Кудряшов Методы нелинейной математич 2008

нлеве, то весьма вероятно, что исходное нелинейное уравнение в частных производных не будет интегрируемым. Однако возможны случаи, когда исходное уравнение является точно решаемым, хотя обыкновенное дифференциальное уравнение имеет свойство Пенлеве только после соответствующего преобразования.

3.20.Метод Вайса—Табора—Карневейля для анализа нелинейных уравнений

Применение гипотезы Абловица—Рамани—Сигура для анализа нелинейных уравнений в частных производных является трудоемкой процедурой. Это связано с тем, что, во-первых, требуется найти все преобразования, с помощью которых решения исходного нелинейного уравнения в частных производных можно найти через решения обыкновенного дифференциального уравнения. Для этой цели обычно используется групповой анализ дифференциальных уравнений, открытый Софусом Ли. Во-вторых, требуется исследовать на свойство Пенлеве все обыкновенные дифференциальные уравнения, полученные из исходного уравнения в частных производных, которых может оказаться достаточно много.

Этот недостаток был устранен в обобщении теста Пенлеве, предложенного в 1983 году в работе Дж. Вайса, М. Табора и Г. Карневейля [150, 151, 152].

Идея метода Вайса—Табора—Карневейля состоит в следующем. Пусть задано нелинейное уравнение в частных производных:

j=0

192 Глава 3. Аналитические свойства нелинейных уравнений

где z (x, t) — новая функция, p — число, которое определяется при подстановке

введущие члены уравнения (3.20.1). Из сравнения выражений с наименьшими степенями находятся семейства решений с конкретными p и u0. При этом коэффициенты uj в (3.20.2) зависят от производных функции z (x, t).

Метод, предложенный Вайсом, Табором и Карневейлем, во многом напоминает алгоритм Ковалевской, но отличается тем, что вместо переменной ξ = z − z0 используется функция z (x, t) и вместо постоянного коэффициента a0 предполагается, что коэффициент uj зависит от производных функции z (x, t). Новая функция z (x, t) является сингулярным многообразием, и поэтому метод Вайса—Табора—Карневейля часто называется методом сингулярных многообразий. Как и в случае алгоритма Ковалевской, на первом этапе в методе Вайса—Табора—Карневейля предполагается, что уравнение (3.20.1) проходит тест Пенлеве, если p

в(3.20.2) — целое.

На втором этапе ищутся индексы Фукса точно так же, как для обыкновенных дифференциальных уравнений. С этой целью в ведущие члены уравнения (3.20.1) подставляются выражение

Третий этап исследования состоит в определении произвольных функций для коэффициентов разложения (3.20.2) с номерами, равными индексам Фукса.

Как и в случае обыкновенного дифференциального уравнения, считается, что (3.20.1) проходит тест Пенлеве, если индексы Фукса — целые и число произвольных функций совпадает с порядком исходного уравнения. Проверка исходного уравнения на свойство Пенлеве, как и в случае обыкновенного дифференциального уравнения, позволяет сделать вывод лишь о необходимом условии интегрируемости уравнения.

Однако Вайс, Табор и Корневейль пошли дальше и для целого ряда нелинейных уравнений получили достаточное условие интегрируемости. С этой целью они предположили, что uj ≡ 0 при j > p в (3.20.2) и в результате пришли к преобразованию:

позволяющему найти ряд свойств, характерных для точно решаемых нелинейных уравнений в частных производных.

3.21.Пенлеве-анализ уравнения Бюргерса методом Вайса—Табора—Карневейля

Проанализируем уравнение Бюргерса:

методом Вайса—Табора—Карневейля [150]. Ведущими членами этого уравнения являются второе и третье слагаемые. Поэтому, подставляя

в уравнение (3.21.1) и приравнивая выражения нулю при наименьшей степени z (x, t), получаем соотношение:

194 Глава 3. Аналитические свойства нелинейных уравнений

Таким образом, для уравнения Бюргерса имеем одно семейство решений:

Поскольку p = −1, то выполняется первое необходимое условие для того, чтобы уравнение Бюргерса проходило тест Пенлеве.

На втором этапе в ведущие члены уравнения (3.21.1) подставляется соотношение:

Поскольку

+uj (j − 1) (j − 2) zx2zj−3 + uj (j − 1) zj−2zxx + . . . ,

то после подстановки u, ux и uxx в ведущие члены уравнения (3.21.1) и приравнивания выражений при первой степени uj , имеем соотношение:

откуда приходим к уравнению для индексов Фукса:

имеющему корни j1 = −1, j2 = 2.

Таким образом второе необходимое условие теста Пенлеве для уравнения Бюргерса также выполняется.

