Кудряшов Методы нелинейной математич 2008

риодов колебаний эта нелинейность будет постепенно влиять на известное периодическое поведение колебаний в одной тональности. Каким образом другие тональности струны приобретут свои амплитуды и как, рассуждали мы, будет происходить термализация движения, имитируя, быть может, поведение жидкостей, которые, будучи вначале ламинарными, становятся все более и более турбулентными, пока, наконец, их макроскопическое движение не преобразуется в тепло».

Создавая начальное отклонение, исследователи хотели посмотреть, как начальная мода будет распределяться по всем другим. Но после проведения расчетов на ЭВМ ожидаемого результата они не получили, но обнаружили, что перекачивание энергии на начальном этапе в две или три моды действительно происходит, но затем наступает возврат к начальному состоянию.

Об этом парадоксе, связанном с повторяемостью начального колебания и получившем название парадокса Ферми—Паста— Улама, стало известно нескольким математикам и физикам. В частности, об этой задаче узнали два американских физика Мартин Крускал и Норман Забуски, которые решили продолжить вычислительный эксперимент с моделью, предложенной Ферми.

На рис.1.2. иллюстрируется эта модель, состоящая из 5-ти точечных масс

Рис. 1.2. Взаимодействие масс в модели Ферми, Паста и Улама

Движение i-й массы зависит от сил, действующих со стороны соседних масс, и описывается вторым законом Ньютона [60]

где в данном случае силу Fi−1,i выберем в виде

Fi−1,i = k(Δl) + α(Δl)2 + β(Δl)3, l = yi − yi−1. (1.4.2)

Здесь yi — координата положения равновесия i-й массы. По сравнению с задачей Ферми—Паста—Улама в данной модели предполагается, что существует еще дополнительное слагаемое β(Δl)3. Мартин Крускал и Норман Забуски в своих первоначальных расчетах использовали уравнения (1.4.1) и (1.4.2) при β = 0.

В уравнении (1.4.2) перейдем к непрерывно распределенным массам, полагая

Тогда после подстановки (1.4.2) и (1.4.3) в (1.4.1) получаем с точностью до o(h4 ) уравнение в виде

При γ = 0 из (1.4.5) приходим к уравнению, которое получено в 1872 году Буссинеском для описания волн на воде.

Возмущения, описываемые уравнением (1.4.5), на начальной стадии удовлетворяют линейному волновому уравнению

поэтому начальное возмущение распадается на две волны, одна из которых распространяется влево, а другая — вправо.

Для изучения одной из этих волн решение уравнения (1.4.5) будем искать в виде [60]

где

z = x − ct, T = εt,

а f (z, T ) соответствует профилю волны на больших расстояниях при T 1/ε.

Из уравнения (1.4.5), принимая во внимание (1.4.7), получаем с точностью до ε

y1tt − c2y1xx ≡ 2cfzT + δc2fzzzz + αc2fz fzz + γδc2fz2fzz . (1.4.8)

Для того чтобы зависимость y1(x, t) асимптотически не возрастала при изменении переменной θ = x+ct, для f (z, T ) должно выполняться равенство

При γ = 0, α = 0 из (1.4.10) мы снова приходим к уравнению Кортевега—де Вриза, совпадающее с тем, которое мы получили для описания волн на воде. Если γ = 0, но α = 0, то из (1.4.10)

получаем уравнение, которое носит название модифицированного уравнения Кортевега—де Вриза

Предложенный вывод уравнения (1.4.10) был сделан Крускалом и Забуски при γ = 0 после численного решения (1.4.1) при периодических граничных условиях. Авторы первые установили, что уравнение, используемое Ферми, Паста и Уламом при уменьшении расстояния между массами и при неограниченном росте их числа переходит в уравнение Кортевега—де Вриза, предложенное

в1895 году для описания уединенной волны на воде.

Вте же годы было показано, что при описании ионнозвуковых волн в плазме также появляется уравнение Кортевега— де Вриза. Стало ясно, что это уравнение возникает во многих областях физики, и, следовательно, уединенная волна, которая описывается этим уравнением, является широко распространенным явлением. Продолжая вычислительные эксперименты по моделированию процесса распространения таких волн, Крускал и Забуски рассмотрели их столкновение [155].

Остановимся на обсуждении этого важного факта. Рассмотрим две уединенные волны, описываемые уравнением Кортевега—де Вриза, которые отличаются амплитудами и которые движутся друг за другом в одном направлении (рис. 1.3.). Из формулы для скорости распространения уединенных волн следует, что скорость больше, если выше амплитуда волн, а ширина пика уменьшается с ростом амплитуды. Таким образом, более высокие уединенные волны движутся быстрее. Волна с большей амплитудой догонит движущуюся впереди волну с меньшей амплитудой. Далее в течение некоторого времени две волны будут двигаться вместе как единое целое, взаимодействуя между собой, а затем они разъединятся. Замечательным свойством этих уединенных волн является то, что после своего взаимодействия форма и скорость этих волн сохраняются. Обе волны после столкнове-

ния лишь смещаются на некоторое расстояние по сравнению с тем расстоянием, на котором они двигались бы без взаимодействия.

Рис. 1.3. Взаимодействие солитонов Кортевега—де Вриза. В момент времени t1 уединенная волна меньшей амплитуды впереди. Однако эта волна движется с меньшей скоростью, чем больший солитон. При t2 и t3 солитоны взаимодействуют. При t4 солитоны расходятся, большая уединенная волна уходит вперед

Процесс, в результате которого после взаимодействия волн сохраняются их форма и скорость, напоминает упругое столкнове-

ние частиц. Поэтому Крускал и Забуски назвали такие уединенные волны солитонами (от английского слова solitary, означаю-

щее уединенный). Это специальное название уединенных волн, созвучное электрону, протону и названиям многих других эле-

ментарных частиц, в настоящее время — общепринято. Уединенные волны, которые были открыты Джоном Рассе-

лом, и в самом деле ведут себя как частицы. Оказалось, что большая волна не проходит через малую при их взаимодействии. Когда уединенные волны соприкасаются, то большая волна замедляется и уменьшается, а та волна, которая была малой — наоборот ускоряется и подрастает. Когда малая волна дорастает до размеров большой, а большая уменьшается до размеров малой, солитоны разделяются, и больший уходит вперед. Таким обра-

зом, солитоны ведут себя, как упругие теннисные мячи.

Итак: Солитоном называется нелинейная уединенная волна, которая сохраняет свою форму и скорость при движении и при столкновении с любыми другими уединенными волнами. Единственным результатом взаимодействия солитонов может быть некоторый сдвиг фаз [1, 20, 39, 60].

Открытия, связанные с уравнением Кортевега—де Вриза, не закончились на открытии солитона. Следующим важным этапом, имеющим отношение к этому уравнению, было открытие нового метода решения задачи Коши для нелинейных уравнений в частных производных. Известно, что найти решения нелинейных уравнений очень сложно. До 60-х годов прошлого столетия считалось, что такие уравнения могут иметь только некоторые частные решения, удовлетворяющие специально заданным начальным условиям. Однако уравнение Кортевега—де Вриза и в этом случае оказалось в исключительном положении.

В1967 году американские физики Гарднер, Грин, Крускал

иМиура показали [99], что решение задачи Коши для уравнения Кортевега—де Вриза может быть, в принципе, получено при всех начальных условиях, которые обращаются в нуль по определенному закону при стремлении координаты к бесконечности. Авторы преобразовали уравнение Кортевега—де Вриза к системе двух уравнений, называемой теперь парой Лакса (по имени американского математика Питера Лакса, внесшего большой вклад в развитие теории солитонов [134]), и открыли новый метод (на-

зываемый методом обратной задачи рассеяния) решения задачи Коши для ряда нелинейных уравнений в частных производных.

