Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

_gmurman2[1]

.pdf
Скачиваний:
121
Добавлен:
17.05.2015
Размер:
8.01 Mб
Скачать

д)

 

 

 

X

 

 

Y

7

8

9

1

 

 

 

 

200

41

7

 

 

48

300

1

52

1

 

54

400

 

8

40

 

48

Лдг

42

67

41

 

л=150

539. Найти выборочное уравнение регрессии Ху= Ay^-t- +Ву + С и выборочное корреляционное отношение t\xy по данным, приведенным в корреляционной таблице:

а)

 

 

 

X

 

у

6

30

50

%

 

 

 

 

1

15

 

 

15

3

1

14

 

15

4

 

2

18

20

Пх

16

16

18

л = 50

б)

 

 

 

X

 

Y

1

9

19

""у

 

 

 

 

0

1

^^

 

 

 

13

 

 

 

 

 

2

 

2

10

 

 

12

3

1

1

1

23

'

25

Лдг

 

16

11

23

 

/1=50

200

§3. Ранговая корреляция

А.Выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена. Пусть выборка объема п содержит независимые объекты, которые обладают двумя качественными признаками: Л и Б. Под качествен­

ным подразумевают признак, который невозможно измерить точно, но он позволяет сравнивать объекты между собой и, следовательно,

расположить их в порядке убывания

или возрастания качества.

Для определенности у с л о в и м с я р а с п о л а г а т ь

о б ъ е к т ы в

п о р я д к е у х у д ш е н и я к а ч е с т в а .

 

 

Расположим сначала объекты в порядке ухудшения качества по

признаку А. Припишем объекту, стоящему на i-м

месте, число—

ранг Х(, равный порядковому номеру

объекта: Xi =

i,

Затем распо­

ложим объекты в порядке убывания качества по признаку В и при­

пишем каждому из них ранг (порядковый

номер) у/,

причем

(для

удобства сравнения

рангов) индекс / при у

по-прежнему равен по­

рядковому номеру объекта по признаку Л.

 

 

 

В итоге получим две последовательности рангов:

 

 

по признаку

А Xi Х2 ... х„,

 

 

 

по признаку

В Ух Уг '' • Уп

А )л В служат, в

част­

Для оценки степени связи признаков

ности, коэффициенты

ранговой корреляции

Спирмена

и Кендалла

(см. п. Б).

 

 

 

 

нахо­

Выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена

дят по формуле

 

 

 

 

 

где di = Xi—У/, п—объем выборки.

Абсолютная величина коэффициента ранговой корреляции Спир­ мена не превышает единицы: |рв1^1*

Для обоснованного суждения о наличии связи между качест­ венными признаками следует проверить, значим ли выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена (см. гл. XIII, § 13).

540. Знания десяти студентов проверены по двум тестам: А и В. Оценки по стобалльной системе оказались следующими (в первой строке указано количество баллов по тесту Л, а во второй — по тесту В):

95

90

86

84

75

70

62

60

57

50

,^,

92

93

83

80

55

60

45

72

62

70

< >

Найти выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена между оценками по двум тестам.

Р е ш е н и е . Присвоим ранги jc/ оценкам по тесту Л» Эти оценки расположены в убывающем порядке, поэтому их ранги Xi равны порядковым номерам:

ранги Xi

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

оценки по тесту

Л 95

90

86

84

75

70

62

60

57

50

201

Присвоим ранги yi оценкам по тесту В, для чего сначала рас^ положим эти оценки в убывающем порядке и пронумеруем их:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

.«^ч

93

92

83

80

72

70

62

 

60

55 45

^ '

Напомним, что индекс ( при у должен быть равен порядковому номеру оценки студента по тесту Л.

Найдем ранг yi. Индекс 1 = 1 указывает, что рассматривается оценка студента, который занимает по тесту А в ряду (*) первое место (эта оценка равна 95); из условия видно, что по тесту В сту­ дент получил оценку 92, которая в (**) расположена на втором месте. Таким образом, ранг yi = 2.

Найдем ранг у2* Индекс i = 2 указывает, что рассматривается оценка студента, который занимает по тесту А в ряду (*) второе место; из условия видно, что студент получил по тесту В оценку 93, которая в (**) расположена на первом месте. Таким образом, ранг У2=1-

Аналогично

найдем

остальные

ранги:

Уз=3, ^4 = ^» Уб=9»

«/в==в, 4^7 =

10,

(/8 = 5,

^9 =

7,

«/10=6.

 

 

 

Выпишем последовательности

рангов jc/ и у(: ,

 

 

JC/

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

 

 

У/

2

1

3

4

9

8

10

5 7

6

Найдем разности рангов: di=xi—^1 = 1—2=—1; ^2 = ^а—^2=

= 2 — 1 = 1 .

