Кудряшов Методы нелинейной математич 2008
.pdf4.11. Метод обратной задачи рассеяния |
241 |
4.11.Метод обратной задачи рассеяния для решения задачи Коши
для уравнения sin-Гордона
Рассмотрим решение задачи Коши для уравнения sinГордона. Постановка задачи является следующей: найти решение уравнения sin-Гордона [75, 76, 77]
uxt = sin u |
(4.11.1) |
при начальном условии
u(x, t = 0) = ϕ(x), |
(4.11.2) |
которое удовлетворяет условию
∞
|ϕx|dx < ∞, |
x lim ϕ(x) → k π (k N ). (4.11.3) |
−∞ |
→±∞ |
Пара Лакса для уравнения sin-Гордона состоит из четырех уравнений [59]
φ1,x |
= i λ φ1 + |
i ux |
φ2, |
|
|||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
(4.11.4) |
|
|
|
|
|
|
i ux |
|
|
|
|
φ2,x = |
φ1 − i λ φ2, |
|
|||||||
2 |
|
||||||||
φ1,t = |
1 |
|
(φ1 cos u − i φ2 sin u ) , |
|
|||||
|
|
|
|
||||||
|
4iλ |
(4.11.5) |
|||||||
φ2,t = |
1 |
|
(iφ1 sin u − i φ2 cos u ) . |
||||||
|
|
||||||||
4iλ |
|
|
|||||||
Используя условие совместности |
|
||||||||
(φ1,x)t = (φ1,t)x, |
(φ2,t)x = (φ2,x)t |
(4.11.6) |
|||||||
и учитывая уравнения (4.11.4) и (4.11.5), приходим к уравнению sin-Гордона (4.11.1).
242 Глава 4. Методы решения интегрируемых уравнений
Полагая ux = 0 в системе уравнений (4.11.4), получаем уравнения для асимптотик функций φ1(x) и φ2(x) при x → ∞ в виде
φ1,x = i λ φ1 |
φ2,x = −i λ φ2. |
(4.11.7) |
Откуда имеем |
|
|
φ1 = C1 exp (i λ x), |
φ2 = C2 exp (−i λ x). |
(4.11.8) |
Полагая при x → −∞ |
|
|
φ1 0, |
φ2 exp (−i λ x) |
(4.11.9) |
получаем асимптотики после рассеяния на потенциале в виде:
φ1 b(x, t) exp (i λ x), φ2 a(x, t) exp (−i λ x). (4.11.10)
Для амплитуд рассеяния справедлива следующая теорема, ко-
торую примем без доказательства.
Теорема 4.2. Для амплитуд рассеяния волновых функций справедливы следующие свойства: 1) a(λ) является аналитической функцией при Imλ > 0, a (λ) аналитична при Imλ < 0; 2) дискретный спектр λ1, λ2, . . . λN , лежащий в верхней полу-
плоскости Imλ > 0, такой, что a(λk ) = 0 (n = 1, . . . , N ), имеет конечное число точек. Кроме того, выполняются соотношения:
|
|a|2 + |b|2 = 1, |
λ R, |
|
. |
(4.11.11) |
a(λ, t) = a(λ), |
b(λ, t) = b(λ) exp − |
i t |
(4.11.12) |
||
|
|||||
2 λ |
|||||
Уравнение Гельфанда—Левитана—Марченко при решении
уравнения sin-Гордона записывается в виде системы уравнений
∞
K1(x, y, t) + K2(x, ξ, t)F (ξ + y, t)dξ = 0
∞ x
K2(x, y, t) + K1(x, ξ, t) F (ξ + y, t)dξ = F (x + y, t).
x
4.11. Метод обратной задачи рассеяния |
243 |
Здесь функция F (z, t), содержащая данные рассеяния, имеет вид
N |
i t |
|
1 |
∞ |
|
F (z, t) = j=1 βj exp |
+ |
||||
|
|
−∞ r(λ, t) exp {i λ z}d λ. |
|||
2 λj |
2 π |
Коэффициент отражения для функции F (z, t) и ядро уравнения Гельфанда—Левитана—Марченко определяются формулами
r(λ, t) = |
b(λ, t) |
, |
βj = |
bj |
, |
a (λj ) = |
da |
. (4.11.13) |
a(λ) |
i a (λj ) |
|
||||||
|
|
|
|
|
dλj |
|||
Решение задачи Коши для уравнения sin-Гордона находится в соответствии с формулой
u(x, t) = −2 K2(x, x, t). |
(4.11.14) |
Для безотражательного потенциала b(λ, t) ≡ 0 и, следовательно, r(λ, t) ≡ 0, решение уравнения Гельфанда—Левитана— Марченко сводится к решению системы алгебраических уравне-
ний с элементами матрицы, имеющими вид: |
|
|||
Akj (x, t) = |
βj |
exp i λj x − |
i t |
|
λk + λj |
λj |
|||
(4.11.15)
(k, j = 1, 2, . . . , N ).
