Примерный вариант практического задания по Темам 18 – 24.
1. Исследовать функцию двух переменных на экстремум:
z=x2 +y 2 -xy+ 9x- 6y+ 20.
2. Найти общее и частное решение дифференциального уравнения
y'- 2y=e 2x;x0= 0 ,y0= 5 .
Примеры решения задач по темам 25 – 28
Пример 1. Найти сумму ряда
.
Решение. Общий член ряда можно представить в следующем виде:
,
откуда
.
Следовательно,
.
Так
как
,
то ряд сходится, и его сумма
.
Пример
2. Исследовать
сходимость ряда
.
Решение. Применим радикальный признак Коши.
Здесь
.
Применив второй замечательный предел,
получаем:
,
следовательно, данный ряд расходится.
Пример
3. Исследовать
сходимость ряда
.
Решение.
Применяем достаточный признак Даламбера.
Находим
.
Так как предел этого отношения приn
равен 0 и,
следовательно, меньше 1,
то ряд сходится.
Пример
4. Исследовать
сходимость ряда
.
Решение.
Воспользуемся интегральным признаком
Коши. Здесь
.
.
Интеграл расходится, поэтому расходится и данный ряд.
Пример 5. Исследовать сходимость степенного ряда
.
Решение. Здесь an = 1/n, an + 1 = 1/(n + 1). Найдем радиус сходимости:
.
Следовательно, ряд сходится абсолютно для значений x, удовлетворяющих неравенству
–1 < x < 1.
Исследуем
сходимость ряда на концах промежутка.
Если x
= 1, то получаем
гармонический ряд
,
который, как известно, расходится.
Если
x
= –1, то получаем
ряд
,
который сходится
по признаку Лейбница.
Итак, область сходимости данного степенного ряда — интервал [–1, 1).
Пример 6. Исследовать сходимость ряда
1!(x– 1) + 2!(x– 1)2+ 3!(x– 1)3+ … +n!(x– 1)n+ ….
Решение. Здесь an = n! и an + 1 = (n + 1)!, значит,
.
Ряд сходится только при x – 1 = 0, т.е. в точке x = 1.
Пример 7. Найти сумму ряда 1 + 2x + 3x2 + … + nxn – 1 + … (|x| < 1).
Решение. Данный ряд получается почленным дифференцированием следующего ряда 1 + x + x2 + … + xn + … (|x| < 1), который является бесконечно убывающей геометрической прогрессией; его сумма:
.
Дифференцируя последнее равенство, получаем
.
Пример
8. Найти сумму
ряда
(|x|
< 1).
Решение. Продифференцировав почленно данный ряд, получим ряд 1 + x + x2 + + … + xn + …, сумма которого
.
Проинтегрировав последнее равенство в пределах от 0 до x (|x| < 1), находим
.
Пример 9. Разложить sin2x в ряд по степеням x.
Решение.
Воспользуемся равенством
.
Запишем разложение функцииcos2x,
заменив в известной формуле x
на 2x:
.
Таким
образом,
.
Пример
10. Вычислить
с точностью до 0,0001.
Решение.
Неопределенный интеграл от функции
не выражается в элементарных функциях,
поэтому вычисление заданного интеграла
по формуле Ньютона-Лейбница невозможно,
и мы вынуждены ограничиться приближенным
вычислением интеграла.
Разложение
в степенной ряд функции
имеет вид:
.
Интегрируем полученный ряд почленно на отрезке [0; 1]:
.
Получили знакочередующийся числовой ряд с убывающими по абсолютной величине членами. Этот ряд является сходящимся по признаку Лейбница, и для вычисления его суммы с заданной точностью мы можем ограничиться первыми семью членами (так как восьмой член ряда по абсолютной величине меньше 0,0001). Выполняя все вычисления, получаем
Примерный вариант практического задания по Темам 25 – 28.
1. Найти область сходимости степенного ряда:
а)
б)
.
2. Разложить в ряд Маклорена следующие функции:
f(x)
=
.