Кудряшов Методы нелинейной математич 2008

возможны как стационарный, так и хаотический режимы движения.

Когда r → r3 ≈ 24, 74, седловые предельные циклы стягиваются к стационарным точкам O1 и O2, и они становятся неустойчивыми.

Винтервале r3 < r < r4 = 28 все стационарные точки O, O1 и O2 являются неустойчивыми. Устойчивым притягивающим предельным множеством (аттрактором) остается лишь аттрактор Лоренца. В динамической системе, описываемой системой уравнений Лоренца, вне зависимости от выбранных начальных условий реализуется хаотический режим движения.

Хаотический режим движения, описываемый системой уравнений Лоренца, продолжает существовать при значениях r из интервала: r4 < r < r5 ≈ 148, 4. При r5 < r в фазовом пространстве вместо странного аттрактора образуется предельный цикл, и движение в системе становится периодическим.

Вработе Д. Рюэля и Ф. Такенса аттрактор Лоренца был назван странным аттрактором, поскольку он является новым ти-

пом стационарного режима движения, отличным от стационарной точки и предельного цикла. Этот аттрактор не является двумерной поверхностью. Поверхность, которая проходит через аттрактор, пересекается фазовыми траекториями в точках, образующих канторово множество [53, 55].

Система уравнений Лоренца была первой системой дифференциальных уравнений, имеющей физические приложения, для которой было доказано существование странного аттрактора.

всех преобразований множества M образует группу преобразований. Далее в качестве множества M возьмем N -мерное ев-

клидово пространство RN , в котором точку x RN c коор-

множество всех вещественных чисел).

Относительно функций f i (x, a) предположим, что они вместе со всеми своими производными по всем компонентам вектора x и по параметру a принадлежат классу непрерывных функ-

ций. Как правило, отображения f (x, a), которые используются в групповом анализе дифференциальных уравнений, определены не на всем пространстве RN и не при всех вещественных числах R. Поэтому обычно говорят о локальных преобразованиях про-

странства V RN и R. Дадим определение.

Определение 2.1. Локальной однопараметрической группой преобразований Ли называется семейство преобразований

c = ϕ (a, b)

∞

4)f (x, a) C .

Каждое отображение f (x, a), которое имеет свойства 1) — 4) задает однопараметрическую непрерывную группу преобразований, которую далее обозначаем G.

Приведем примеры однопараметрических групп преобразований.

1. Группа преобразований переноса (сдвига) по оси x:

Очевидно, что свойства 1) — 4) также выполняются.

3. Группа преобразований вращения в плоскости R2 (x, y):

x = x cos α + y sin α,

является также по определению однопараметрической группой преобразований Ли.

Пусть преобразования x = f (x, a) образуют группу. Можно

выбрать a0 = 0. Разложим f (x, a) в ряд Тейлора по параметру a в окрестности a = 0. Тогда поскольку f (x, 0) = x, то

за вектор касательного векторного поля группы преобразований G имеющего компоненты:

= ( 1, 2, . . . , N ) .

ξ ξ ξ ξ

Таким образом, преобразование x = f (x, a) можно представить в виде

Справедлива следующая теорема Софуса Ли [30, 31, 32].

Теорема 2.1. Пусть функции f i (x, a) , (i = 1, . . . , N )

удовлетворяют групповым свойствам и имеют разложения

(2.1.6). Тогда они являются решениями обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка (называемыми уравнениями Ли) с начальными условиями

Справедливо и обратное утверждение, что при любом глад-

Доказательство.

Пусть f (x, a) удовлетворяет групповым свойствам, тогда, придавая параметру a приращение b, имеем

приравнивая которые, приходим к уравнению

совпадающему с уравнением Ли.

Пусть f (x, a) — решение задачи Коши (2.1.7). Рассмотрим две функции

u(b) = f i x , b = f i f i (x, a) , b ,

v (b) = f i (x, a + b) ,

тогда в силу уравнений Ли получаем две задачи:

dudb = ξi (u) , u |b=0 = f i (x, a) ;

Поскольку функции u (b) и v (b) удовлетворяют одному и тому же обыкновенному дифференциальному уравнению и одному начальному условию, то в силу единственности решения задачи Коши приходим к равенству u (b) = v (b), что равносильно групповому свойству преобразований xi = f i (x, a).