1.5.Иерархия модифицированного уравнения Кортевега—де Вриза

Модифицированное уравнение Кортевега—де Вриза (1.4.11) относится к так называемой иерархии модифицированного уравнения Кортевега—де Вриза, имеющей вид:

где оператор Ln[vx − v2] является оператором Ленарда, определенным выражением (1.2.2).

В случае n = 1 из иерархии (1.5.1) получаем модифицированное уравнение Кортевега—де Вриза:

При n = 2 из (1.5.1) имеем уравнение пятого порядка [121, 123]:

vt − 10 v2 vxxx − 40 vx vxx − 10 vx3 + 30 v4 vx + vxxxxx = 0. (1.5.3)

Уравнение (1.5.3) также встречается при описании волн на воде [140]. Многое из сказанного выше об уравнении Кортевега— де Вриза пятого порядка можно отнести и к модифицированному уравнению пятого порядка. Уравнение (1.5.3) проходит тест Пенлеве и имеет решения в виде солитонов, как и все уравнения иерархии (1.5.1). Задача Коши для (1.5.3) и для иерархии (1.5.1) решается методом обратной задачи рассеяния.

1.6.Уравнение Буссинеска

Полагая γ = 0 в уравнении (1.4.5), имеем

Уравнение (1.6.3) было открыто Буссинеском в 1871 году для описания длинных волн на мелкой воде [87]. Это уравнение проходит тест Пенлеве и задача Коши для него решается методом обратной задачи рассеяния. По существу уравнение (1.6.3) описывает те же волновые процессы, что и уравнение Кортевега— де Вриза, и иногда возникает вопрос о том, какое из этих уравнений использовать лучше. По-видимому, уравнение Кортевега— де Вриза использовать предпочтительней, поскольку оно учитывает одну из волн, бегущую вправо или влево, и это описание ни чем не хуже, чем описание с помощью уравнения Буссинеска. Однако уравнение Буссинеска сложнее, чем уравнение Кортевега— де Вриза. Это обстоятельство неоднократно отмечалось Мартином Крускалом.

1.7.Фазовая и групповая скорости волн

Выше мы уже неоднократно говорили о скорости волны. Однако скорость, по очень тонкому замечанию Л.И. Мандельштама, — это «понятие, возникшее при описании движения частицы». Когда говорится о скорости волны, то перемещения частиц в ней, как правило, нет, а если и есть, как, например, на воде, то

оно происходит по иным законам, чем движение самой поверхности воды. Однако о скорости волны часто говорят, имея в виду перемещение максимума (или минимума) при распространении волны.

Рассмотрим стандартное волновое уравнение

Система уравнений (1.7.4) и (1.7.5) показывает, что исходное волновое уравнение (1.7.1) может быть представлено в виде эквивалентной системы уравнений (1.7.4) и (1.7.5). Поэтому при анализе волновых движений уравнения (1.7.4) и (1.7.5) часто рассматриваются отдельно. Именно это обстоятельство использовано в пп. 1.1 и 1.3 при выводе одноволновых приближений, описываемых уравнениями Кортевега—де Вриза. Из системы уравнений (1.7.4), (1.7.5) находится решение задачи Коши исходного волнового уравнения (1.7.1), впервые полученное Даламбером.

Рассмотрим решение волнового уравнения (1.7.1) при начальных условиях

u (x, t = 0) = a cos (kx) , ut (x, t = 0) = aω sin (kx) ,

где a, k и ω — постоянные. Искомое решение выражается зависимостью:

которая представляет собой монохроматическую волну, бегущую направо со скоростью

c = xt = ωk .

Эта скорость называется фазовой скоростью волны, поскольку характеризует скорость перемещения максимума одной волны (фазы).

Однако на практике реализовать процесс распространения монохроматической волны затруднительно, и поэтому обычно имеют дело с группой (пакетом) волн. В этом случае возникает естественный вопрос об определении скорости волн, при распространении волнового пакета.

В качестве примера рассмотрим процесс распространения двух волн, которые являются решениями волнового уравнения