Кудряшов Методы нелинейной математич 2008

3.17. Преобразования Бэклунда для уравнения sin-Гордона 181

Из (3.16.11), (3.16.12), (3.16.13) и (3.16.14) находим формулу:

которая полезна при нахождении аналитических решений уравнения Кортевега — де Вриза.

3.17.Преобразования Бэклунда для уравнения sin-Гордона

Найдем преобразование Бэклунда для уравнения sin-Гордона [72]:

Предположим, что два решения уравнения (3.17.1) представляются через новые переменные u и v:

которые определяются из уравнений:

Здесь f (v) и g (u) — функции, которые требуется найти. Дифференцируя первое выражение (3.17.3) по τ и второе по

ξ, приходим к соотношениям:

из которых после сложения и вычитания находим

3.17. Преобразования Бэклунда для уравнения sin-Гордона 183

Предполагая, что ϕ — решение уравнения sin-Гордона, и исключая ϕ из (3.17.9), (3.17.10), находим, что Ψ также удовлетворяет уравнению sin-Гордона. Это обстоятельство позволяет последовательно находить аналитические решения уравнения sinГордона. Очевидно, что Ψ = 0 является тривиальным решением уравнения sin-Гордона. Подставляя Ψ = 0 в преобразования

Указанная процедура нахождения аналитических решений уравнения sin-Гордона может быть продолжена, если воспользоваться итерационным процессом.

Более сложные решения могут быть получены из формулы, которая выводится из системы четырех уравнений, подобных (3.17.9). Используя соответствующую теорему и тригонометрические формулы, получаем связь между решениями ϕ0, ϕ1, ϕ2

184 Глава 3. Аналитические свойства нелинейных уравнений

где λi — постоянные (i = 1, 2). Применение формулы (3.17.16) при трех известных решениях позволяет находить новые солитонные решения уравнения sin-Гордона.

3.18.Семейство уравнений Кортевега—де Вриза

В 1968 году П. Лакс решил задачу о нахождении всех уравнений в частных производных, для которых решение задачи Коши может быть получено методом обратной задачи рассеяния с использованием стационарного уравнения Шредингера. Он предложил искать класс уравнений, представимых в виде системы двух линейных уравнений [39]:

где B и E — функции от λ, u и от производных u по x, которые требуется найти.

Условие совместности

186Глава 3. Аналитические свойства нелинейных уравнений

E4 = L4[u] = uxxxxxx + 14uuxxxx + 28uxuxxx+

(3.18.14)

+21u2xx + 70u2uxx + 70uu2x + 35u4.

Подставив (3.18.11)—(3.18.14) в уравнение (3.18.10), получим семейство уравнений [39, 134]:

+70u3x + 140u3 ux + uxxxxxxx = 0.

Семейство уравнений (3.18.15)—(3.18.18) называется иерархией уравнений Кортевега—де Вриза. Все уравнения этого семей-

ства, очевидно, имеют нечетные порядки, что соответствует отсутствию диссипативных членов. Решения задачи Коши для всех уравнений этого семейства могут быть получены методом обратной задачи рассеяния на основе системы линейных уравнений:

−2 (−4λ)n−k Lk[u] Ψx.

k=0

Система уравнений (3.18.19), (3.18.20) является парой Лакса для семейства уравнений Кортевега—де Вриза.

3.19.Тест Абловица—Рамани—Сигура для нелинейных уравнений в частных производных

Открытие К. Гарднера, Д. Грина, М. Крускала и Р. Миуры в 1967 году метода решения уравнения Кортевега—де Вриза привлекло внимание к проблеме интегрирования нелинейных уравнений в частных производных многих исследователей. Последующие результаты В.Е. Захарова и А.Б. Шабата для нелинейного уравнения Шредингера и М. Абловица, Д. Каупа, А. Ньюэлла и Х. Сигура для иерархии АКНС привели к вопросу о критерии, с помощью которого можно было бы установить, является ли нелинейное уравнение точно решаемым или нет.