Аналогично

получим: 4з = 0» d^ = 0, ^5 = —*» ^в = —2,

^7 = —3, ^8=3, ^9 = 2,

dio=4.

 

 

 

 

 

Вычислим сумму квадратов разностей рангов:

 

2

4

= 1 +

1 + 1 6 + 4 + 9 + 9 + 4+16 = 60.

Найдем

искомый

коэффициент ранговой корреляции Спирмена,

учитывая, что л = 10:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

^S^?

 

,

6-60

 

__^

Итак, рв=0,64.

541. Два преподавателя оценили знания 12 учащихся по стобалльной системе и выставили им следующие оценки (в первой строке указано количество баллов, выставленных первым преподавателем, а во второй — вторым):

98 94 88 80 76 70 63 61 60 58 56 51

99 91 93 74 78 65 64 66 52 53 48 62

Найти выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена между оценками двух преподавателей.

542. Тринадцать цветных полос расположены в по­ рядке убывания окраски от темной к светлой и каждой полосе присвоен ранг—порядковый номер. В итоге по­ лучена последовательность рангов

;с;

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

202

При проверке способности различать оттенки цветов, испытуемый расположил полосы в следующем порядке:

у,.

6

3

4

2

1

10

7

8

9

5

11

13

12

Найти коэффициент ранговой корреляции Спирмена между «правильными» рангами х^ и рангами j^/, которые при­ своены полосам испытуемым.

543. Два товароведа расположили девять мотков пряжи в порядке убывания толщины нити. В итоге были получены две последовательности рангов:

л:^

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1/,.

4

1

5

3

2

6

9

8

7

Найти коэффициент ранговой корреляции Спирмена

между рангами Х/ и у^.

заводов проранжировали

544. Специалисты двух

11 факторов, влияющих на

ход технологического про­

цесса. В итоге были получены две последовательности

рангов:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

х.

1/^

1

2

3

5

4

9

8

11

6

7

10

Определить, согласуются ли мнения специалистов раз­ личных заводов, используя коэффициент ранговой кор­ реляции Спирмена.

545. Три арбитра оценили мастерство 10 спортсменов, в итоге были получены три последовательности рангов (в первой строке приведены ранги арбитра Л, во вто­

рой— ранги

арбитра

 

В»

в

третьей—ранги

арбитра С):

Xs \

2

3

4

5

6

7

8

9 10

У/

3

10

7

2

8

5

6

9

1

4

г ^ б

2

1

3

9

4

5

7

10

8

Определить пару арбитров, оценки которых наиболее согласуются, используя коэффициент ранговой корреля­ ции Спирмена.

546. Два контролера Л и В расположили образцы изделий, изготовленных девятью мастерами, в порядке ухудшения качества (в скобках помещены порядковые номера изделий одинакового качества):

(A)

1

2

(3,

4,

5)

(6,

7,

8,

9)

(B)

2

1

4

3

5

(6,

7)

8

9

Найти выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена между рангами изделий, присвоенными им двумя контролерами.

203

Р е ш е н и е .

Учитывая, что ранги изделий одинакового качества

равны среднему

арифметическому

порядковых

номеров изделий:

(3 + 4 + 5)/3 = 4,

(6 + 7 + 84-9)/4 = 7.5,

(6+7)/2==6,5, напишем по­

следовательности рангов, присвоенные изделиям контролерами:

;с/

1

2

4

4

4

7,5

7,5

7.5

7,5

ir/

2

1

4

3

5

6,5

6,5

8

9

Найдем выборочный коэффициент ранговой корреляции Спир­ мена, учитывая, что 2 ^ ? "=8,5, п = 9:

Итак, рв=0,93.

547. Два инспектора А и В проверили 12 водителей на быстроту реакции и расположили их в порядке ухуд­ шения реакции (в скобках помещены порядковые номера водителей с одинаковой реакцией):

(A)

1

(2,

3,

4)

5

(6,

7,

8)

9

10

11

12

(B)

3

1

2

6

4

5

7

8

11

10

9

12

Найти выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена между рангами водителей, присвоенными им двумя инспекторами.

Б. Выборочный коэффициент ранговой корреляции Кендалла.

Можно оценивать связь между двумя качественными признаками, используя коэффициент ранговой корреляции Кендалла. Пусть ранги объектов выборки объема п (здесь сохранены все обозначения п. А):

по признаку А Xi Х2 . . . Хп по признаку В yt У2 . . . Уп

Допустим, что справа от ух имеется /?i рангов, больших у^; справа от у2 имеется /?2 рангов, ббльших у2\ справа от^^ . х имеется ^/|->1 рангов, ббльших Уп-v Введем обозначение суммы рангов:

/?=:/?1 + / ? а + . . . + /?„-!.

