12. Примерный вариант практического задания по Темам 1 – 5.

1. Найти матрицу, обратную матрице A. Проверить результат, вычислив произведение данной и обратной матриц.

A=

2. Решить систему уравнений двумя способами: матричным методом и по формулам Крамера:

3. Фирма производит оплату трем категориям K₁,K₂,K₃своих служащих по трем видам начислений:N₁– должностной оклад,N₂– надбавка за стаж работы в фирме иN₃– премиальные выплаты. Нормы выплат и объем расхода денежных средств на один день заданы таблицей. Найти количество работников каждой из категорий, которые могут работать в ней при таких исходных данных.

Виды начислений	Нормы выплат по категориям (ден. ед.)			Объем расхода денежных средств на 1 день (ден. ед.)
	K1	K2	K3
N1	7	3	4	280
N2	6	2	3	230
N3	5	9	1	250

4. Построить множество решений системы линейных неравенств и найти координаты его угловых точек.

5. Определить, являются ли матрица AиBособенными, и перемножитьAнаBиBнаA:

A =B =

6. Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса и выполнить проверку.

13. Примеры решения задач по темам 6 – 13

Пример 1. .

Решение. Подстановка предельного значения x= 2, дает нам неопределенность вида 0/0. Избавимся от нее путем разложения числителя и знаменателя на линейные множители.

2x² – 3x – 2 = 0 — квадратный трехчлен, корни которого находим по формулам корней квадратного уравнения: , т. е.. Итак,,x₂ = 2. Зная корни, имеем разложение трехчлена: ax² + bx + c = a(x – x₁)(x – x₂) или, в нашем случае, .

Аналогично получаем для знаменателя x² – 2x = x(x – 2). Тогда наш предел примет вид:

.

Теперь подставим под знак предела значение x = 2:

.

Пример 2. .

Решение. Подстановка предельного значения x = –1 дает неопределенность вида 0/0. Избавимся от нее, умножая числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, т.е. на ; тогда имеем:

.

В знаменателе выносим общий множитель, раскладываем разность квадратов и получаем

.

Пример 3. .

Решение. Имеем неопределенность вида /. Разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень x, т.е. на x³:

(т.к. выражения 7/x, 2/x³, 4/x², 3/x³ при x   имеют своим пределом 0).

Пример 4. .

Решение. Выделяем в круглых скобках единицу, для чего делаем следующие преобразования:.

Теперь воспользуемся вторым замечательным пределом:

.

Предел в показателе степени вычислим как предел отношения многочленов:

. Следовательно, .

Пример 5. .

Решение. Числитель запишем в виде , а знаменатель — в виде. Используя соотношение, приполучаем:

,  .

Значит,.

Пример 6. Найти , где[1^].

Решение. Функция y — четная, поэтому будем считать x > 0. Тогда

. Теперь вычислим :

=

.

Сократим полученную дробь на x  sinx: .

Таким образом, .

Пример 7. Исследовать на непрерывность функцию .

Решение. Выражение не определено приx = 0, следовательно, точка x = 0 есть точка разрыва заданной функции. Определим вид разрыва.

Выполним замену переменной , тогда приx  0 t   и

.

Таким образом, при x = 0 имеем разрыв первого рода, а именно — скачок.

Пример 8. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение.

1. Найдем область определения функции, интервалы непрерывности, точки разрыва.

Сначала найдем область определения заданной функции. Для этого представим ее в виде:

.

В числителе этой дроби стоит многочлен, непрерывный на всей числовой оси, а знаменатель обращается в нуль в точке x = 0. Итак, областью определения данной функции являются две полуоси – < x < 0 и 0 < x < +, т.е. D(f) = (–; 0)  (0; +),

в этих двух интервалах функция будет непрерывна.

2. Найдем точки пересечения графика функции с осями координат.

Так как точка x = 0 не входит в область определения функции, то точек пересечения графика с осью ординат Oy нет. График функции пересекается с осью абсцисс Ox, если y = 0, т.е.

