- •Фгоу впо «Волгоградская академия государственной службы»
- •1.2. Цели и задачи учебной дисциплины.
- •1.3. Требования к уровню освоения дисциплины (знания, умения, навыки).
- •1.4. Тематический план курса «математика» (174 ч.)
- •1.5. Учебно-методическое обеспечение учебной дисциплины
- •Тема 6. Понятие функции. Способы задания и основные свойства функций.
- •Тема 7. Предел последовательности и функции. Правила вычисления пределов.
- •Тема 8. Замечательные пределы. Непрерывность функции. Основные теоремы о непрерывных функциях. Точки разрыва и их классификация.
- •Тема 9. Задачи, приводящие к производной. Понятие производной функции.
- •Тема 10. Производная неявных и параметрических функций. Производные высших порядков.
- •Тема 11. Понятие дифференциала функции.
- •Тема 12. Основные теоремы о дифференцируемых функциях. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши. Правило Лопиталя-Бернулли раскрытия неопределенностей вида и.
- •Тема 13. Полное исследование функций и построение графиков.
- •Тема 14. Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства интеграла. Таблица неопределенных интегралов.
- •Тема 15. Основные методы интегрирования.
- •Тема 16. Понятие определенного интеграла. Свойства и правила вычисления определенного интеграла.
- •Тема 17. Приложения определенного интеграла. Несобственные интегралы.
- •Планы семинарских и практических занятий
- •Тема 1. Операции над матрицами. Определители третьего порядка. (2 часа)
- •Тема 2. Определители четвертого и выше порядков. Элементарные преобразования определителей. Обратная матрица. (4 часа)
- •Тема 3. Ранг матрицы.(4 часа)
- •Тема 8. Замечательные пределы. Основные эквивалентные функции (4 часа).
- •Тема 9. Определение производной. Геометрический смысл. Основные правила дифференцирования. Таблица производных элементарных функций.(2 часа)
- •Тема 10. Производные неявных и параметрических функций. Логарифмическое дифференцирование. Производные высших порядков.(2 часа)
- •Тема 11. Дифференциал функции. Приложение производной в теории пределов. (2 часа)
- •Тема 12. Общая схема исследования функций и построения их графиков.(2 часа)
- •Тема 13. Контрольная работа.(2 часа)
- •Тема 14. Неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Интегралы от основных элементарных функций. Основные методы интегрирования.(2 часа)
- •Тема 15. Основные методы интегрирования: интегрирование по частям.(2 часа)
- •Тема 16. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница. Методы интегрирования. Геометрические приложения определенного интеграла. (4 часа)
- •Темы, выносимые на самостоятельное изучение:
- •Тема 1. Основы теории множеств.
- •Тема 2. Элементы аналитической геометрии.
- •Вопросы к зачету:
- •Материалы текущего, промежуточного и итогового контроля Вопросы к аттестации
- •Контрольная работа № 1
- •Тема 19. Экстремум функций нескольких переменных. Наибольшее и наименьшее значения функции. Условный экстремум.
- •Тема 20. Условный экстремум функций нескольких переменных.
- •Тема 21. Основные понятия теории дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения первого порядка.
- •Тема 22. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •Тема 23. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с правой частью специального вида.
- •Тема 24. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка. Метод Лагранжа.
- •Тема 30. Алгебра событий. Теоремы сложения и умножения вероятностей событий.