Выборочный коэффициент ранговой корреляции Кендалла нахо­ дят по формуле

где п—объем выборки, /?—сумма рангов /?/ (/ = 1, 2, . . . , п—1). Абсолютная величина коэффициента ранговой корреляции Кен­

далла не превышает единицы: |Тв1<1*

Для обоснованного суждения о наличии связи между качественными признаками следует проверить, значим ли выборочный коэффициент ранговой корреляции Кендалла (см. гл. XIII, § 14).

204

548. Знания

10 студентов

проверены по двум тестам:

А и В. Оценки

по

стобалльной

системе оказались

сле­

дующими (в первой строке указано

количество баллов

по тесту Л,

а во второй — по тесту В):

 

57

50

 

 

 

95

90

 

86

 

84

75

70

62

60

 

 

 

 

92

93

 

83

 

80

55

60

45

72

 

62

70

 

 

Найти

выборочный

 

коэффициент

ранговой

корреляции

Кендалла между оценками по двум тестам.

 

 

 

Р е ш е н и е .

При

решении задачи 540,

условие

которой совпа­

дает с

условием

настоящей

задачи, были получены две последова­

тельности рангов (в

первой строке приведены ранги по тесту

Л,

во

второй — по тесту В):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X/

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

 

 

 

 

 

У/

2

1

3

4

9

8

10

5

7

6

 

 

 

Справа от yi=2

имеется

/?i = 8 рангов

(3, 4,

9, 8, 10, 5,

7,

6),

больших ^1=2;

справа

от (/2 = 1

имеется /?2=в

рангов, больших

(/2 = 1.

Аналогично

получим:

 

/?я = 7,

/?4 = б, /?5 = Ь

Лв==1#

/?7=0»

R^=2,

/?9=0. Следовательно,

сумма рангов

 

 

 

 

 

 

/ ? = = / ? , + / ? а + . . . + ^9 = 8 + 8 + 7 + 6 + 1 + 1 + 2 = 33.

Найдем коэффициент ранговой корреляции Кендалла, учитывая, что /? = 33, л = 10:

4;?

. 4 3 3 ,

^ . -

^в=;Г(;^^П[)~^=То:9~^==^'^^-

Итак, Тв = 0,47.

549. Два контролера расположили 10 деталей в по­ рядке ухудшения их качества. В итоге были получены две последовательности рангов:

А:;

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

(/,.

1

2

4

3

6

5

7

10

9

8

Используя коэффициент ранговой корреляции Кен­ далла, определить, согласуются ли оценки контролеров.

550.Найти выборочный коэффициент ранговой кор­ реляции Кендалла по условию задачи 542.

551.По условию задачи 544, используя коэффициент ранговой корреляции Кендалла, определить, согласуются ли мнения специалистов различных заводов.

552.По условию задачи 545, используя коэффициент ранговой корреляции Кендалла, определить пару арбит­

ров,, оценки

которых наиболее совпадают.

553.

Найти

выборочный коэффициент ранговой кор­

реляции

Кендалла по условию задачи 547.

205

Глава тринадцатая СТАТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ

§ 1. Основные сведения

Статистической называют гипотезу о виде неизвестного рас­ пределения или о параметрах известных распределений.

Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу HQ. Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу Ни которая

противоречит нулевой.

Различают гипотезы, которые содержат одно и более одного

предположений.

гипотезу, содержащую только одно предпо­

Простой

называют

ложение.

называют

гипотезу, которая состоит из конечного

Сложной

или бесконечного числа

простых гипотез.

В итоге проверки гипотезы могут быть допущены ошибки двух родов.

Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута пра­ вильная нулевая гипотеза. Вероятность ошибки первого рода назы­ вают уровнем значимости и обэзначают через а.

Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята непра­ вильная нулевая гипотеза. Вероятность ошибки второго рода обоз­ начают через р.

Статистическим критерием (или просто критерием) называют случайную величину /С, которая служит для проверки гипотезы.

Наблюдаемым (эмпирическим) значением /Снабл называют то зна­ чение критерия, которое вычислено по выборкам.

Критической областью называют совокупность значений крите­ рия, при которых нулевую гипотезу отвергают.

Областью принятия гипотззы (областью допустимых значений)

называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу принимают.

Основной принцип проверки статистических гипотез: если на­ блюдаемое значение критерия принадлежит критической области, то нулевую гипотезу отвергают; если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы, то гипотезу принимают.

Критическими точками (границами) Лкр называют точки, отде­ ляющие критическую область от области принятия гипотезы.

