7. Планы семинарских и практических занятий

Тема 1. Функции нескольких переменных. Частные производные. Дифференциал. (4 часа)

Рассматриваемые вопросы:

1. Частные производные.

2. Дифференцирование неявных функций. Полная производная.

3. Дифференциал функции двух переменных. Приложение дифференциала в приближенных вычислениях.

Задания для самостоятельного выполнения:

1. Найти частные производные до второго порядка включительно:

1. 

2. 

3. , приx=1 и y=2

4. 

5. 

2. Найти частные производные в указанной точке:

2.1. , приx=3, y=4

2.2. , приx=2, y=4

2.3. , приx=1, y=1

3. Вычислить приближенно, применив линеаризацию функций двух переменных:

Тема 2. Экстремум функций двух переменных. Наибольшее и наименьшее значения функции. (2 часа)

Рассматриваемые вопросы:

1. Необходимое и достаточное условие экстремума функции двух переменных.

2. Исследование функции двух переменных на набольшее и наименьшее значения в замкнутой области..

3. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Сведение к задаче на экстремум функции одной переменной в случае линейного уравнения связи.

Задания для самостоятельного выполнения:

1. Исследовать на экстремум функции двух переменных, используя следующий

Тема 3. Дифференциальные уравнения. Общее решение дифференциального уравнения. Задача Коши. (2 часа)

Рассматриваемые вопросы:

1. Дифференциальные уравнения. Общее и частное решения. Геометрический смысл. Общий интеграл.

2. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

3. Дифференциальные уравнения с разделенными переменными.

4. Интегрируемость дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производной, с правой частью – однородной функцией нулевого порядка.

Задания для самостоятельного выполнения:

1. Проинтегрировать дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными:

2xy' – y = 0	y' = y
y2dx + x2dy = 0	,
y' = 3x + 2y.	.

2. Дифф. ур. первого порядка с правой частью однородной функцией нулевого порядка.

1)	4)
2)	5)
3) (x + y)dx + xdy = 0.	6) (7x2 – 2xy + 6y2)dx + (x2 – 4xy)dy = 0.

Тема 4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка. (2 часа)

Рассматриваемые вопросы:

1. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 1 – го порядка. Метод Бернулли. Метод Лагранжа вариации произвольной постоянной. Структура общего решения.

2. Уравнение Бернулли.

Задания для самостоятельного выполнения:

1. Проинтегрировать линейные дифференциальные уравнения первого порядка:

	x2y' – 5 xy = 1
x  y' + 2y = x2.	(x+y)  y'= 1,y= 0 приx= –1.

2. Решить уравнения Бернулли.

y' – y = – y2 lnx	.