Кудряшов Методы нелинейной математич 2008

2.8.Группы для нелинейного уравнения теплопроводности 121

ипоэтому уравнение (2.8.1) имеет частное решение в виде

Отсюда получаем важный результат: для того, чтобы исходное уравнение с двумя независимыми переменными x и t имело решение в переменных бегущей волны, оно должно быть инвариантным относительно группы преобразований сдвига по x и по t.

Аналогично, используя оператор

1

X = γ X3 + X4,

Откуда следует, что уравнение (2.8.1) имеет инвариантное решение

I1 = F (I2) ,

поэтому одно из его частных решений можно представить формулой

При γ = 0 получаем, что уравнение (2.8.1) имеет также инвариантное решение в виде:

Это решение соответствует оператору X3.

и поэтому уравнение (2.9.1) имеет инвариантное решение в виде

Решения уравнений в частных производных инвариантные относительно группы преобразований растяжений в русскоязычной литературе часто называются автомодельными.

Глава 3

Аналитические свойства нелинейных дифференциальных уравнений

Над вопросом о том, как решать дифференциальные уравнения, многие математики размышляли со времени появления дифференциального и интегрального исчисления. Еще в начале XIX столетия было замечено что, как правило, зависимую переменную в уравнении не удается представить никакой комбинацией известных к тому времени функций. Тогда же появилась идея попытаться расширить состав имеющихся математических функций, дополнив их новыми функциями, с помощью которых можно было бы выразить решения дифференциальных уравнений. Однако на этом пути исследователи вновь столкнулись с рядом трудностей. Это обстоятельство привело к идее исследовать решения дифференциальных уравнений, используя сами уравнения, поскольку известно, что с геометрической точки зрения их решения представляют собой некоторую линию в фазовом про-

странстве — интегральную кривую. И поэтому, используя вид самого дифференциального уравнения, можно изучить общие свойства таких интегральных кривых. Такой подход характерен для качественной теории дифференциальных уравнений.

О. Коши обратил внимание на то, что решения дифференциальных уравнений удобно рассматривать как функции комплексной переменной. При этом независимая и зависимая переменные в дифференциальном уравнении предполагаются комплексными переменными и при исследовании дифференциального уравнения используются все достижения теории функций комплексного переменного. Именно с этой точки зрения и ведется исследование решений в аналитической теории дифференциальных уравнений.

3.1.Классификация особых точек функций комплексной переменной

Аналитическая теория обыкновенных дифференциальных уравнений изучает, как правило, уравнения, которые представляют собой многочлены относительно зависимой переменной и ее производных с коэффициентами, являющимися аналитическими функциями. Задачей, которая при этом ставится, является изучение свойств решений по виду самого дифференциального уравнения [1, 18, 2, 39]. Поскольку решение дифференциального уравнения рассматривается на комплексной плоскости, то поведение решения и область его существования определяется точками, где нарушается аналитичность функции.

Для дифференциального уравнения первого порядка

рассматриваемого на комплексной плоскости, предполагается, что w и z — комплексные переменные, а F — рациональная функ-

126 Глава 3. Аналитические свойства нелинейных уравнений

ция по w и аналитическая в некоторой области по z. Для уравнения (3.1.1) в аналитической теории дифференциальных уравнений ищется решение, принимающее при z = z0 начальное значение w = w0, где z0 и w0 — два заданных комплексных числа.

Теоремы существования и единственности, которые переносятся на уравнение от комплексной переменной, определяют его решение внутри некоторой окружности и задают элемент аналитической функции, и если он удовлетворяет дифференциальному уравнению, то этому же уравнению удовлетворяют и аналитические продолжения этого элемента на всю область. Поэтому аналитическая функция в целом есть также решение того же диф-

ференциального уравнения.

Определение 3.1. Точки комплексной плоскости, в которых однозначная функция w (z) не является аналитической, называются особыми.

В теории функций комплексной переменной, как правило, рассматривают особые точки однозначных функций, однако решения дифференциальных уравнений очень часто являются многозначными функциями, и поэтому ниже дается классификация особых точек произвольных аналитических функций, которая впервые была предложена Пенлеве [2, 18].

Прежде всего, эта классификация основана на числе значений, которые принимает функция при обходе вокруг особой точ-

ки.