,

причем x  0, т.е. знаменатель дроби в нуль никогда не обращается. Тогда дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю: 3x² – 5x – 2 = 0. Ищем корни квадратного уравнения:

Получаем . Итак, график функции имеет две точки пересечения с осьюOx: и.

3. Исследуем данную функцию на четность и нечетность.

Функция является четной, если выполняется равенство f(x) = f(–x). Функция является нечетной, если f(x) = –f(–x). Заданная функция . Найдемf(–x):

.

Несложно видеть, что f(x)  f(–x) и f(x)  –f(–x), т.е. данная функция не является ни четной, ни нечетной.

4. Найдем асимптоты графика функции.

а) Вертикальные асимптоты могут быть только в точках разрыва графика функции. В нашем случае это точка x = 0. Найдем пределы слева и справа заданной функции в этой точке:

,

,

Итак, оба односторонних предела равны –, поэтому прямая x = 0 является вертикальной асимптотой.

б) У графика функции есть горизонтальная асимптота y = b, если существует конечный предел (или конечный предел существует только приx  – или только при x  +).Так как , то прямаяy = 3 является горизонтальной асимптотой. Так как эта прямая является двусторонней горизонтальной асимптотой (т.е. при x ), то наклонных асимптот у графика функции нет.

Итак, у графика заданной функции есть вертикальная асимптота x = 0 и горизонтальная асимптота y = 3.

5. Теперь перейдем к отысканию интервалов возрастания и убывания функции и точек ее экстремума.

Найдем производную:

=.

а) Функция возрастает, если y' > 0. Мы имеем неравенство . Как известно, дробь является положительной, если числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Тогда наше неравенство распадется на две системы неравенств:

и

Решаем эти системы:

, откуда x > 0.

, откуда

Объединяя эти два результата, получаем область возрастания заданной функции:

(–;–4/5)(0; +).

б) Аналогично, из условия y' < 0 (в нашем случае — ), получим область убывания функции. Дробь меньше нуля, если ее числитель и знаменатель имеют разные знаки. Тогда полученное неравенство распадется на следующие две системы неравенств:

и

Решаем эти системы:

, откуда .

—эта система несовместна.

Объединяя эти два результата, получаем область убывания заданной функции: .

в) Из условия y' = 0, определим критические точки заданной функции. Решим уравнение . Так какx  0, то 5x + 4 = 0, откуда . Это — критическая точка. Выше определили, что слева от этой точки, в интервале (–; –4/5) первая производная положительна и функция возрастает, а справа, в интервале , первая производная отрицательна, и функция, соответственно, убывает. При переходе через критическую точкупроисходит смена знака производной с плюса на минус, следовательно, точка является точкой максимума заданной функции. Значение функции в этой точке.

Итак, точка является точкой максимума данной функции.

6. Найдём теперь интервалы выпуклости и точки перегиба графика заданной функции.

Интервалы выпуклости определим по знаку второй производной. Найдем ее, продифференцировав первую производную:

, .

Так как знаменатель полученной дроби x⁴ всегда положителен (за исключением значения x  0), то знак производной определяется знаком числителя – (10x + 12).

а) Функция будет выпуклой вверх на промежутке, где y'' < 0. Решением неравенства – (10x + 12) < 0 или 10x + 12 > 0 является интервал . Исключая значениеx  0, получаем, что на интервале график функции будет выпуклым вверх.

б) Аналогично, из условия y'' > 0 (в нашем случае, –(10x +12) > 0) определим интервал, на котором функция будет выпукла вниз. Решая последнее неравенство, определяем интервал или, на котором график функции будет выпуклым вниз.

в) Необходимым условием существования точки перегиба является равенство нулю второй производной (y'' = 0), что для нашей функции имеет место при .

Достаточным условием наличия точки перегиба служит смена знака второй производной при переходе через эту точку. У нас это условие выполнено, следовательно, — точка перегиба графика заданной функции. Значение функции в этой точке. Итак, точкаесть точка перегиба графика заданной функции.

7. Составляем сводную таблицу.

x						0	(0; +)
f(x)	 		 		 	разрыв	 
f'(x)	+			0, макс.	–		+
f''(x)	+	0, перегиб	–				–

8. По результатам исследования функции строим график.