Для этого случая N -солитонные решения уравнения sinГордона находятся по формуле:
|
i |
det(I + A(x, t)) |
|
||||
u(x, t) = − |
|
ln |
|
|
|
. |
(4.11.16) |
2 |
det(I |
− |
A(x, t) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь I — единичная матрица N × N , матрица A(x, t) c элементами (4.11.15).
Глава 5
Методы построения точных решений нелинейных дифференциальных уравнений
5.1.Метод укороченного разложения для поиска точных решений нелинейных дифференциальных уравнений
Основные достижения метода Вайса, Табора и Карневейля [150] связаны с введением укороченных разложений. Решение нелинейного уравнения в частных производных
E(u, ux, ut, . . . , x, t) = 0 |
(5.1.1) |
5.1. Метод укороченного разложения |
245 |
||||
в соответствии с этим методом ищется в виде разложения |
|||||
u = |
u0 |
+ |
u1 |
+ . . . + up, |
(5.1.2) |
|
F p−1 |
||||
|
F p |
|
|
||
где F = F (x, t) — новая функция, коэффициенты uj |
зависят от |
||||
производных uj ≡ uj (Fx, Ft, . . .). Показатель степени p в разложении (5.1.2) находится из сравнения ведущих членов уравнения (5.1.1) после подстановки в них первого слагаемого правой части (5.1.2).
Подстановка (5.1.2) в исходное уравнение (5.1.1) и приравнивание нулю выражений при одинаковых степенях функции F (x, t) приводит к переопределенной системе уравнений, анализ которой позволяет найти точные решения системы относительно неизвестной функции F (x, t). Подставляя полученное выражение для F (x, t) в (5.1.2), мы находим точные решения исходного уравнения.
Для точно решаемых уравнений методом Вайса—Табора— Карневейля найдены пары Лакса, преобразования Бэклунда и установлены многие другие важные свойства дифференциальных уравнений [39, 92, 93, 115, 116, 118, 119], что было продемонстрировано в третьем разделе. Применение метода для неинтегрируемых уравнений в частных производных позволяет найти некоторые классы точных решений в виде уединеных и периодических волн [39, 41, 45, 113, 120], что будет показано в этом разделе.
5.1.1.Точные решения уравнения Шарма—Тассо—Олвера
В качестве первого примера применения метода Вайса— Табора—Карневейля найдем точные решения уравнения Шарма—Тассо—Олвера
|
ut + uxxx + |
3 |
|
u2 xx + u3 x = 0. |
(5.1.3) |
Подставляя |
2 |
|
|||
|
u = u0 F p, |
F = F (x, t) |
(5.1.4) |
||
246 Глава 5. Методы построения точных решений
в каждый член уравнения (5.1.3), получаем следующие наименьшие степени мономов
p − 1; p − 3; 2 p − 2; 3 p − 1. |
(5.1.5) |
Сравнивая их, находим, что наименьший показатель степени в разложении (5.1.2) равен p = −1, и поэтому решение уравнения (5.1.3) можно искать в виде
|
|
|
u(x, t) = |
u0 |
+ u1(x, t). |
|
|
(5.1.6) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Подставляя (5.1.6) при u1(x, t) = 0 в уравнение (5.1.3), полу- |
||||||||||||||||
чаем: u0 = Fx. Кроме того, имеем соотношение |
|
|
|
|||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
F + F |
xxx |
. |
|
||
ut + uxxx + |
|
|
u2 |
|
xx + u3 |
x = |
|
|
t |
(5.1.7) |
||||||
2 |
|
|
∂x |
F |
|
|||||||||||
Из последнего выражения следует, что решение уравнения |
||||||||||||||||
(5.1.3) можно найти по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
u(x, t) = |
Fx |
, |
|
|
|
|
(5.1.8) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
||
если воспользоваться решениями линейного уравнения третьего порядка
|
Ft + Fxxx = 0. |
(5.1.9) |
В частности решениями уравнения (5.1.9) является сумма экс- |
||
поненциальных функций |
|
|
|
N |
|
F (x, t) = |
aj exp {kj x − kj3 t}. |
(5.1.10) |
|
j=0 |
|
Подставляя (5.1.10) в формулу (5.1.8), получаем решение уравнения (5.1.3) в виде
|
N |
|
{kj x − kj3 t} |
|
|
||
u(x, t) = |
j=0 aj kj exp |
. |
(5.1.11) |
||||
1 |
N |
{ |
|
||||
|
− |
} |
|
|
|||
|
1 j=0 aj exp |
|
kj x |
kj3 t |
|
||
5.1. Метод укороченного разложения |
247 |
По формуле (5.1.8) можно найти и другие решения уравнения Шарма—Тассо—Олвера, используя решения линейного уравнения третьего порядка, в том числе рациональные и автомодельные решения.