- •Тема 31. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
- •Планы семинарских и практических занятий
- •Тема 1. Функции нескольких переменных. Частные производные. Дифференциал. (4 часа)
- •Тема 2. Экстремум функций двух переменных. Наибольшее и наименьшее значения функции. (2 часа)
- •Тема 3. Дифференциальные уравнения. Общее решение дифференциального уравнения. Задача Коши. (2 часа)
- •Тема 4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка. (2 часа)
- •Тема 5. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Уравнения однородные. Неоднородные уравнения с правой частью специального вида. (4 часа)
- •Тема 6. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Метод Лагранжа. (4 часа)
- •Тема 7. Числовые ряды. Определение сходимости ряда. Основные свойства рядов. Необходимый признак сходимости числового ряда.Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. (4 часа)
- •Тема 8. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.(2 часа)
- •Тема 9. Понятие функционального ряда. Область сходимости. Степенной ряд. Интервал и радиус сходимости степенного ряда.(2 часа)
- •Тема 10. Разложение функций в степенные ряды. Формула и ряд Тейлора. Формула и ряд Маклорена. Применение рядов в приближенных вычислениях. (2 часа)
- •Тема 11. Контрольная работа. (2 часа)
- •Тема 12. Классическое определение вероятности. Элементы комбинаторики. Алгебра событий. Теоремы сложения и умножения вероятностей. (2 часа)
- •Тема 13. Формула полной вероятности. Формула Байеса. (2 часа)
- •Тема 14. Последовательность независимых испытаний. Наивероятнейшее число появлений события в серии из n независимых испытаний. Асимптотические формулы.(2 часа)
- •Тема 15. Контрольная работа.(2 часа)
- •Тема 16. Дискретная и непрерывная случайная величина. Закон распределения. Числовые характеристики.(2 часа)
- •Тема 17. Классические законы распределения случайных величин. Биномиальный закон. Равномерное и показательное распределение. Нормальная случайная величина.(2 часа)
- •Темы, выносимые на самостоятельное изучение:
- •Тема 1. Самостоятельное решение задач по теории дифференциальных уравнений и теории рядов.
- •Тема 2. Самостоятельное решение задач по теории вероятностей.
- •Вопросы к экзамену:
- •Материалы текущего, промежуточного и итогового контроля Вопросы к аттестации
- •Контрольная работа № 1 Примерный вариант заданий
- •Контрольная работа № 2 Примерный вариант заданий
- •Примерный вариант экзаменационного билета
- •Список рекомендуемой литературы
- •Раздел 2. Методические рекомендации по изучению учебной дисциплины для студентов
- •2.1. Рекомендации по использованию материалов учебно-методического комплекса:
- •2.2. Пожелания к изучению отдельных тем курса
- •2. 3. Рекомендации по работе с литературой
- •2.4. Советы по подготовке к экзамену (зачету)
- •Раздел 3. Материалы тестовой системы или практикум по решению задач по темам лекций
- •Iсеместр
- •Примеры решения задач по темам 1 – 5
- •Примерный вариант практического задания по Темам 1 – 5.
- •Примеры решения задач по темам 6 – 13
- •Примерный вариант практического задания по Темам 6 – 13.
- •Примеры решения задач по темам 14 – 17
- •Примерный вариант практического задания по Темам 14 – 17.
- •IIсеместр
- •Примеры решения задач по темам 18 – 24
- •Примерный вариант практического задания по Темам 18 – 24.
- •Примеры решения задач по темам 25 – 28
- •Примерный вариант практического задания по Темам 25 – 28.
- •Примеры решения задач по темам 29 – 35
- •Примерный вариант практического задания по Темам 29 – 35.
- •Раздел 4. Словарь основных терминов (глоссарий)
Примерный вариант практического задания по Темам 6 – 13.
1. Найти пределы:
а) б).
2. Найти производные:
а) y = ln arc sin ;
б) .
3. Найти полный дифференциал dzфункции двух переменныхz=f(x; y) и все её производные второго порядка:
z=.
4. Исследовать функцию и построить ее график:
y= .
Примеры решения задач по темам 14 – 17
Пример 1. .
Решение. Интегрирование проводим методом подстановки. Положив x = (t) = t6, получим ,dx = '(t)dt = 6t5dt. Тогда
.
Возвращаясь к переменной x по формуле , окончательно получаем
.
Пример 2. .
Решение. Полагая t=x2, имеем dt= 2xdx , т.е. . Тогда
.
Пример 3. .
Решение. Обозначим , тогда. Выполняя замену переменной в исходном интеграле, получим.
Пример 4. .
Решение. Воспользуемся подстановкой t = lnx. Тогда и
.
Пример 5. .
Решение. Представим заданный интеграл в виде
и воспользуемся подстановкой t = cosx, dt = –sinxdx. Тогда
.
Пример 6. .
Пример 7. Найти
Решение. Применяем формулу интегрирования по частям .
Положим u = x, dv = sinxdx, тогда du = dx, v = –cosx.
Пример 8. .
Решение. Обозначим u = lnx, тогда (x3 + 1)dx = dv. Отсюда, ии.
Вычислим последний интеграл:
.
Окончательно получаем =.
Пример 9. Вычислить .
Решение. Применим подстановку x = sint. Тогда dx = costdt, t = arcsinx. Найдем новые пределы интегрирования.
При получим, приb = 1 получим .
