Кудряшов Методы нелинейной математич 2008

152 Глава 3. Аналитические свойства нелинейных уравнений

оказалось, что решения уравнений Пенлеве являются существенно трансцендентными функциями относительно постоянных интегрирования. Поскольку таких функций в то время не было, то это обстоятельство привело Пенлеве к убеждению, что общие решения этих уравнений определяют новые специальные функции.

Теоремы существования решений утверждают, что в случае неподвижных критических точек решение уравнения второго порядка может быть полностью и единственным образом определено при заданных значениях w0 и w0 в точке z = z0. При этом решение можно рассматривать как функцию от начальных данных w0 и w0. Для зависимости решения от произвольных постоянных возможны три различных случая.

Во-первых, решение может быть алгебраической или рациональной функцией от w0 и w0. Например, общее решение уравнения wzz + 3wwz + w3 = 0 имеет вид

и является рациональной функцией от постоянных c1 и c2. Во-вторых, решение уравнения может не являться алгебра-

ической функцией от постоянных, но оно может иметь первый интеграл, в который постоянная интегрирования входит алгебраически. Такой случай соответствует полутрансцендентной зависимости от постоянных интегрирования. Например, уравнение

где A и B — коэффициенты, имеет первый интеграл в виде

и линейно зависит от постоянной интегрирования c1.

Третий случай зависимости общего решения от постоянных интегрирования отличается от первого и второго и является примером существенно трансцендентной функции от постоянных интегрирования. Источниками новых трансцендентных функций,

отличных от ранее известных, могут быть решения, относящиеся к этой категории.

На примере первого уравнения Пенлеве

покажем, что общее решение этого уравнения не может быть рациональной, алгебраической или полутрансцендентной функцией относительно постоянных интегрирования [2, 39, 95]. Этот факт

сформулируем в виде следующей теоремы.

Теорема 3.5. Общее решение первого уравнения Пенлеве является существенно трансцендентной функцией от постоянных интегрирования.

Доказательство. В начале покажем, что общее решение уравнения (3.7.4) не имеет рациональной или алгебраической зависимости от постоянных интегрирования. Полагая в уравнении (3.7.4)

(штрихи в последнем уравнении опущены). При λ = 0 общее решение уравнения (3.7.6) не имеет рациональной зависимости от постоянных интегрирования, поскольку это решение выражается через эллиптическую функцию Якоби. Следовательно, уравнение (3.7.6) при λ = 0 также не имеет рациональной зависимости от постоянных интегрирования. Однако уравнение (3.7.6) при λ = 0 имеет первый интеграл, и поэтому его решение имеет полутрансцендентную зависимость от начальных условий. Покажем, что в отличие от (3.7.6) при λ = 0 уравнение (3.7.4) не имеет первого интеграла в виде полинома.

156 Глава 3. Аналитические свойства нелинейных уравнений

полученных им уравнений. Под свойством неприводимости нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения понимается, что оно никаким преобразованием не приводится к линейному дифференциальному уравнению или к нелинейному дифференциальному уравнению меньшего порядка. Соответственно, неприводимость уравнений Пенлеве означает, что ни одно из этих уравнений не может быть сведено к линейному уравнению или к нелинейному уравнению первого порядка.

Строгие доказательства свойства неприводимости первого и второго уравнений Пенлеве даны сравнительно недавно в работах Х. Умемуры [39]. Для доказательства неприводимости первого уравнения Пенлеве Умемура ввел понятие классической функции и определил шесть допустимых операций, с помощью которых строятся новые классические функции.

Привлекая для анализа первого уравнения Пенлеве конечномерные дифференциальные группы Галуа, Умемура доказал тео-

рему [39].

Теорема 3.6. Любое голоморфное решение w(z) первого уравнения Пенлеве — не классическое. Другими словами, общее решение первого уравнения Пенлеве w(z) не выражается через постоянные интегрирования с помощью шести описанных выше допустимых операций для классических функций.

Умемура также доказал, что отсутствие первых интегралов для уравнений Пенлеве эквивалентно свойству неприводимости этих уравнений. Поэтому доказанная выше теорема о том, что общее решение первого уравнения Пенлеве является существенно трансцендентной функцией, по существу является доказательством неприводимости этого уравнения.

Доказательство неприводимости второго уравнения Пенлеве потребовало выделить возможные рациональные и специальные решения, которые имеет второе уравнение Пенлеве при некоторых фиксированных значениях параметров уравнения. Эти ре-

шения могут быть получены с помощью так называемых преобразований Бэклунда.

3.8.Преобразования Бэклунда для решений второго уравнения Пенлеве

Решения всех уравнений Пенлеве являются существенно трансцендентными функциями относительно постоянных интегрирования, однако все они, за исключением P1, имеют рациональные и специальные решения при некоторых значениях параметров уравнений. Эти решения находятся с помощью преобразований, называемых преобразованиями Бэклунда [39, 95].

Найдем эти преобразования для второго уравнения Пенлеве

Это легко проверяется подстановкой p из (3.8.3) в (3.8.2). Кроме того, уравнение (3.8.1) может быть представлено си-

158 Глава 3. Аналитические свойства нелинейных уравнений

и уравнение для n(z)

которое получается путем подстановки w˜ из (3.8.4) в (3.8.5).

Из сравнения уравнений (3.8.6) и (3.8.7) следует, что они совпадают в двух случаях: 1) p = n и α = −α˜ и 2) p = n и α˜ = α + 1.

Эти преобразования для решений второго уравнения Пенлеве носят название преобразований Бэклунда. Они позволяют нахо-

дить некоторые рациональные (в виде отношения многочленов от z) и специальные решения второго уравнения Пенлеве.

3.9.Рациональные и специальные решения второго уравнения Пенлеве

Спомощью полученных преобразований Бэклунда найдем рациональные и специальные решения уравнения (3.8.1).

Используя (3.8.12), вначале найдем несколько рациональных решений уравнения (3.8.1). Очевидно, что w = 0 при α = 0. Тогда из (3.8.12) имеем

Таким образом, при целых положительных значениях α существуют рациональные решения второго уравнения Пенлеве. Решения при отрицательных целых значениях α можно найти из (3.9.1), принимая во внимание симметрию решений (3.8.10) второго уравнения Пенлеве.

Используя преобразования (3.8.12) и (3.8.13), можно найти также специальные решения второго уравнения Пенлеве.

Подставляя (3.8.4) в (3.8.5), имеем соотношение