Кудряшов Методы нелинейной математич 2008

При m = 0 и n = 1 из (5.8.35) получаем α = ± 1, 616125. Задача (5.8.26)—(5.8.27) в этом случае описывает процесс изотермической фильтрации газа в пористой среде при постоянном давлении на входе в пласт. Приближенное решение этой задачи было найдено П. Я. Полубариновой-Кочиной [38]

Приближенное решение задачи политропической (n = 4/3) фильтрации газа при постоянном давлении газа на границе пористой среды находится при α = ±0, 371091:

Вслучае электронной проводимости в плазме (n = 5/2) имеем

α= ± 0, 962766. Приближенное решение уравнения нелинейной теплопроводности при постоянном граничном условии имеет вид:

Для нелинейной теплопроводности газа при многократной ионизации газа (n = 9/2) получаем α = ± 0, 698232. Приближенное решение с учетом шести слагаемых выражается формулой

332 Глава 5. Методы построения точных решений

При многократной ионизации газа, соответствующей случаю n = 11/2, находим α = ± 0, 627021 и приближенное решение в виде:

(n = 13/2), имеем α = ± 0, 573740. Приближенное решение в этом случае выражается формулой

Значение α в этом случае может быть найдено из граничного условия

1

α = ± √ . (5.8.45) n

При m = 2 и в случае целочисленных значений показателя n величина α представлены в табл. 5.2 (m = 2).

Таблица 5.2

Из приближенного решения находится еще одно точное решение задачи нелинейной теплопроводности при m = −n+2n :

где α — произвольная постоянная. Однако для изучаемой краевой задачи это решение может быть также получено из граничного условия. В этом случае значение α находится по формуле

Приближенные решения исходных задач нелинейной теплопроводности с учетом полученных решений для f (z) находятся по формуле

Координата фронта распространения тепла при заданных значениях k и n и при вычисленном значении α определяется

Скорость распространения фронта нелинейной теплопроводности находится в результате дифференциирования координаты фронта по времени

рость распространения тепла становится постоянной. В случае −1 < k n < 1 скорость расспространения уменьшается, а при 1 < k n скорость — увеличивается.

334 Глава 5. Методы построения точных решений

Необходимые оценки сходимости полученного решения можно найти в книге [65]. Подставляя решение (5.8.33) в уравнение (5.8.26), приходим к зависимости Q(z, m, n), которая является мерой отклонения полученного приближенного решения от точного. Оказалось, что при фиксированных значениях m и n величина Q(z, m, n) убывает с увеличением z [0, α]. При m = 0 и n = 1 максимальное отклонение равно Q(z = 0) = 10−3. С увеличением n отклонение Q(z = 0) уменьшается. Численное решение краевой задачи (5.8.26), (5.8.27) с использованием метода Рунге—Кутта четвертого порядка не показало заметного отклонения численного решения от приближенного, построенного с учетом четырех слагаемых.

5.8.3.Приближенные решения задачи нелинейной теплопроводности при экспоненциальной зависимости температуры от времени на границе

Приближенные решения задачи о распространении тепловой волны могут быть получены и в случае зависимости температуры от времени при x = 0 в виде экспоненциальной функции

Рассмотрим решение задачи (5.8.18), (5.8.19), (5.8.51). Используя замену переменной (5.8.21), получаем задачу (5.8.22), (5.8.23) для функции v(x, t) при граничном условии

Ищем решение в виде

v(x, t) = v0 exp (n β t) g(θ), θ = x (χ v0 n β)−1 exp (−0, 5 n β t).

(5.8.53)

Приближенное решение задачи (5.8.54) и (5.8.55) ищется аналогично предыдущей задаче. Решение с учетом слагаемых до пятого порядка имеет вид

1n (n + 2) (5 n + 7)

P4(n) = 48 (n + 1)3 (2 n + 1) (3 n + 1) ,

В случае n = −2 из приближенного решения (5.8.56) получаем точное решение уравнения (5.8.54) в виде

где α — произвольная постоянная.

336 Глава 5. Методы построения точных решений

Подставляя решение (5.8.56) в уравнение (5.8.54), получаем зависимость Q1(θ, n), которая также является мерой отклонения полученного приближенного решения от точного. Зависимость Q1(θ, n) при фиксированном значении n также убывает с увеличением θ [0, α]. При n = 1 имеем α = ± 1, 280610, максимальное отклонение равно Q1(θ = 0) = 0, 0131. С увеличением n отклонение Q1(θ = 0) уменьшается. В случае n = 2 получаем α = ± 0, 930775, максимальное отклонение равно Q1(θ = 0) = 0, 0002641.

5.8.4.Автомодельные решения плоской задачи при заданном потоке на границе

Рассмотрим задачу о распространении тепла с учетом механизма электронной и лучистой теплопроводности при заданном потоке в виде степенной функции в начале координат [51]. Постановка плоской задачи имеет вид

k = 1/n (n > 0) задаются формулой (5.8.76).

Рассмотрим случай n = 1 при произвольном k. Приближенное решение задачи (5.8.66)—(5.8.72) с точностью до членов четвер-