Кудряшов Методы нелинейной математич 2008

3.24.Построение пары Лакса для уравнения Кортевега–де Вриза методом Вайса—Табора—Карневейля

Пара Лакса для уравнения Кортевега—де Вриза может быть получена из системы уравнений (3.23.9), (3.23.10) при условии, что u2 является решением уравнения (3.23.13) [150].

Из уравнения (3.23.9) имеем

где λ — функция, появившаяся при интегрировании по x. Пусть

тогда из (3.24.3) имеем

С другой стороны, подставляя (3.24.4) в уравнение (3.23.10), при u3 = 0 приходим к уравнению:

Система уравнений (3.24.5), (3.24.6), в которой λ — постоянная, является парой Лакса для уравнения Кортевега—де Вриза. Таким образом, используя метод Вайса—Табора—Карневейля можно получить пару Лакса для уравнения Кортевега—де Вриза.

Глава 4

Методы решения интегрируемых нелинейных уравнений в частных производных

4.1.Общие, частные и точные решения дифференциальных уравнений

При формулировке математических моделей встречаются дифференциальные уравнения двух видов: обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения в частных производных. Математическая модель, как правило, включает в себя одно или несколько дифференциальных или алгебраических уравнений и начальные, а в ряде случаев и граничные, условия. Основная задача, которая возникает при исследовании математических моделей, — найти решения уравнений или доказать существование и единственность этих решений.

Остановимся на основных понятиях, относящихся к решениям дифференциальных уравнений. Пусть задано ОДУ n-го порядка:

dn w

E(w, wz , . . . , wn,z , z) = 0, wn,z = d zn . (4.1.1) Под классическим решением w = ϕ(z) (в последние десятилетия интенсивно изучаются и обобщенные решения) уравнения (4.1.1) понимается любая достаточное число раз дифференцируемая функция, которая после подстановки в уравнение (4.1.1) обращает его в тождество хотя бы в некоторой области переменных

z, w.

Функция w = ϕ(z) может зависеть от произвольных постоянных, число которых не превышает порядок дифференциального уравнения

Если число независимых произвольных постоянных решения w(z) = φ(z, C1, C2 , . . . , Ck ) обыкновенного дифференциального уравнения равно порядку дифференциального уравнения (k = n), то такое решение обыкновенного дифференциального уравнения называется общим решением (4.1.1).

Полагая постоянные C1, C2 , . . . , Cn в решении w(z) = = φ(z, C1, C2 , . . . , Ck ) заданными, мы получаем частное решение дифференциального уравнения.

Частные решения возникают при решении задачи, описываемой уравнением (4.1.1) при заданных начальных условиях (задача Коши):

w(z = z0) = φ(z0 , C1, C2 , . . . , Cn) = w0,

wz (z = z0) = φz (z0 , C1, C2 , . . . , Cn) = w1,

(4.1.3)

··· ,

wn−1,z (z = z0) = φn−1,z (z0, C1, C2 , . . . , Cn) = wn−1.

Условия (4.1.3) можно рассматривать как систему уравнений для определения значений произвольных постоянных C1, C2 , . . . , Cn,

204 Глава 4. Методы решения интегрируемых уравнений

позволяющую из бесконечного множества решений уравнения (4.1.1) выбрать конкретную интегральную кривую, проходящую через точку z = z0, w0.

В качестве примера рассмотрим нелинейное дифференциаль-

из уравнения (4.1.4) получаем линейное дифференциальное уравнение второго порядка:

Решение (4.1.7) зависит от двух произвольных постоянных C1 и C2. Однако подставляя решение (4.1.7) в (4.1.5), имеем решение исходного уравнения, зависящее от одной произвольной постоян-

В зависимости от значений параметров уравнения (4.1.4) его решение выражается через гиперболические, тригонометрические, показательные или рациональные фукции. √

Пусть в уравнении (4.1.4) a = 0, тогда λ1,2 = ± b, решение (4.1.4) имеет вид:

где ϕ0 — произвольная постоянная.

При b = 0 из (4.1.8) в уравнении (4.1.4) имеем решение в виде

Полагая a = b = 0 в уравнении (4.1.4), получаем решение в виде

Часто общее решение дифференциального уравнения найти не удается, тогда ищутся решения, зависящие от меньшего числа произвольных постоянных, чем порядок уравнения. О таких решениях дифференциального уравнения говорят как о точных

решениях.

Определение 4.1. Точным решением дифференциального уравнения (или систем уравнений) будем называть решение, выраженное через некоторую элементарную или специальную функцию, как правило, при меньшем числе произвольных постоянных, необходимых для построения общего решения.