Индекс j1 = −1 соответствует произвольно выбранной функции z (x, t), а коэффициент u2 в (3.20.2) должен быть произвольным.

Подстановка

в уравнение (3.21.1) и приравнивание выражений при одинаковых степенях z (x, t) дает следующую цепочку уравнений:

Очевидно, что если (3.21.9) удовлетворяется, то (3.21.10) переходит в тождество. Коэффициент u2 из (3.21.10) не определяется, и поэтому его можно взять произвольным. Таким образом, уравнение Бюргерса проходит тест Пенлеве. Если коэффициент u2 (x, t) взять равным нулю, то уравнение (3.21.11) примет вид

Пусть u1 является решением уравнения (3.21.12). В этом случае из решения линейного уравнения (3.21.9) можно найти z (x, t). Тогда формула (3.21.8) при u2 = 0 примет вид

Эта формула снова дает решение уравнения Бюргерса.

В частности, поскольку u1 = 0 является тривиальным решением уравнения (3.21.1), то, принимая во внимание (3.21.13), имеем хорошо известное преобразование Коула—Хопфа для решений уравнения Бюргерса [91, 101]:

196 Глава 3. Аналитические свойства нелинейных уравнений

Это преобразование позволяет по решению уравнения теплопроводности

находить решения уравнения (3.21.1). Полагая u1 = z в (3.21.12), находим, что если z (x, t) удовлетворяет уравнению Бюргерса, то формула (3.21.13) запишется в виде

При известном решении уравнения Бюргерса эта формула позволяет находить другие решения этого уравнения.

Таким образом, анализ уравнения Бюргерса на свойство Пенлеве методом Вайса—Табора—Карневейля позволил, во-первых, установить, что это уравнение проходит тест Пенлеве, и, вовторых, найти формулу Коула—Хопфа, с помощью которой исходное уравнение может быть сведено к линейному уравнению теплопроводности.

3.22. Решение задачи Коши для уравнения Бюргерса

можно свести к линейному уравнению.

Действительно, учитывая (3.22.2), имеем соотношение:

198 Глава 3. Аналитические свойства нелинейных уравнений

Рассмотрим решение (3.22.8) при фиксированных x и t и при μ → 0. Основной вклад в интегралы в (3.22.8) дают окрестности

Пусть θ = θ (x, t) — решение этого уравнения, тогда интеграл вблизи θ = θ вычисляется приближенно методом перевала [4] в соответствии с формулой:

которое получено в п. 1.10 методом характеристик.

Таким образом, решение задачи Коши для уравнения Бюргерса находится в виде квадратур и это уравнение можно отнести к числу интегрируемых уравнений. Однако, как правило, о таких уравнениях говорят, как о точно решаемых, оставляя понятие интегрируемых уравнений за гамильтоновыми системами.

3.23.Анализ уравнения Кортевега—де Вриза методом Вайса—Табора—Карневейля

на свойство Пенлеве, используя метод Вайса—Табора— Карневейля [150].

Ведущими членами уравнения являются второе и третье слагаемые. Подставляя (3.20.3) в эти слагаемые и приравняв нулю выражения при наименьшей степени z (x, t), находим соотноше-

из которого следует, что p = 2, u0 = −2zx2 . Таким образом, уравнение Кортевега—де Вриза имеет одно семейство решений, у которого

снова в ведущие члены уравнения и приравнивая нулю слагаемые при первой степени uj , имеем соотношение:

из которого следует уравнение для индексов Фукса:

Это уравнение имеет корни j1 = −1, j2 = 4, j3 = 6, откуда следует, что уравнение Кортевега—де Вриза на втором этапе также проходит тест Пенлеве.

200 Глава 3. Аналитические свойства нелинейных уравнений

На третьем этапе исследования проверяется произвольность коэффициентов u4 и u6. С этой целью в уравнение (3.23.1) подставляется выражение

Из (3.23.11) следует, что при выполнении (3.23.10) уравнение (3.23.11) также удовлетворяется, и, следовательно, коэффициент u4 может быть взят произвольным. Продолжая вычисления дальше, устанавливаем, что коэффициент u6 можно также взять произвольным.

где u2 удовлетворяет опять же уравнению Кортевега—де Вриза

Таким образом, применение теста Пенлеве для уравнения Кортевега—де Вриза показало, что необходимое условие интегрируемости для него выполняется. В работах Дж. Вайса [150, 151, 152, 153] проиллюстрировано, что уравнение sin-Гордона, нелинейное уравнение Шредингера и ряд других нелинейных уравнений в частных производных также проходят тест Пенлеве.