Кудряшов Методы нелинейной математич 2008

3.13. Применение алгоритма Конта—Форди—Пикеринга 171

в уравнение (3.13.8) и принимая во внимание (3.13.10), находим

Из (3.13.15) следует, что решение имеет две произвольные постоянные u0 и u1, соответствующие отрицательным индексам Фукса. Приближённое решение (3.13.15) может быть просуммировано [93], и в результате находится общее решение уравнения (3.12.1).

172 Глава 3. Аналитические свойства нелинейных уравнений

3.14.Преобразование Миуры и пара Лакса для уравнения Кортевега—де Вриза

После открытия солитона [155] многие исследователи предприняли попытку найти преобразование, связывающее решения уравнения Кортевега—де Вриза с решениями других точно решаемых уравнений. Это удалось сделать Р. Миуре, который установил, что преобразование

при известном решении модифицированного уравнения Кортевега—де Вриза

Миура нашел, что для уравнений (3.14.2) и (3.14.3) справедливо соотношение

Однако само по себе преобразование (3.14.1) не упрощает решение уравнения Кортевега—де Вриза, поскольку связывает решения двух нелинейных уравнений. Тем не менее, именно это преобразование стало ключом к открытию метода обратной задачи рассеяния.

Заметим, что модифицированное уравнение Кортевега—

де Вриза (3.14.3) можно представить в виде

vt − 6v2vx + vxxx = vt + ∂ ∂ + 2v vx − v2 = ∂ x ∂ x

∂ ∂

= vt + ∂ x ∂ x + 2v u = 0 ,

и поэтому уравнения (3.14.1) и (3.14.3) можно записать как систему уравнений:

vx = u + v2,

(3.14.5)

∂ ∂

vt = −∂ x ∂ x + 2v u .

При этом условие совместности для уравнений (3.14.5)

дает уравнение Кортевега—де Вриза (3.14.2). Уравнение (3.14.2) допускает группу преобразований Галилея, поэтому в преобразование Миуры (3.14.1) можно добавить постоянное число λ. В этом случае система уравнений (3.14.5) примет вид

то систему уравнений (3.14.7) можно привести к системе линейных уравнений [155]

Ψxx + (u + λ) Ψ = 0 ,

(3.14.10)

Ψt = (c + ux) Ψ − 2 (u − 2λ) Ψx,

где c (t) — находится при интегрировании (3.14.8) по x. Система уравнений (3.14.10) может быть представлена в виде

[155]

174 Глава 3. Аналитические свойства нелинейных уравнений

&

и A — вспомогательный эволюционный оператор, имеющий вид

находим, что уравнение Кортевега—де Вриза эквивалентно операторному уравнению [1, 39, 60]:

то можно дать определение.

Определение 3.14. Система уравнений (3.14.11),(3.14.12) называется парой Лакса для уравнения (3.14.17), если операторное уравнение (3.14.16) эквивалентно уравнению (3.14.17).

Уравнение Кортевега—де Вриза относится к классу нелинейных уравнений в частных производных, которые не могут быть сведены к одному линейному уравнению. Однако оно эквивалентно системе линейных уравнений относительно новой функции

Ψ (x, t, λ).

Используя систему уравнений (3.14.11) и (3.14.12), можно построить решение задачи Коши уравнения Кортевега—де Вриза

методом, получившим название метода обратной задачи рассеяния.

В этом методе при заданном начальном условии для уравнения (3.14.2)

таком, что

∞

−∞

находятся данные рассеяния путем решения стационарного уравнения Шредингера (3.14.11). Затем, из уравнения (3.14.12) определяется временная зависимость данных рассеяния. После чего решается обратная задача: определяется потенциал, который как раз и является решением уравнения Кортевега—де Вриза.

3.15.Законы сохранения для уравнения Кортевега—де Вриза

Законы сохранения являются важнейшими свойствами физических систем и широко используются при формулировке математических моделей и при решении различных задач математической физики. Они занимают особое место в газовой динамике, поскольку математические модели газовой динамики включают в себя законы сохранения массы, импульса и энергии. Так, уравнение непрерывности, отражающее закон сохранения массы газа, имеет вид

где ρ — плотность газа; u — его скорость; x — координата; t — время.

176 Глава 3. Аналитические свойства нелинейных уравнений

Интегрируя это уравнение по x получаем

−∞

Предполагая, что потоки массы газа при x → ± ∞ равны нулю, из (3.15.2) находим, что интеграл от плотности:

∞

−∞

не зависит от времени и является сохраняющейся величиной. Аналогичные соображения могут быть высказаны относительно любого уравнения математической физики, которое представляется в виде:

имеет n законов сохранения, если оно может быть представлено в виде

где Ti — плотность; Xi — поток; причем Ti и Xi зависят от u и ее производных по x и t.

Открытие солитонов поставило вопрос о законах сохранения

−∞

Были найдены также два других закона сохранения:

Однако новые законы сохранения для уравнения Кортевега— де Вриза оказалось найти сложнее. К. Гарднер предложил для этой цели использовать преобразование Миуры в виде [1, 60]

и уравнением Кортевега—де Вриза (3.15.7). Это соотношение имеет вид

178 Глава 3. Аналитические свойства нелинейных уравнений

Из (3.15.15) следует, что u (x, t) не содержит параметр ε. Это возможно, если w = w (x, t, ε). Будем искать w (x, t, ε) в виде разложения по степеням ε:

Подставляя (3.15.16) в формулу (3.15.13) и приравнивая выражения при одинаковых степенях ε нулю, имеем

w0 = u, w1 = w0, x = ux,

w2 = w1, x + w02 = uxx + u2,

(3.15.19)

w3 = w2,x + 2w0w1 = uxxx + 4uux,

w4 = w3, x + 2w0w2 + w12 = uxxxx + 6uuxx + 5u2x + 2u3.

Все эти выражения дают законы сохранения для уравнения Кортевега—де Вриза. Процедура поиска wn может быть продолжена, что ведет к бесконечному множеству законов сохранения. Это важное свойство типично для точно решаемых уравнений методом обратной задачи рассеяния.

180 Глава 3. Аналитические свойства нелинейных уравнений

При этом уравнение, которому удовлетворяют ω и ω , имеет вид

Система уравнений (3.16.6) и (3.16.7) является преобразованиями Бэклунда для уравнения (3.16.8), поскольку при заданном ω , решение ω, найденное из (3.16.6), (3.16.7), является также решением уравнения (3.16.8).

Преобразования Бэклунда (3.16.6), (3.16.7) могут быть использованы при нахождении аналитических решений уравнения Кортевега—де Вриза. Полагая ω = 0 в этой системе, из (3.16.6) имеем уравнение:

Подставив (3.16.10) в (3.16.7), находим c (t) = −4k2t + ϕ0, где ϕ0 — постоянная. Решение (3.16.10) дает односолитонное решение уравнения Кортевега—де Вриза. Используя итерационный процесс из (3.16.6), (3.16.7), можно найти другие решения уравнения Кортевега—де Вриза.

Однако при нахождении решений удобно воспользоваться алгебраической формулой, которая может быть получена из (3.16.6). Полагая ω = ω1, ω = ω0, 2λ = −λ1, из (3.16.6) имеем [39, 60]: