Кудряшов Методы нелинейной математич 2008
.pdf
|
|
|
5.8. Решение задач нелинейной теплопроводности |
341 |
||||||||||||
Из (5.8.79) находим значение α: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
α = 1440 (m + 1)2/ 2548447839 m8 + 18195239088 m7 + |
|
|||||||||||||
|
+55955316456 m |
6 |
+ |
96920939400 m5 + 103409323126 m4 + |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
+69458768096 m3 + 28562945760 m2 + |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
+6527038184 m + 627934051) 3 . |
|
|
|
|
||||||||
Значения α и k при n = 1 представлены в табл. 5.4. |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 5.4 |
|||
|
|
k |
0 |
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
m |
1/3 |
|
|
1 |
|
5/3 |
|
7/3 |
3 |
11/3 |
|
|
|
|
|
|
α |
1,1762 |
|
0,7937 |
0,6222 |
|
0,5211 |
0,4532 |
0,4039 |
|
|
|
|||
Решения задачи (5.8.66)—(5.8.72) при n = 1 находится по формуле (5.8.78) при использовании значений k и α из табл. 5.4.
При k = 0 приближенное решение задачи (5.8.66)—(5.8.72) имеет вид:
|
|
2α(α θ) |
|
(α − θ)2 |
+ (α − θ)3 |
|
(α − θ)5 , |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3− |
− |
|
|
|
− 23040α3 |
|||
|
|
12 |
|
144α |
|||||
|
|
|
|||||||
f (θ) = |
|
|
|
|
|
|
|
0 < θ < α; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α < θ; |
|
|
0, |
|
|
|
|
(5.8.80) |
|||
где α = 1, 1762.
Рассмотрим случай n = 4/3 при произвольном k. Приближенное решение задачи (5.8.66)—(5.8.72) с точностью до членов чет-
вертого порядка имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
− θ)2 − |
|
|
f (θ) = |
|
α (m + 1) (α − |
θ) + |
|
(m − 1) (α |
||||||||
|
3 |
7 |
||||||||||||
|
|
|
|
− |
2 |
|
5 m2 − 2 − 3 m (α − θ)3 |
+ |
(5.8.81) |
|||||
|
|
|
|
539 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
α |
1) |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
(m + |
(α − θ)4 |
||||||
|
1 |
|
205 m3 |
− 188 m2 − 43 m + 26 |
||||||||||
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ . . . |
||||
37730 |
|
|
|
|
(m + 1)2 α2 |
|
||||||||
342 Глава 5. Методы построения точных решений
Значения α и k при n = 4/3 представлены в таблице 5.5.
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 5.5 |
||
|
k |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
|
m |
2/5 |
6/5 |
2 |
14/5 |
18/5 |
22/5 |
|
|
|
α |
0,9256 |
0,6000 |
0,4608 |
0,3807 |
0,3278 |
0,2897 |
|
|
Решения задачи (5.8.66)—(5.8.72) при n = 4/3 находится по формуле (5.8.81), а значения k и α берутся из табл. 5.5.
Рассмотрим случай k = 0, n > 0. Из (5.8.69) следует, что
|
|
|
|
|
|
|
m = |
n |
. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
n + 2 |
|
|
|
|||||
Приближенное решение с точностью до членов четвертого по- |
|||||||||||||||
рядка имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
f (θ) = |
1 |
|
α n2 |
|
+ α n (α |
− |
θ) |
− |
|
1 |
|
n (α − θ)2 |
+ |
||
|
|
|
|
2 (n + 1) (n + 2) |
|||||||||||
2 |
n + 2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
+ |
1 |
|
n2 (α − θ)3 |
|
|
|
|
(5.8.82) |
|||||
|
|
6 |
α (n + 1)3 (1 + 2 n) − |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
12 n2 + n − 3 n2 (α − θ)4
−24 (n + 1)5 (1 + 2 n) α2 (3 n + 1) + . . .
Учитывая граничное условие (5.8.71), находим зависимость α от n. Значения α и n при k = 0 представлены в табл. 5.6.
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 5.6 |
||
|
n |
1 |
4/3 |
2 |
5/2 |
3 |
4 |
|
|
|
α |
1,4819 |
1,1578 |
0,7889 |
0,6283 |
0,5178 |
0,3775 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
9/2 |
5 |
11/2 |
6 |
13/2 |
7 |
|
|
|
α |
0,3307 |
0,2934 |
0,2632 |
0,2382 |
0,2172 |
0,1994 |
|
|
5.8. Решение задач нелинейной теплопроводности |
343 |
||||||||||||
Приближенное решение задачи (5.8.66)—(5.8.72) при соответ- |
|||||||||||||
ствующих значениях α и n задаетсяc формулой (5.8.82). |
|
||||||||||||
Решение исходной задачи находится по формулам: |
|
||||||||||||
|
|
|
1 |
2k+1 |
1 |
|
|
|
|
|
|||
T (x, t) = |
χ n2 q02 |
|
n+2 |
t n+2 |
(f (θ)) n , 0 |
θ ≤ α ; |
; |
(5.8.83) |
|||||
|
,0, |
|
|
|
|
|
|
α ≤ |
θ < |
∞ |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
≤ |
|
|
||||
где θ имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
θ = |
|
|
|
x |
|
|
|
(5.8.84) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||
|
|
(χn+1 nn q0n ) |
1 n k+n+1 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
n+2 |
t n+2 |
|
|
|
|
||||
Подставляя найденные выше приближенные решения для f (θ) при различных n в формулу (5.8.83), получаем приближенные решения исходной задачи.
Из (5.8.84) следует, что координата фронта тепловой волны зависит от времени в соответствии с формулой
xf = α χn+1 nn q0n |
1 |
|
n k+n+1 |
(5.8.85) |
n+2 |
t |
n+2 , |
откуда, дифференцируя xf по времени, находим скорость распространения тепловой волны при заданном потоке на границе.
Литература
1.Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи. М: Мир, 1987. — 480 с.
2.Айнс Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Харьков: Онти-НКТП-ДНТВУ, 1939. — 720 с.
3.Андрианов И.В., Баранцев Р.Г., Маневич Л.И. Асимптотическая математика и синергетика. М.: Едиториал УРСС, 2004. — 304 с.
4.Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции. М.: Наука, 1984. — 384 с.
5.Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Самарский А.А. Нестационарные структуры и диффузионный хаос. М.: Наука, 1992. — 542 с.
6.Баренблатт Г.И. // ПММ, 1952. Т. 16. Вып. 1. С. 67—78.
7.Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Движение жидкостей и газов в природных пластах. М.: Недра, 1984. — 208 с.
8.Бахолдин И.Б. Бездиссипативные разрывы в механике сплошной среды. М.: Физматлит, 2004. — 318 с.
9.Борисов А.В., Мамаев И.С. Динамика твердого тела. М.–Ижевск: РХД, 2001. — 384 с.
10.Борисов А.В., Мамаев И. С. Неголономные динамические связи. М.–Ижевск: РХД, 2002. — 328 с.
11.Брюно А.Д. Степенная геометрия в алгеброических и дифференциальных управнениях. М.: Наука, Физматлит, 1998. — 288 с.
12.Брюно А.Д. // Успехи математических наук, 2004. Т.59. №3. С. 31–80.
13.Бхатнагар П. Нелинейные волны в однородных дисперсных системах. М.: Мир, 1983. — 136 с.
Литература |
345 |
14.Вернов С.Ю. // Теоретическая и математическая физика, 2006. Т.146. №1. С. 161–171.
15.Волосевич П.П., Леванов Е.И. Автомодельные решения задач газовой динамики и теплопереноса. М.: МФТИ, 1997. — 234 с.
16.Гельфанд И.М., Левитан Б.М. // Изв. АН СССР. Сер. матем., 1951. Т.45. №4. С. 309–360.
17.Гинзбург В.И., Ландау Л.Д. К теории сверхпроводимости // ЖЭТФ, 1950. Т.20. С. 1064
18.Голубев В.В. Лекции по интегрированию уравнений движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки. М.: РХД, 2002.
—288 с.
19.Голубев В.В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. М.: ГИТТЛ, Физматлит, 1941. — 400 с.
20.Доод Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис Х. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. М.: Мир, 1988. — 696 с.
21.Дрюма В.С. // Письма в ЖЭТФ, 1974. Т.19 С. 753–757.
22.Дубровин Б.А. Римановы поверхности и нелинейные уравнения. М.–Ижевск: РХД, 2001.
23.Ефимова О.Ю., Кудряшов Н.А. // Прикладная математика и механика, 2004. Т.68. С. 462–469.
24.Захаров В.Е., Шабат А.Б. // Журнал экспериментальной и теоретической физики, 1971. Т.61. С. 118–134.
25.Захаров В.Е., Шабат А.Б. // Функцианальный анализ и его приложения, 1974. Т.6. Вып.3. С. 43–53.
26.Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. М.: Наука, 1966. — 686 с.
27.Зельдович Я.Б., Компанеец А.С. // Сборник посвященный 70 - летию академика А.Ф. Иоффе, М.: АН СССР, 1950. С. 61–71.
28.Зельдович Я.Б., Баренблатт Г.И., Либрович В.Б., Махвиладзе Г.М. Математическая теория горения и взрыва. М.: Наука, 1980.
—478 с.
29.Ильичев А.Т. Уединенные волны в моделях гидромеханики. М.: Физматлит, 2003. — 256 с.
30.Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. М: Наука, 1983. — 280 с.
346 |
Литература |
31.Ибрагимов Н.Х. Азбука группового анализа. М.: Знание, 1989. — 48 с.
32.Ибрагимов Н.Х. Опыт группового анализа. М.: Знание, 1991. — 48 с.
33.Кадомцев Б.Б., Петвиашвили В.И. // ДАН СССР, 1970. Т.192. С. 753–756.
34.Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978. — 512 с.
35.Карташов А.П., Рождественский Б.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения и основы вариационного исчисления. М.: Наука, 1986. — 288 с.
36.Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1971. — 576 с.
37.Колмогоров А.Н., Петровский Г.И., Пискунов Н.С. // Бюлл. МГУ, 1937. Серия А. №6. С. 1–26.
38.Полубаринова - Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод. М.: Наука, 1977. — 664 с.
39.Кудряшов Н.А. Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений, Институт комрьютерных исследований. М.– Ижевск: РХД, 2004. — 360 с.
40.Кудряшов Н.А. Автомодельные задачи движения газа в пористой среде. М.: МИФИ, 1984. — 72 с.
41.Кудряшов Н.А. // Прикладная математика и механика, 1988. Т.52. С.361–365.
42.Кудряшов Н.А. // Доклады АН СССР, 1989. Т.308. №2. С. 294– 298.
43.Кудряшов Н.А. // Мат. моделирование, 1989. Т.1. №6. С. 57–62.
44.Кудряшов Н.А. // Мат. моделирование, 1989. Т.1. №9. С. 151–158.
45.Кудряшов Н.А. // Мат. моделирование, 1990. Т.2. №12. С. 102–115.
46.Кудряшов Н.А. // Прикладная математика и механика, 2005. Вып.2. С. 226–234.
47.Кудряшов Н.А. Журнал вычислительной математики и математической физики, 2005. Т.45. №11. С. 2048—2055.
48.Кудряшов Н.А., Чернявский И.Л. // Известия РАН. Механика жидкости и газа, 2006. №1. С. 54–68.
Литература |
347 |
49.Кудряшов Н.А., Синельщиков Д.И., Чернявский И.Л. // Нелинейная динамика, 2008. Т.4. №1. С. 68–86.
50.Кудряшов Н.А., Мигита А.В. // Известия РАН. Механика жидкости и газа, 2007. №3. С.145–154.
51.Кудряшов Н.А. Чмыхов М.А. // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2007. Т.47. №1. С. 113–123.
52.Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. — 736 с.
53.Ланда П.С. Нелинейные колебания и волны. М.: Наука, Физматлит, 1997. — 496 с.
54.Лэм Дж.Л. Введение в теорию солитонов. Могилев: Бибфизмат, 1997. — 294 с.
55.Лоскутов А.Ю., Михайлов А.С. Введение в синергетику. М.: Наука, 1990. — 270 c.
56.Марченко В.А. // Доклады АН СССР, 1950. Т.72. С.457
57.Маймистов А.И. Оптические солитоны // Соровский образовательный журнал, 1999. №11. С. 97–102.
58.Непомнящий А.A. // Известия АН СССР. МЖГ. 1974. №3. С. 28–34.
59.Новокшенов В.Ю. Введение в теорию солитонов. М.–Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. — 96с.
60.Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. М.: Мир, 1989. — 328 с.
61.Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. — 400 с.
62.Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. М.: Мир, 1989. — 638 с.
63.Полянин А.Д., Зайцев В.Ф., Журов А.И. Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики. М.: Физматлит, 2005. — 256 с.
64.Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М.: Наука, 1978.
— 687 c.
65.Самарский А.А., Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Михайлов А.П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. М.: Наука, 1987. — 480 с.
348 |
Литература |
66.Солитоны в действии, Сборник статей под редакцией К. Лонгрена и Э. Скотта. М.: Мир, 1981. — 312 с.
67.Свирижев Ю.М. Нелинейные волны, диссипативные структуры и катастрофы в экологии. М.: Наука, 1987. — 368 с.
68.Шкадов В.Я. // Известия АН СССР. МЖГ, 1977. №1. С. 63–66.
69.Фейман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Феймановские лекции по физике. М.: Мир, 1965. Т.4. — 260 с.
70.Филиппов А.Т. Многоликий солитон. М.: Наука, 1986. — 224 с.
71.Френкель Я.И., Конторова Т.А. // ЖЭТФ, 1943. Т.89. №8. С. 1340.
72.Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977. — 624 с.
73.Улам С. Приключения математика. М.–Ижевск: РХД, 2002. — 272 с.
74.Уэрт Ч., Томсон Р. Физика твердого тела. М.: Мир, 1966. — 568 с.
75.Ablowitz M.J. and Clarkson P.A. Solitons Nonlinear Evolution Equations and Inverse Scattering. Cambridge university press, 1991.
76.Ablowitz M.J., Kaup D.J., Newell A.C., Segur H. // Phys. Rev. Lett., 1973. 31. P.125.
77.Ablowitz M.J., Kaup D.J., Newell A.C., Segur H. // Stud. Appl. Math., 1974. V.53. P.249–315.
78.Ablowitz M.J., Ramani A. and Segur H. // J. Math. Phys., 1980. V.21. P. 715–721. P.1006–1015.
79.Ablowitz M.J., Ramani A. and Segur H. // Lett. Nuovo Cim., 1978. V.23. P. 333–338.
80.Ablowitz M.J., Zeppetella A. // Bull. Math. Biol., 1979. V.41. P.835840.
81.Aranson I., Kramer L. // Rev. Mod. Phys., 2002. 74. P.99–143. Arxiv cond - mat/0106115
82.Aspe H., Depassier M.C. Evolution equation of survace waves in a convecting fluid. // Phys. Rev. A., 1990. 41. P.3125–3128.
83.Bar D.E., Nepomnyaschy A.A. // Physica D, 1995. 86. P.586–602.
84.Beresnev L.A., Nikolaevskiy V.N. // Physica D, 1993. 66. P.206–216.
85.Benney D.J. // J. Math. Phys., 1966. 45, P. 150.
86.Burgers J.M. // Adv. Appl. Mech., 1948. 1. P.171–199.
Литература |
349 |
87.Boussinesq J. // Comptes Rendus, 1871. 72, P. 755.
88.Clarkson P.A., Kruskal M.D. // J. Math. Phys.,1989. 30. No.10. P. 2201–2213.
89.Chang H.C., Chen L.H. // Chem. Engng. Sci., 1986. 41. 10.
90.Cohen B.I., Krommes J.A., Tang W.M., Rosenbluth M.N. // Nuclea Fusion, 1976. 16. P. 971–992.
91.Cole J.D. // Quart. Appl. Math., 1951. 9. P. 225–236.
92.Conte R., Musette M. // J. Phys. A.: Math. Gen., 1989. 22. P. 169– 177.
93.Conte R. 1999 The Painleve property, one century later, CRM series in mathematical physics. New York: Springer–erlag, 1999. P. 77–180.
94.Cosgrove C. // Stud. Appl. Math., 2000. V.104. P.1–77.
95.Gromak V.I., Laine I., Shimpmura S. Painleve Di erential Equations in Complex Plane. Berlin–New York: Walter de Gruner, 2002. — 304 p.
96.Cross M.C., Hohenberg P.C. // Rev. Mod. Phys., 1993. 65. P.851.
97.Garazo A., Velarde M.G. // Phys. Fluids A, 1991. 3. P.2295–2300.
98.Drach J. Comptes Rendus de l’Academie des Sciences. Paris, 1919. V.168. P.337–340.
99.Gardner C.S., Greene J.M., Kruskal M.D. and Miura R.M. // Phys. Rev. Lett., 1967. 19. P.1095–1097.
100.Goriely A. // J. Math. Phys., 1996. V.37. P.1871–1893.
101.Hopf E. // Commun. Pure and Appl. Math., 1950. 3. P.201–230.
102.Fermi E., Pasta J., Ulam S.M. Studies in nonlinear problems. Thech. Rep., LA — 1940, Los—Alamos Sci. Lab.
103.Fisher R.A. // Ann. Eugenics., 1937. 7. P.335–369.
104.Henon M., Heiles C. // Astron. J., 1964. V.69. P.73–79.
105.Hirota R. // Phys. Rev. Lett., 1971. 27. P.1192–1194.
106.Hone A.N.W. // Physica D, 1998. 118. P.1–16.
107.Hone A.N.W. // Physica D, 2005. 205. P.292–306.
108.Hopper A.P., Grimshow R. // Phys. Fluids, 1985. 28. P.37.
109.Eremenko A., arXiv:nlin.SI/0504053. V.1 25 Apr. 2005, 1–10.
110.Kawahara T. // Phys. Rev. Lett., 1983. 51. 5. P.381–383.
111.Korteweg D.I., de Vries G // Phil. Mag., 1895. 5. 39. P.422–443.
112.Krishna M.V., Lin S.P. // Phys. Fluids, 1977. 20. 8.
350 |
Литература |
113.Kudryashov N.A. // Physics Letters A, 1990. 147. P.287–291.
114.Kudryashov N.A. // Physics Letters A, 1991. 155. P.269–275.
115.Kudryashov N.A. // Physics Letters A, 1992. V.169. No.4. P.237–242.
116.Kudryashov N.A. // Physics Letters A, 1993. V.178. №1-2. P.99–104.
117.Kudryashov N.A. // Physics Letters A, 1993. V.182. P. 356–362.
118.Kudryashov N.A., Nikitin V.A. // J. Phys. A.: Math. Gen., 1994. V.27. P.101–106.
119.Kudryashov N.A. // J. Phys. A.: Math. Gen., 1994. V.27. P.2457– 2470.
120.Kudryashov N.A., Zargaryan E.D. // J. Phys. A. Math. and Gen., 1996. 29. P. 8067–8077.
121.Kudryashov N.A. // Physics Letters A., 1997. V.224. P.353–360.
122.Kudryashov N.A., Gribov P.A. // Труды ХХIV школы—семинара "Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем". С.–Петербург, 1997. C.40–54.
123.Kudryashov N.A., Soukharev M.B. // Physics Letters A, 1998. V.237. P.206–216.
124.Kudryashov N.A. // Physics Letters A., 2005. V.342. P.99–106.
125.Kudryashov N.A. // Chaos, Solitons and Fractals, 2005. V.26. No.2. P.591–603.
126.Kudryashov N.A. // Chaos, Solitons and Fractals, 2005. V.24. P.1217– 1231.
127.Kudryashov N.A., Efimova O.Yu. // Chaos, Solitons and Fractals, 2006. V.30. P.110–124.
128.Kudryashov N.A., Demina M.V. // Physics Letters A, 2007. V.368. P.237–234.
129.Kudryashov N.A., Demina M.V. // Physics Letters A, 2007. V.363. P.346–355.
130.Kudryashov N.A., Demina M.V. // Chaos, Solitons and Fractals, 2007. V.33. P.1480–1496.
131.Kudryashov N.A. // Regular and Chaotic Dynamics, 2008. V.13. P.234–239.
132.Kuramoto Y., Tsuzuki T. // Prog. Theor. Phys., 1976. 55. P.356–369.
133.Kus M. // J. of Phys. A: Math. Gen., 1983. 16. L689–L691.
134.Lax P.D. // Comm. Pure Appl. Math. 7, 159–193.