Тогда интеграл в новых переменных и с новыми пределами интегрирования будет:
.
Следует запомнить, что любой определенный интеграл это число, а неопределенный — функция, поэтому про неопределенный интеграл говорят, что его находят, а про определенный, что его вычисляют.
Примерный вариант практического задания по Темам 14 – 17.
1. Найти неопределенные интегралы и один результат проверить дифференцированием:
а) ; б).
IIсеместр
Примеры решения задач по темам 18 – 24
Пример 1. Найти экстремум функции двух переменных z = x3 + y3 ‑ 9xy.
Решение. Находим частные производные первого порядка:
.
Согласно необходимому условию экстремума функции, для нахождения критических точек надо решить систему
Из первого уравнения ,подставляем во второе уравнение, получим x4 – 27x = 0 или x(x3 – 27) = 0. Стало быть, x имеет два критических значения: x1 = 0 и x2 = 3. Подставляя полученные значения x в выражение для y, получаем y1 = 0 и y2 = 3. Это значит, что имеем две критические точки: (0; 0) и (3; 3).
Применяем достаточное условие экстремума. Находим частные производные второго порядка:
,
.
Надо найти значения этих производных в критических точках:
.
1. Вычисляем эти значения в первой критической точке (0; 0):
A1 = 60 = 0, C1 = 60 = 0, B1 = –9.
Отсюда , в этой критической точкеэкстремума нет.
2. Вычисляем эти значения во второй критической точке (3; 3):
A2 = 6×3 = 18, C2 = 6×3 = 18, B2 = – 9.
Отсюда , в этой критической точкеесть экстремум.
Чтобы установить максимум это или минимум, смотрим на знак A2 = 18 > 0, значит, согласно теореме о достаточном признаке экстремума, это — минимум. Вычислим это значение:
min z = z(3; 3) = 33 + 33 – 9×3×3 = 27+ 27 – 81 = 54 – 81 = –27.
Ответ. У функции z = x3 + y3 – 9xy в критической точке (3; 3) min z = z(3; 3) = –27.
Пример 2. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям:.
Решение. Представим производную в виде , тогда уравнение будетили. Получили дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.
Интегрируя первое слагаемое по частям, получим:
—это общее решение (общий интеграл) заданного уравнения.
Чтобы получить частное решение, необходимо найти конкретное значение C. Подставим в общий интеграл начальные условия: x0 = 1, y0 = 0, получим:
.
Итак, частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям, будет:
Ответ. Частное решение, удовлетворяющее условиям x0 = 1, у0 = 0:
Пример 3. Найти общее решение уравнения y' = 3x + 2y.
Решение. Сделаем подстановку t = 3x + 2y — новая неизвестная. Тогда t' = 3 + 2y' . Подставляя y и y' в заданное уравнение, получим Преобразуя последнее уравнение, запишем: t' = 2t + 3. Разделяя переменные, имеем . Интегрируем каждую часть последнего уравнения по своей переменной:.
Проводя обратную замену переменных (t = 3x + 2y) и потенцируя, окончательно запишем .
Ответ. Общее решение заданного уравнения .
Пример 4. Решить дифференциальное уравнение (x + y)dx + xdy = 0.
Решение. В этом уравнении P(x; y) = x + y и Q(x; y) = x являются однородными функциями первой степени P(kx;ky)kP(x;y), аналогично для Q(x; y).
Полагаем = u, тогда y = xu, где u — новая неизвестная функция.
Находим дифференциал: dy = d(xu) = xdu + udx и подставляем y и dy в заданное уравнение:
(x + xu)dx + x(xdu + udx) = 0 (при x 0) (1+ u)dx + (xdu + udx) = 0
xdu + (2u + 1)dx = 0.
Путём деления обеих частей уравнения на (2u + 1) и на x получим уравнение с разделёнными переменными =.
Домножим правую и левую части на 2: и проинтегрируем каждую часть по своей переменной:
.
Выполняем действие потенцирования и производим обратную замену переменных. Выражаем отсюдаy: , здесь — произвольная постоянная.
В процессе нахождения решения пришлось делить на (2u + 1) и на x, в результате чего могла произойти потеря корней. Проверим это.
1. Подставим в исходное уравнение x = 0, а значит, и dx = 0. Исходное уравнение обратится в тождество — функция x = 0 является решением заданного уравнения.
2. Функцию = 0 или , т.е. также подставляем в заданное уравнение: .
