные, можно записать в виде:

Действуя оператором (2.7.3) на уравнение (2.6.1), получаем соотношение

в котором производные ut и uxx связаны уравнением (2.6.1). Находим выражения для ξ1, ξ2 и ξ11 через ξ1, ξ2и η.

Поскольку

ξ1 = Dx (η) − uxDx ξ1 − utDx ξ2 ,

ξ2 = Dt (η) − uxDt ξ1 − utDt ξ2 ,

ξ11 = Dx (ξ1) − uxxDx ξ1 − uxtDx ξ2 ,

то

ξ1 = ηx + uxηu − uxξ1x − (ux)2 ξ1u − a2uxxξ2x − a2uxuxxξ2u, (2.7.5)

ξ2 = ηt + a2uxxηu − uxξ1t − a2uxuxxξ1u−

(2.7.6)

−a2uxxξ2t − a4 (uxx)2 ξ2u ,

2.7. Группы для линейного уравнения теплопроводности 117

где B1, . . . , B6 — произвольные постоянные, b (x, t) — произвольная функция, которая удовлетворяет уравнению теплопроводности (2.7.1).

2.8. Группы для нелинейного уравнения теплопроводности 119

Откуда следуют два инварианта

Эти выражения приводят к хорошо известному факту, что линейное уравнение теплопроводности (2.7.1) имеет инвариантное решение в виде

где C1 и C2 — произвольные постоянные.

Аналогично, используя операторы (2.7.19), можно найти и другие группы преобразований, которые соответствуют уравнению (2.7.1).

2.8.Группы преобразований для нелинейного уравнения теплопроводности

Для нелинейного уравнения теплопроводности

группа преобразований находится аналогично, как это было сделано для уравнения (2.7.1).

Пусть оператор X представляется в виде

где ξ1, ξ2и η — координаты касательного векторного поля, которые следует найти. Предполагая, что

и действуя этим оператором на уравнение (2.8.1), получаем соотношение

ξ2 − n (n − 1) (ux)2 un−2η − 2nun−1uxξ1−

(2.8.4)

−nun−1uxxη − unξ11 = 0.

Вычисляя по формулам продолжения компоненты ξ1, ξ2и ξ11 и подставляя выражения для них в определяющее уравнение (2.8.4), получаем четыре независимых оператора

В случае n = −4/3 уравнение (2.8.1) допускает дополнительный к (2.8.5) оператор в виде

Уравнение (2.8.1) при n = 0 переходит в линейное уравнение (2.7.1), имеющее группу преобразований, представленную в предыдущем параграфе.

Заметим, что поскольку операторы группы преобразований линейные, то, кроме “основных” операторов (2.8.5), уравнением (2.8.1) допускается и произвольная сумма их, умноженная на постоянные коэффициенты. Например, уравнение (2.8.1) допускает оператор

который ведет к инвариантам

ξ = x − c0t, u (x, t) = v,