5.1.2.Точные решения уравнения Бюргерса—Хаксли
В качестве второго примера применения метода укороченных разложений, найдем точные решения уравнения Бюргерса
— Хаксли [23]:
ut + 4 u ux = uxx − β u − g u2 + 2 u3 . |
(5.1.12) |
Преобразование Вайса—Табора—Карневейля (5.1.2) для решений уравнения (5.1.12), находится аналогично предыдущему примеру. Подставляя выражение
u(x, t) = u0 F p |
(5.1.13) |
в каждый член уравнения (5.1.12) [1, 39] и сравнивая наименьшие степени функции F мономов, находим члены, дающие наименьшую степень разложения (5.1.2).
Выбирая члены с наименьшими степенями, получаем укороченное уравнение, состоящее из ведущих членов уравнения (5.1.12)
4 u ux = uxx + 2 u3. |
(5.1.14) |
Подставляя (5.1.13) в уравнение (5.1.14), приходим к уравнению для определения p в виде:
4 u2 |
F 2 p−1 |
= p (p |
− |
1) u |
F p−2 + 2 u3 |
F 3p. |
(5.1.15) |
0 |
|
|
0 |
0 |
|
Из уравнения (5.1.15) находим p = −1, и поэтому для поиска точных решений уравнения (5.1.12) используем преобразование
u = |
u0(x, t) |
+ u1(x, t). |
(5.1.16) |
|
F (x, t) |
||||
|
|
|
248 Глава 5. Методы построения точных решений
Подставляя (5.1.16) в (5.1.12) и приравнивая нулю выражения при наименьших степенях F (x, t), получаем
u0 = − Fx. |
(5.1.17) |
Далее полагаем u1 = 0, тогда преобразование (5.1.16) приводится к преобразованию Коула—Хопфа [91, 101]
u = − |
∂ ln F |
(5.1.18) |
|
|
. |
||
∂x |
|||
Подставляя (5.1.18) в (5.1.12), имеем |
|
||
(Fxxx − Fxt − β Fx) F 3 + (Ft + Fxx + gFx ) F 2 = 0. |
(5.1.19) |
||
Приравняв нулю выражения при разных степенях F , из (5.1.19) получаем переопределенную систему уравнений относительно F (x, t):
Fxxx − Fxt − β Fx = 0, |
(5.1.20) |
Ft + Fxx + gFx = 0. |
(5.1.21) |
Выразив Ft из (5.1.21) и подставив в (5.1.20), получим систе-
му:
2 Fxxx + g Fxx − β Fx = 0, |
(5.1.22) |
Ft = −Fxx − gFx. |
(5.1.23) |
Функция F (x, t), удовлетворяющая системе уравнений (5.1.22), (5.1.23), позволяет по формуле (5.1.18) получить решения уравнения (5.1.12).
Найдем решения уравнения (5.1.12) в зависимости от параметров уравнения β и g.