В этой связи М. Абловиц и Х. Сигур в 1978 году обратили внимание [78, 79] на то, что если в нелинейных уравнениях в частных производных, имеющих решения в виде солитонов, искать решения, используя автомодельные переменные или переменные бегущей волны, то полученные обыкновенные дифференциальные уравнения имеют свойство Пенлеве.

Действительно, если, например, решение модифицированного уравнения Кортевега—де Вриза

188 Глава 3. Аналитические свойства нелинейных уравнений

искать в переменных бегущей волны

то для V (ξ) получаем уравнение:

которое имеет свойство Пенлеве, поскольку решение уравнения (3.19.3) может быть выражено через эллиптическую функцию Якоби.

Модифицированное уравнение Кортевега—де Вриза (3.19.1) допускает группу преобразований неоднородного растяжения [30], и поэтому его решение можно также искать в виде

Подставляя (3.19.4) в уравнение (3.19.1) и интегрируя по θ, имеем второе уравнение Пенлеве:

также обладающее свойством Пенлеве.

Из этих примеров видно, что переход от точно решаемого уравнения (3.19.1) к обыкновенным дифференциальным уравнениям ведет к уравнениям, имеющим свойство Пенлеве.

Если искать решения уравнения Кортевега—де Вриза:

в переменных бегущей волны

то для U (ξ) получается уравнение:

имеющее также свойство Пенлеве.

Уравнение (3.19.6), как и уравнение (3.19.1), также допускает группу неоднородного растяжения, и его решение можно искать в виде

При этом уравнение для f (θ) имеет вид

Оно также имеет свойство Пенлеве. Его решение может быть получено, если использовать преобразование Миуры

где λ — параметр, то после интегрирования по z для q (z) получаем первое уравнение Пенлеве:

В качестве еще одного примера рассмотрим нелинейное уравнение Колмогорова—Петровского—Пискунова:

В переменных бегущей волны уравнение (3.19.14) принимает вид

Оно не имеет свойства Пенлеве, и, следовательно, исходное уравнение (3.19.14) не является точно решаемым.

190 Глава 3. Аналитические свойства нелинейных уравнений

Таким образом, действительно, если от точно решаемых нелинейных уравнений в частных производных переходить к обыкновенным дифференциальным уравнениям, то последние оказываются имеющими свойство Пенлеве. Это наблюдение позволило М. Абловицу, А. Рамани и Х. Сигуру высказать гипотезу о свойстве Пенлеве, которое можно рассматривать как критерий интегриру-

емости нелинейного уравнения в частных производных [1].

Гипотеза о свойстве Пенлеве. Нелинейное уравнение в частных производных является точно решаемым уравнением только

в том случае, если любое нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение, полученное из него в результате замены переменных (автомодельные переменные, переменные бегущей волны и т.д.), имеет (возможно после дополнительного преобразования) свойство Пенлеве.

Эту гипотезу можно использовать как тест для определения точно решаемого нелинейного уравнения в частных производных, который применяется следующим образом.

Пусть задано нелинейное уравнение в частных производных

тогда, используя инвариантные переменные (переменные бегущей волны, автомодельные переменные и т.д.), уравнение (3.19.16) преобразуется к обыкновенному дифференциальному уравнению. Далее анализируется полученное обыкновенное дифференциальное уравнение на свойство Пенлеве. Это может быть сделано путем сравнения со списками уравнений, имеющих свойство Пенлеве или путем специального анализа полученного уравнения. Если исследуемое уравнение имеет свойство Пенлеве, то следует проверить, к каким уравнениям приводят другие подстановки. В случае, если все полученные обыкновенные дифференциальные уравнения имеют свойство Пенлеве, есть основание надеяться, что исходное нелинейное уравнение в частных производных является точно решаемым. Если же какое-либо из обыкновенных дифференциальных уравнений не имеет свойства Пе-