Определение 3.2. Особая точка z = z0 функции w (z) называется критической особой точкой, если при обходе этой точки значение функции w (z) меняется.

В противном случае особая точка z0 функции w (z) называется некритической.

Пусть n — наименьшее целое число (n > 1), такое, что после n-кратного обхода точки z = z0 значение функции w (z) возвращается к первоначальному значению. Тогда при введении новой переменной t по формуле z = z0 +tn функция w (t) является однозначной функцией переменной t. Тогда, если вблизи t = 0 имеем

иточка z0 называется критической алгебраической точкой.

Вслучае если w (t) представима в виде

и точка z = z0 называется критическим полюсом. Определение 3.3. Алгебраическими особыми точками функ-

ции w (z) называются критические алгебраические точки, полюсы и критические полюсы.

Примером критической алгебраической особой точки являет-

√

ся точка z = 0 функции z. Функция 1/z имеет также особую точку z = 0 в виде простого полюса, который относится к типу некритических особых точек алгебраических функций.

Пусть z = z0 — неалгебраическая особая точка функции w (z) и пусть ρ — замыкание множества значений функции w (z), ко-

будем называть областью неопределенности функции w (z) в особой точке z = z0.

Определение 3.5. Особая точка z0 функции w (z) называется трансцендентной особой точкой, если множество неопределенности Ez0 состоит из одной точки.

128 Глава 3. Аналитические свойства нелинейных уравнений

Определение 3.6. Особая точка z0 функции w (z) называется существенно особой точкой, если множество неопределенности Ez0 содержит более одной точки.

Примером трансцендентной особой точки служит точка z = 0 для функции w = ln z, поскольку, подходя к этой точке по любому пути, ln z стремится к бесконечности, и поэтому область неопределенности состоит из одной точки. Точка z = 0 для функций

особой точки.

Предложенная классификация относится не только к изолированным особым точкам, но и к особым точкам, образующим линии. Примеры функций, имеющих особые точки на линиях даются в книге [18].

3.2.Неподвижные и подвижные особые точки

Рассмотренная выше классификация типов особых точек дана без учета природы функций комплексной переменной. Теперь остановимся на классификации особых точек решений дифференциальных уравнений на комплексной плоскости. Немецкий ученый Л. Фукс разделил их по их отношению к начальным условиям, поскольку одни особые точки решений могут зависеть от

начальных данных, другие — нет.

Определение 3.7. Особые точки решений дифференциальных уравнений на комплексной плоскости, положение которых не зависит от начальных данных, определяющих решение, называются неподвижными особыми точками.

Определение 3.8. Особые точки решений дифференциальных уравнений, зависящие от начальных данных, называются подвижными особыми точками.

Рассмотрим пример. Пусть на плоскости с начальной скоростью v0 движется тело при действии силы сопротивления, за-

висящей от квадрата скорости. Сила сопротивления направлена против движения, и поэтому дифференциальное уравнение для движущегося тела в соответствии со вторым законом Ньютона имеет вид

где k — постоянная.

Решением этого уравнения является множество функций

t = t0 − (kv0)−1, положение которого зависит от начальных данных t0 и v0. Следовательно, в данной математической модели мы имеем дело с подвижной особой точкой.

Предполагая в (3.2.1), что сила сопротивления линейно зави-

решение которого с учетом начального условия запишется в виде

Очевидно, что в этом решении особых точек нет.

Рассмотрим еще несколько примеров. Пример 1. Уравнение

130 Глава 3. Аналитические свойства нелинейных уравнений

имеет решение

где c2 — произвольная постоянная. При n = 1 решение (3.2.7) не имеет особой точки, но в случае n = 1 оно имеет критическую подвижную алгебраическую точку при z = c2. Если в уравнении (3.2.6) сделать замену z − c = tn, то оно перейдет в уравнение, имеющее решение с некритическим подвижным полюсом первого порядка. Таким образом, в ряде случаев с помощью замены переменных в исходном дифференциальном уравнении можно придти к уравнениям, решения которых не имеют критических подвиж-

ных особых точек. Пример 2. Уравнение

из которой следует, что при z = c2 решение (3.2.11) имеет по-

движную существенную особую точку. Пример 4. Общее решение уравнения