Итак, оба решения действительно потеряны — они оба удовлетворяют заданному дифференциальному уравнению. Но второе решение не является дополнительным, оно входит в общее решение (1) при С1 = 0.
Ответ. Совокупность всех решений заданного дифференциального уравнения и x = 0.
Пример 5. Решить уравнение x y' + 2y = x2.
Решение. Это — линейное уравнение первого порядка. Применим метод Бернулли. Заменяем y = u v. Находим производную y' = u' v + u v' и подставляем в заданное уравнение:
x (u' v + u v') + 2u v = x2.
Раскрываем скобки и группируем второе и третье слагаемые:
x u' v + x u v' + 2u v = x2 x u' v + u [x v' + 2 v] = x2.
Подбираем функцию v = v(x) так, чтобы x v' + 2v = 0, тогда вторую функцию u= u(x) найдём из уравнения x u' v = x2.
Из первого уравнения последовательно получаем
.
Интегрируя каждую часть уравнения по своей переменной, запишем
.
Выбирая C1 = 1 и потенцируя, получим первую из двух неизвестных функций .
Во второе уравнение x u' v = x2 подставляем выражение для v, тогда
.
Интегрируя, имеем , следовательно, .
Общее решение будет .
Ответ. Общее решение заданного неоднородного линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид .
Пример 6. Найти общее решение уравнения x y' – y = – y2 lnx.
Решение. Это — уравнение Бернулли. Делим на (– y2): и выполним замену:.
Исходное уравнение в новых переменных примет вид:xz'+ z=lnx —это линейное уравнение относительно z.Делаем подстановку Бернулли:
z = u v, z'= u' v + u v',
уравнение запишется:
x (u' v + u v') + u v = lnx x u' v + x u v' + u v = lnx
x u' v + u [x v' + v] = lnx.
Выбираем функцию v = v(x) так, чтобы выражение в квадратных скобках равнялось нулю, т.е. x v' + v = 0 или . Разделяем здесь переменные: ; интегрируя, имеем . Подставляем в (1), получим дифференциальное уравнение для определения функции u = u (x): x u'v = lnx
.
Возвращаясь к подстановке Бернулли z = u v, получим
.
Отсюда .
Ответ. Общее решение заданного уравнения Бернулли .
Пример 7. Решить уравнение y – 5y + 6y = ex.
Решение. Сначала решаем однородное уравнение y – 5y + 6y = 0.
Записываем его характеристическое уравнение k 2 – 5k + 6 = 0. Его корни, согласно k1 = 2, k2 = 3.
Корни действительные различные. Следовательно, общее решение однородного дифференциального уравнения запишем в виде = C1 × ek1x + C2 × ek2x = C1 × e2x + C2 × e3x.
Для нахождения общего решения y = +z заданного неоднородного уравнения необходимо ещё найти частное решение z. Правая часть f(x) = aemx = ex, здесь m = 1 и это значение не является корнем характеристического уравнения. В этом случае частное решение ищем в виде z = Aex, где A — неизвестный коэффициент.
Находим производные
z' = Aex и z'' = Aex.
Подставляя эти выражения в заданное уравнение, получим:
Aex – 5Aex + 6Aex = ex или 2A = 1.
Отсюда . Частное решение неоднородного уравнения имеет вид.
Общее решение заданного уравнения, согласно структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид.
.
Пример 8. Найти общее решение уравнения y – 4y + 4y = cos x.
Решение. Запишем соответствующее однородное уравнение
y – 4y + 4y = 0
Его характеристическое уравнение k 2 – 4k + 4 = 0. Его корни, ,
т.е. k — действительный корень двойной кратности.
Следовательно, общее решение однородного дифференциального уравнения запишем в виде = ekx(C1 + C2x) = e 2x(C1 + C2 x). Частное решение ищем в виде
z = Acosx + Bsinx,где A и B — неизвестные коэффициенты.
Находим производныеz = – A sinx + B cosxиz = –Acosx – Bsinx.
Подставляем z, z и z в левую часть уравнения и группируем члены, содержащие cosx и sinx:
–Acosx – B sinx + 4A sinx – 4B cosx + 4A cosx + 4B sinx cosx.
Приравнивая коэффициенты при sinx и cosx слева и справа, получим следующую систему:
Решая эти уравнения совместно, находим следующие значения
и
и тогда частное решение будет иметь вид .
Общее решение заданного уравнения будет
.