Пусть β = g = 0, тогда из (5.1.22) имеем
F (x, t) = C1(t)x2 + C2(t)x + C3(t). |
(5.1.24) |
Подставив (5.1.24) в (5.1.23), получим |
|
C1,tx2 + C2,tx + C3,t = −2 C1, |
(5.1.25) |
5.1. Метод укороченного разложения |
249 |
откуда приходим к |
системе уравнений первого порядка для опре- |
||
деления C1(t), C2 |
(t) и C3(t): |
|
|
C1,t |
= 0, C2,t |
= 0, C3,t = −2 C1. |
(5.1.26) |
Из (5.1.26) находим зависимости C1(t), C2(t) и C3(t) в виде: |
|||
C1(t) = c1, |
C2(t) = c2, |
C3(t) = c3 − 2 c1 t, |
(5.1.27) |
здесь и далее: c1, c2 и c3 — произвольные постоянные. Подставив (5.1.27) в (5.1.24), имеем решение для F (x, t) в виде
F1(x, t) = c1 x2 + c2 x − 2 c1 t + c3. |
(5.1.28) |
|||||||||||
Решение уравнения (5.1.12) принимает вид: |
|
|||||||||||
u(x, t) = − |
|
(2 c1 x + c2) |
|
|
. |
|
|
(5.1.29) |
||||
c x2 |
+ c x |
− |
2 c t + c |
|
|
|||||||
1 |
2 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|||||
Пусть β = 0, g = 0. В этом случае решение F (x, t) системы |
||||||||||||
(5.1.22), (5.1.23) выражается формулой |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
|
g x |
. |
|
|||
F2(x, t) = c1 + c2 x − c2 g t + c3 exp |
g t |
− |
(5.1.30) |
|||||||||
4 |
2 |
|||||||||||
Подставив (5.1.30) в (5.1.18), получим решение уравнения |
||||||||||||
(5.1.12) при β = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
u(x, t) = |
21 c3 g e1/4 g2t−1/2 gx − c2 |
|
|
|
. |
(5.1.31) |
||||||
c1 + c2 x − g c2 t + c3 e1/4 g2t−1/2 g x |
||||||||||||
Из равенства нулю знаменателя в (5.1.31) можно найти значения постоянных c2 и c3, при которых решение (5.1.31) имеет особые точки в начальный и последующие моменты времени.
Рассмотрим случай β = 0, γ2 + 4βδ > 0. Из уравнения (5.1.22) находим F (x, t) в виде:
F (x, t) = C1 |
(t) + C2 |
(t) e 4 |
√ |
|
−4 x |
+ |
g2+8 β |
||||||
|
|
1 |
|
|
g |
|
−1 √g2+8 β−g x (5.1.32)
+C3 (t) e 4 4 ,
250 Глава 5. Методы построения точных решений
Подставив (5.1.32) в (5.1.23), находим зависимости |
|||||
C1(t), C2(t) и C3(t) от времени |
|
|
|
|
|
C1 = c1, C2(t) = c2 e−18 g √ |
|
|
+4 β−g2 t, |
||
g2+8 β |
|||||
C3(t) = c3 e 8 g √ |
|
(5.1.33) |
|||
|
|
−4 β+g2 t. |
|||
g2 |
+8 β |
||||
1 |
|
|
|
|
|
Учитывая (5.1.32) и (5.1.33), имеем решение F (x, t) системы уравнений (5.1.22) и (5.1.23) в виде:
−1 g √g2+8 β+4 β−g2 t+ 1 √g2+8 β−g x
F3(x, t) = c1 + c2 e 8 4 4 +
1 |
|
|
|
|
|
g |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√g2+8 β x. |
|
||||||||
+c3 e 8 |
g2+g √g2+8 β−4 β t− 4 + 4 |
(5.1.34) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Используя (5.1.34), по формуле (5.1.18) находим решение |
||||||||||||||
уравнения (5.1.12) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u = − |
∂ lg F3(x, t) |
. |
|
|
|
|
|
|
(5.1.35) |
||||
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Рассмотрим случай γ2 + 8β = 0. Из уравнения (5.1.22) имеем |
||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
3 g2 |
|
g x |
|
||||||
F4(x, t) = c1 + c2 + c3 x − |
|
c3g t exp |
|
t |
− |
|
|
. |
(5.1.36) |
|||||
2 |
16 |
4 |
||||||||||||
По формуле (5.1.18) находим решение уравнения (5.1.12) в виде
|
|
|
|
|
|
1 c x + 1 c g t ge 3 |
|
2 |
t −g4x |
|||||||||||
|
c |
3 − |
1 c |
2 − |
16g |
|||||||||||||||
u(x, t) = |
|
4 |
|
4 3 |
|
8 |
3 |
|
|
|
|
|
|
. (5.1.37) |
||||||
|
1 |
|
|
2 |
3 |
− |
2 |
3 |
|
|
g2 t |
− |
g x |
|||||||
− |
|
|
3 16 |
|
4 |
|
|
|||||||||||||
c + c + c x |
|
1 c g t |
e |
|
|
|
|
|
||||||||||||
Пусть γ2 + 8β < 0 и β = − |
g2 |
|
k2 |
, (k = |
|
|
). Тогда |
|||||||||||||
− |
−8 β − g2 |
|||||||||||||||||||
8 |
8 |
|||||||||||||||||||