Для уравнения в частных производных общее решение, как правило, найти (а иногда и дать его определение) не удается, хотя понятие общего решения и для уравнений в частных производных встречается периодической литературе.

Об общем решении для уравнения в частных производных говорят, если в решении уравнения появляются произвольные функции. Например, общее решение уравнения в частных про-

206 Глава 4. Методы решения интегрируемых уравнений

представляется формулой Даламбера

где функции f и g определяются из начальных условий, заданных для волнового уравнения. О решении (4.1.15) часто говорят как об общем решении волнового уравнения (4.1.14).

Для уравнений в частных производных может решаться задача при заданных начальных условиях. Как и для обыкновенного дифференциального уравнения, в этих случаях говорят о решении задачи Коши. Если для нелинейного уравнения в частных производных, задача Коши решается для достаточно большого класса функций, заданных в качестве начальных данных, то о таких уравнениях говорят как о точно решаемых или интегрируемых уравнениях.

Однако для многих нелинейных уравнений в частных производных решение задач Коши в общем случае не находится, и тогда исследователи пытаются получить точные решения этих уравнений, сужая класс функций, среди которых ищутся решения исходного уравнения. Для нелинейных уравнений в частных производных в этих случаях делается попытка искать решения, используя переменные бегущей волны, автомодельные решения, или какой-либо иной тип инвариантных решений. Если для нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения удается найти решение, которое содержит меньше произвольных постоянных, чем порядок исходного уравнения, то опять же говорят о точных решениях уравнения.

4.2.Простейшие решения уравнения Кортевега—де Вриза

Внастоящее время хорошо известно, как находить решения линейных дифференциальных уравнений [35, 36]. Однако для

задач, описываемых нелинейными обыкновенными дифференциальными уравнениями и нелинейными уравнениями в частных производных, методы построения решений значительно усложняются.

Пусть требуется решить уравнение второго порядка

где правая часть является полиномом от y:

К такому классу уравнений относятся многие уравнения, встречающиеся при описании волновых процессов.

После умножения на yz решение уравнения (4.2.1) сводится к вычислению интеграла

(4.2.3) где C2 — постоянная интегрирования. При n = 3 задача вычисления интеграла (4.2.3) решается в явном виде. В этом случае интеграл (4.2.3) принимает вид:

При a0 = 0, a1 = 0, a2 = 0, a3 = 0 интеграл (4.2.4) выражается через обратные тригонометрические функции (и следовательно, общее решение уравнения (4.2.1) определяется через тригонометрические функции). В случае a0 = 0, a1 = 0, a2 = 0, a3 = 0 интеграл сводится к эллиптическому интегралу, решение определяется функцией Вейерштрасса. При a0 = 0, a1 = 0, a2 = 0,

208 Глава 4. Методы решения интегрируемых уравнений

a3 = 0 интеграл (4.2.4) заменой переменных приводится к эллиптическому интегралу первого рода и общее решение уравнения (4.2.1) выражается через эллиптическую функцию Якоби [39]. Эллиптические функции Вейерштрасса и Якоби являются соответствующим обобщением тригонометрических функций.

Теория эллиптических функций получила свое развитие в трудах Н. Абеля и К. Якоби как естественное обобщение тригонометрических функций. В отличие от тригонометрических функций, имеющих действительные периоды, эллиптические функции являются двоякопериодическими, имеющими как действительный, так и мнимый периоды. На комплексной плоскости тригонометрические функции не имеют особых точек, тогда как эллиптические функции являются мероморфными функциями и имеют на комплексной плоскости особые точки в виде изолированных полюсов.

Уравнение Кортевега—де Вриза

имеет волновое решение, известное с конца прошлого века. Оно выражается через специальную функцию Якоби. Заметим, что уравнение (4.2.5) допускает группу преобразований сдвига по x и t, поэтому оно имеет решения в переменных бегущей волны

В этом случае уравнение (4.2.5) запишется в виде

Умножив последнее уравнение на yz и снова проинтегрировав по z, получим

Отсюда находим

210 Глава 4. Методы решения интегрируемых уравнений

Учитывая, что в левой части выражения появился эллиптический интеграл 1-го рода

где sn(z) — эллиптическая функция Якоби.

Принимая во внимание обозначения (4.2.13), находим

В силу известной формулы для эллиптических функций

sn2(z) + cn2(z) = 1

решение уравнения Кортевега—де Вриза можно представить в виде

Отметим, что S в (4.2.16), (4.2.17) удовлетворяет неравенству 0 ≤ S ≤ 1, а скорость волны C0 определяется выражением

C0 = 2(α + β + γ).

Решение (4.2.17) уравнения (4.2.5) является волной с периодом