Кудряшов Методы нелинейной математич 2008

(2.3.1), то x = f (x, a) будет также решением той же системы уравнений

Fk x = 0, (k = 1, . . . , s) . (2.3.2)

При этом говорят, что система уравнений (2.3.1) инвариантна относительно группы преобразований G или что эта система уравнений допускает группу преобразований G.

Справедливы две важные теоремы, которые приведем без доказательства.

Теорема 2.3. Система уравнений (2.3.1) инвариантна относительно группы преобразований G тогда и только тогда, когда

Доказательство необходимого условия этой теоремы проводится аналогично доказательству теоремы 2.2., а доказательство достаточного условия можно посмотреть в [30, 31].

Теорема 2.4. Поверхность M , заданная системой уравнений (2.3.1), инвариантная относительно некоторой группы преобразований G, может быть задана системой уравнений выраженной через независимые инварианты группы, если инфинитезимальный оператор не обращается в ноль на поверхности

M .

Суть этой теоремы выражает тот факт, что поверхность M может быть записана в виде

где I1 (x) , . . . , IN −1 (x) — инварианты группы преобразований

G.

2.4.Групповой анализ дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения содержат независимые, зависимые переменные и производные. Предположим, что в En+m число независимых переменных n: x = x1, . . . , xn , а число зависимых переменных m: u = u1, . . . , um . Причем они преобразуются в соответствии с формулами

x = f (x, u, a) ,

(2.4.1)

u = g (x, u, a) .

Пусть семейства преобразований (2.4.1) удовлетворяют групповым свойствам и являются однопараметрическими группами преобразований Ли.

Поскольку в дифференциальные уравнения входят производные от координат вектора u по компонентам вектора x, то введем дополнительные переменные

В зависимости от порядка дифференциального уравнения могут быть введены также переменные, являющиеся вторыми производными:

и т.д.

Когда точка в En+m преобразуется в соответствии с (2.4.1), то при этом преобразуются и производные. Предположим, что компоненты uki преобразуются по формуле:

Введем пространство EN , где N = n + m + nm, в котором точка имеет координаты xi, uk , uki . Семейство преобразований (2.4.1) и (2.4.4) образует продолженную группу G1. Если инфинитезимальный оператор группы G имеет вид

то оператор группы G1, продолженный на пространство EN , представляется в виде

Поскольку решение дифференциального уравнения является со-

отношением между u = ϕ (x), то компоненты ξki можно выразить через ξi и ηk .

Решение дифференциального уравнения в преобразованных координатах имеет вид соотношения

уравнение может рассматриваться как алгебраическое уравнение от переменных x, u, u, u и т. д., некоторые переменные в кото-

12

ром связаны дифференциальными соотношениями.

2.5.Группы преобразований, допускаемые обыкновенным дифференциальным уравнением 2-го порядка

Вкачестве примера рассмотрим групповой анализ обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка

где f — гладкая функция от x, y и yx.

Решим задачу о нахождении всех групп преобразований, которые допускаются дифференциальным уравнением вида (2.5.1).

Обозначая координаты касательного векторного поля за ξ1 и ξ11, имеем оператор X в виде

Действуя X на уравнение (2.5.1), получаем соотношение

2

Пусть для определенности f = 0, тогда из (2.5.3) получаем

откуда находим

Ψ1 (x) = c1x + c2,

Ψ2 (x) = c3x2 + c4x + c5,

(2.5.12)

ϕ1 (y) = c3y + c6, ϕ2 (y) = c1y2 + c7y + c8.

Координаты касательного векторного поля ξ и η с учетом (2.5.12) выражаются формулами

В выражениях ci (i = 1, . . . , 8) — произвольные постоянные. Полагая постоянные ci в (2.5.13) и в (2.5.14) последовательно

равными единице, а остальные нулю, получаем операторы, которые допускаются уравнением (2.5.8):

Операторы (2.5.15) соответствуют полной симметрии обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка.

Анализируя полученные операторы можно видеть, что некоторые из них могут быть определены непосредственно из исходного дифференциального уравнения.

2.6.Интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений, допускающих группы преобразований

Одним из достижений группового анализа дифференциальных уравнений явилось то, что Софусу Ли удалось показать, что большинство подходов, использованных при интегрировании обыкновенных дифференциальных уравнений, могут быть получены с помощью теории групп.

В качестве примера рассмотрим доказательство того, что уравнение первого порядка

(где P (x, y) и Q (x, y) — некоторые функции от x и y) может быть проинтегрировано с помощью интегрирующего множителя.

Уравнение (2.6.1) можно записать в виде

которое равносильно уравнению в частных производных первого порядка

в том смысле, что интеграл F (x, y) = C (C — постоянная) является решением уравнения (2.6.3) и, наоборот, всякое решение уравнения (2.6.3) — решение уравнения (2.6.2).

Предположим, что уравнение (2.6.2) допускает некоторую группу преобразований с инфинитезимальным оператором в виде

Под действием этого оператора всякое решение F (x, y) = C1 уравнения (2.6.3) переходит снова в решение, так что решением