Кудряшов Методы нелинейной математич 2008

5.7. Аналитические свойства системы Хенона—Хейлеса 321

Решения уравнений (5.7.22) и (5.7.23) хорошо известны. Они выражаются через эллиптические функции Вейерштрасса. Поэтому β = 1 является простейшим примером точного решения системы (5.7.18) и (5.7.19).

При λ = −1/6 для решений системы уравнений (5.7.18) и

Подставляя (5.7.24) и (5.7.25) в (5.7.18) и (5.7.19) при λ = −1/6 и приравнивая нулю выражения при одинаковых степенях ϕ, по-

где m — произвольная постоянная, {ϕ; t} — производная Шварца.

Решение второго уравнения из (5.7.40) выражается через эллиптическую функцию Вейерштрасса, а из первого уравнения (5.7.40) при известной v(t) находятся решения ϕ(t), а затем Ψ0, Ψ1, y0, y1 и y2 по формулам (5.7.39).

Таким образом, система уравнений Хенона—Хейлеса имеет точные решения во всех случаях, для которых исходная система проходит тест Пенлеве.

5.8.Автомодельные решения задач нелинейной теплопроводности

5.8.1.Автомодельные решения задачи о распространении тепловой волны

из мгновенного точечного источника

Интерес к задачам нелинейной теплопроводности возник более пятидесяти лет назад в связи с изучением процесса распространения фронта тепловой волны, образовавщейся при ядерном взрыве [26]. Впервые эта задача рассматривалась в работе [27], в которой, в частности, найдено точное решение задачи о распространении тепла из мгновенного точечного источника. Похожие задачи рассматривались также при анализе процесса фильрации газа в пористой среде [6, 7, 38], поскольку математическое описание обоих процессов аналогично.

Рассмотрим процесс распространения тепла из мгновенного точечного источника описываемого уравнением

324 Глава 5. Методы построения точных решений

Здесь T — температура среды, x — координата, t — время, χ — коэффициент температуропроводности среды, n — показатель, характеризующий электронную или лучистую теплопроводность.

Пусть в начальный момент времени в начале координат выделяется энергия E0. Для любого последующего момента выполняется закон сохранения энергии [27]

∞

−∞

Будем искать решение задачи (5.8.1), (5.8.2), используя автомодельные переменные

Подставляя (5.8.3) в (5.8.2), получаем соотношение между A, B, m и p в виде:

то, учитывая (5.8.4), (5.8.6), из уравнения (5.8.1) получаем обыкновенное дифференциальное уравнение

Таким образом, решение задачи (5.8.1) с условием (5.8.2) свелось к решению обыкновенного дифференциального уравнения (5.8.7) при условии (5.8.5).

Уравнение (5.8.7) можно один раз проинтегрировать

Постоянную интегрирования C1 в уравнении (5.8.9) следует положить равной нулю, поскольку производную ddfθ при θ = 0 естественно считать равной нулю вследствие симметрии задачи при x = 0. При C1 = 0 из уравнения (5.8.9) получаем уравнение

при равной нулю температуре среды в начальный момент времени

и при изменяющейся по степенному закону от времени температуре на границе

Уравнение (5.8.18) допускает преобразование сдвига по переменным x и t, поэтому вместо переменной t в граничном условии (5.8.20) можно использовать переменную t + t0, где t0 — произвольная постоянная.

При использовании разностных схем [34] численное решение указанной задачи в настоящее время получить не составляет трудностей. Однако представляет интерес построить аналитическое решение задачи (5.8.18)—(5.8.20).

Сделаем замену

тогда, подставляя (5.8.21) в уравнение (5.8.18), получим дифференциальное уравнение

Граничное условие для (5.8.22) выражается, как и прежде, степенной функцией

Задача (5.8.22)—(5.8.24) допускает группу преобразований растяжения по переменным x, t и v [6, 7], и поэтому решение этой задачи можно искать, используя автомодельные переменные.

Решение краевой задачи (5.8.26), (5.8.27) будем искать при m = −1. Для определенности будем полагать m > −1.

Как показано выше в ряде задач нелинейной теплопроводности, скорость распространения тепла является конечной [6, 26]. Используя это предположение, будем искать решение краевой задачи (5.8.26), (5.8.27). Оно соответствует тому, что у решения уравнения (5.8.26) существует координата z = α, такая, что

Решение краевой задачи (5.8.26), (5.8.27) в этом случае становится обобщенным, у решения возникает скачок первой производной при z = α. Будем искать решение краевой задачи (5.8.26)— (5.8.27) в виде

j=1

Вследствие сказанного выше предполагаем, что f (z) = 0 при z > α. Принимая во внимание (5.8.29), имеем

Дифференциируя уравнение (5.8.26) по z, находим производные более высокого порядка от f (z) и, следовательно, значения коэффициентов Aj .

Приближенное решение f (z) с точностью до слагаемых четвертого порядка имеет вид:

1 (m − 1) n (2 m + n + mn) F3(m, n) = −12 (m + 1) (1 + n)2 (2 n + 1) ,

Значение координаты α, при котором функция f (z) обращается в нуль, находится из граничного условия при z = 0. Обозначая f (z = 0) = α2 G(m, n), находим значение α из уравнения

330 Глава 5. Методы построения точных решений

При m = 0 (что сооответствует k = 0) решение краевой задачи нелинейной теплопроводности с точностью до слагаемых четвертого порядка принимает вид

1n2 (n + 3) (α − z)4

+48 (n + 1)3 (2 n + 1) (3 n + 1) α2 + . . . (5.8.35)

Значения α при некоторых значениях показателя нелинейности n решения (5.8.35) представлены в табл. 5.1 (m = 0).

Таблица 5.1

Полагая n = 1 в решении (5.8.33), находим приближенное решение, которое было получено Г.И. Баренблаттом [6] при описании процесса фильтрации изотермического газа в пористой среде:

(5.8.36)

Из решения (5.8.36) следует точное решение задачи об изотермической фильтрации газа при n = 1 и m = k = −1/3, имеющее вид

Представим приближенные решения краевой задачи нелинейной теплопроводности при m = 0 для наиболее важных значений показателей нелинейности.