Для группы преобразований растяжений на плоскости (2.1.2)

Решая задачу (2.1.12), можно найти однопараметрическую группу преобразований (2.1.2). Таким образом, зная группу преобразований в силу определения (2.1.5), можно найти компоненты касательного векторного поля и, наоборот, задаваясь компонентами касательного векторного поля и затем решая задачу Коши для уравнений Ли, можно восстановить группу преобразований.

2.2.Инварианты. Инфинитезимальный оператор группы преобразований

Возьмем функцию F (x), определенную в некоторой области

RN .

Определение 2.2. Функция F (x) является инвариантом

группы преобразований , если для всех допустимых

x = f (x, a)

Справедлива теорема, которая является критерием инвари-

антности для функции F (x).

Теорема 2.2. Функция F (x) является инвариантом отно-

сительно группы преобразований тогда и только

x = f (x, a)

тогда, когда она удовлетворяет уравнению

Доказательство. Пусть F (x) удовлетворяет условию (2.2.1),

Откуда следует, что при условии (2.2.1) выполняется (2.2.2). Пусть теперь F (x) — решение уравнения (2.2.2), тогда, по-

скольку оно справедливо для любой точки, запишем его для

и, следовательно, F (x ) как функция от a является решением задачи Коши:

откуда получаем условие (2.2.1).

98Глава 2. Элементы группового анализа

Вкритерии инвариантности (2.2.2) появился оператор

N

X = ξi ∂x∂ i , (2.2.4)

i=1

который действует на функцию F (x).

Определение 2.3. Оператор (2.2.4) называется инфинитезимальным оператором группы G.

Координаты касательного векторного поля ξi называются также координатами инфинитезимального оператора. В определении оператора X слово “инфинитезимальный” часто опускается и тогда говорят об операторе группы G.

Критерий инвариантности (2.2.2) представляет собой линейное однородное уравнение первого порядка в частных производных, решением которого является функция от N − 1 функционально независимых инвариантов. Любой другой инвариант является функцией от независимых инвариантов.

В качестве независимых инвариантов можно взять первые интегралы

I1 (x) = c1, . . . , IN −1 (x) = cN −1

полученной как решения уравнения в частных производных

Выше мы говорили о том, что задание компонент касательного векторного поля эквивалентно заданной однопараметрической группе преобразований. При известном касательном векторном поле можно построить соответствующий инфинитезимальный оператор и определить из решения системы уравнений (2.2.5)

базисные инварианты и функции, которые являются инвариантными относительно соответствующей группы преобразований.

В качестве примера рассмотрим группу преобразований рас-

где (λi — постоянные, i = 1, . . . , N ), для которой компоненты касательного векторного поля выражаются формулами

При этом оператор группы преобразований растяжения имеет

вид

N

X = λixi ∂x∂ i ≡ λixi ∂x∂ i , (2.2.9)

i=1

Инварианты группы преобразований растяжения находятся как решения системы уравнений

и выражаются формулами:

(2.2.11)

ak = λ1/λk .

Функции, которые зависят от инвариантов (2.2.11), являются инвариантами в RN относительно группы преобразований растяжения (2.2.7).

В качестве второго примера возьмем группу преобразований вращения на плоскости R2 (x, y). Компоненты касательного векторного поля для этого случая имеют вид

который показывает, что любая функция от x2 + y2 будет являться инвариантом относительно группы преобразований вращения на плоскости.

2.3.Инвариантные уравнения

Пусть задана (N − s)-мерная поверхность M Rn следующей системой уравнений

Определение 2.4. Поверхность M, заданная системой уравнений (2.3.1), называется инвариантной относительно группы

преобразований , если в результате отображения

x = f (x, a)

каждая точка остается на этой поверхности.

Если поверхность инвариантна относительно соответствующей группы преобразований и x — решение системы уравнений