Кудряшов Методы нелинейной математич 2008

Пусть над поверхностью воды находится воздух, и пусть эта поверхность описывается уравнением

где x, y и z — пространственные координаты, t — время. По определению, поверхность раздела — это поверхность, которую не пересекают частицы жидкости [54]. Вследствие этого компонента скорости жидкости, нормальная к поверхности раздела, и нормальная компонента скорости самой поверхности раздела должны совпадать. Обозначим компоненты скорости жидкости u1, v и u2 в направлениях x, y и z.

Нормальная компонента скорости поверхности раздела равна

Предполагая, что на нижней границе жидкости — твердое горизонтальное дно, считаем, что нормальная компонента скорости

с учетом граничных условий (1.1.14), (1.1.18) и (1.1.19), предполагая, что, во-первых, длина возмущений много больше глубины жидкости (h << l), а во-вторых, амплитуда волны много меньше глубины жидкости (a << h).

Эти предположения соответствуют тому, что в задаче рассматриваются длинные волны на мелкой воде, когда выполняют-

Подставляя (1.1.22) в (1.1.21) и приравнивая нулю выражения при одинаковых степенях z , приходим к рекуррентной формуле

Учитывая граничное условие (1.1.19), находим, что ϕ1 = 0, при этом из рекуррентной формулы (1.1.23) следует, что ϕ2k+1 = 0 и все нечетные члены в (1.1.22) обращаются в нуль.

Граничные условия (1.1.14) и (1.1.18) в безразмерных переменных принимают вид

Учитывая выражения для компонент вектора скорости на свободной поверхности (1.1.29) и (1.1.30), из (1.1.31), (1.1.32) с точностью до первого порядка малости по ε и δ2 находим

(1.1.34) можно применить метод возмущений, представляя решение f в виде разложения по малому параметру [54]

Сохранив в (1.1.33) и (1.1.34) слагаемые первого порядка малости по ε и δ2, получим

которое называется уравнением Кортевега—де Вриза.

Это уравнение было получено в работе Кортевега и де Вриза в 1895 году для описания длинных волн на воде [111].

1.2.Иерархия уравнений Кортевега—де Вриза

Уравнение Кортевега—де Вриза (1.1.45) является первым представителем так называемой иерархии уравнений Кортевега — де Вриза [39]

где оператор Ln+1[u] — оператор Ленарда, определяемый соотношением [134]

Уравнение (1.3.1) впервые предложено Б.Б. Кадомцевым и В.И. Петвиашвили в 1970 году и является широко известным двумерным точно решаемым уравнением.

Оно имеет решения в виде солитонов. Пара Лакса, с помощью которой решается задача Коши для уравнения (1.3.1), была найдена В.С. Дрюма [21] и детально исследована в работе В.Е. Захарова и А.Б. Шабата [25]. Одно из уравнений Лаксовой пары для задачи рассеяния (1.3.1) имеет вид

Впериодической литературе уравнение (1.3.1) часто называется двумерным уравнением Кортевега—де Вриза.

1.4.Модель для описания возмущений в цепочке одинаковых масс

Внастоящее время кажется странным, что открытие Джоном Скоттом Расселом уединенной волны и его последующее подтверждение в работе Кортевега—де Вриза не получило в прошлом веке никакого резонанса в науке. После 1895 года работы Рассела и Кортевега оказались по существу забытыми почти на 70 лет. Более того, один из авторов знаменитого теперь уравнения Кортевег прожил долгую жизнь (1848–1941) и был известным ученым. Но когда в 1948 году научная общественность отмечала его 100летний юбилей, то работа, выполненная совместно с де-Вризом в 1895 году, в списке лучших публикаций даже не значилась. Составители списка работ Кортевега сочли эту статью не заслуживающей серьезного внимания. Только спустя еще четверть века именно эта работа стала считаться главным научным достижением Кортевега.

Однако если поразмыслить, то такое невнимание к уединенной волне Рассела становится вполне понятным. Его открытие в течение долгого времени считалось некоторым частным фактом. В то время физический мир представлялся линейным, и принцип суперпозиции считался одним из самых фундаментальных принципов большинства физических теорий. Поэтому серьезного значения экзотической волне на воде ученые не придали.

Возвращение к уединенной волне на воде произошло случайно и вначале к ней не имело никакого отношения. Это случилось в Лос-Аламосе в 1952 году, когда Э. Ферми вместе с двумя своими сотрудниками С. Уламом и Д. Пастой предприняли попытку решить одну из нелинейных задач на ЭВМ. Они хотели рассчитать колебания 64 одинаковых масс, связанных друг с другом пружинками, которые при отклонении от положения равновесия на l приобретали возвращающуюся силу k l + α(Δl)2. Здесь k и α — постоянные коэффициенты. При этом нелинейная добавка предполагалась малой по сравнению с основной силой k l [102].

Вот как сам Станислав Улам описывает двадцать лет спустя этот период их совместной работы [73]: «Как только машины были сделаны, Ферми с присущей ему интуицией и огромным здравым смыслом, сразу же осознал все их значение в исследовании проблем теоретической физики, астрофизики и классической физики. Мы обсуждали этот вопрос самым подробным образом и решили попытаться сформулировать какую-нибудь задачу, которая была бы проста в своей постановке, но имела бы решение, требующее очень длинных вычислений, невыполнимых с помощью ручки и бумаги или существующих механических вычислительных устройств. Обсудив ряд возможных задач, мы остановились на одной типовой задаче, связанной с долговременным поведением динамической системы и требующей долгосрочного предсказания. В ней рассматривалась эластичная струна с двумя закрепленными концами, на которую действует не только обычная сила деформации, но и малая по величине нелинейная сила. Необходимо было выяснить, как после очень большого числа пе-