Правосторонней называют критическую область, определяемую неравенством К > k^^p, где /гкр—положительное число.

Левосторонней называют критическую область, определяемую неравенством К < Лкр, где Агкр—отрицательное число.

Двусторонней называют критическую область, определяемую неравенством К < k^ К > k2, где ^2 > ^i- ^ частности, если крити­

ческие точки симметричны относительно

нуля, то двусторонняя кри­

тическая

область определяется

неравенствами (в предположении,

что ^кр >

0)

 

 

 

К < —^Kpt

К >

^кр»

или равносильным^ неравенством |/С|>^кр.

206

Для отыскания критической области! задаются уровнем значи­ мости а и ищут критические точки, исходя из следующих соот­ ношений:

а) для правосторонней критической области

Р{К> ^кр) = а

(^кр>0);

б) для левосторонней критической области Р{К < М = а ( ^ к р < 0 ) ; в) для двусторонней симметричной области

Р(К> ^кр)-(а/2) (^кр > 0), Р(К< ~^кр)=а/2.

Мощностью критерия называют вероятность попадания крите­ рия в критическую область при условии, что справедлива конкури­ рующая гипотеза. Другими словами, мощность критерия есть веро­ ятность того, что нулевая гипотеза будет отвергнута, если верна конкурирующая гипотеза.

§ 2. Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей

По независимым выборкам, объемы которых п^ Пг. извлеченным

из нормальных

генеральных

совокупностей,

найдены исправленные

выборочные дисперсии

s\

и s\.

Требуется сравнить эти дисперсии.

Правило

1. Для того чтобы при

заданном

уровне значимости

а

проверить нулевую гипотезу HQ: D ( X ) =

D ( K )

О равенстве

генераль­

ных дисперсий

нормальных

совокупностей

при

 

конкурирующей

гипо-

тезе

Hi:

D(X)>D(V),

 

надо

вычислить

наблюдаемое

значение

критерия

(отношение

большей

исправленной

дисперсии к

меньшей)

 

 

 

 

 

 

 

/^набл = 5Б/5М

 

 

 

 

 

 

 

 

и по таблице критических

точек распределения

ФишераС недекора,

по заданному

 

уровню

значимости

а и

числам

степеней

свободы

ki=:ni—1,

^2 = ^2—1 (kiчисло

степеней свободы большей

исправ­

ленной дисперсии) найти критическую точку

fup(<^'* ^i» ^2)* Вели

^набл < ^кр — ^^^

оснований

отвергнуть

нулевую

гипотезу.

Если

Ривбл > ^кр—нулевую

гипотезу отвергают,

 

 

Hi:

D (X) ф D (К)

Правило 2.

При

конкурирующей

гипотезе

критическую

точку F^p (а/2; ^i, k^) ищут по уровню значимости а/2

{вдвор

меньшему

заданного)

и

числам

степеней

свободы

ki

и

k^

{kiчисло

степеней свободы большей дисперсии).

Если ^дабл < ^кр —

нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

 

Если

/^набл > ^кр —

нулевую гипотезу

отвергают.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

554. По двум независимым выборкам, объемы которых Ml =11 и ^2=14, извлеченным из нормальных генераль­ ных совокупностей X и К, найдены исправленные выбо­ рочные дисперсии sx = 0,76 и 5^ = 0,38. При уровне зна­ чимости а = 0,05, проверить нулевую гипотезу Н^: D(X) = =D(y) о равенстве генеральных дисперсий, при конку­ рирующей гипотезе Н^: D{X)> D{Y).

207

сии

Р е ш е н и е .

Найдем отношение большей

исправленной диспер­

к меньшей:

/"набл =0,76/0.38

= 2 .

 

 

 

 

 

 

 

По

условию конкурирующая

гипотеза

имеет

вид D {X) > D (К),

поэтому

критическая область — правосторонняя.

 

 

По

таблице

приложения

7, по уровню

значимости а=0,05 и

числам степеней свободы ki=ni

—1=11 — 1=10

и/^2 = ^2—1 = 14—

— 1=13

находим

критическую

точку

 

 

 

 

 

 

/='кр(0,05;

10; 13) =2,67.

 

 

Так как /^„абл < ^кр — нет оснований отвергнуть гипотезу о ра­ венстве генеральных дисперсий. Другими словами, выборочные исправленные дисперсии различаются незначимо.

555. По двум независимым выборкам, объемы которых П1 = 9 и П2== 16, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и К, найдены исправленные выборочные дисперсии Sx =34,02 и Sy= 12,15. При уровне значимо­ сти 0,01, проверить нулевую гипотезу Н^: D(X) = D{Y) о равенстве генеральных дисперсий при конкурирующей

гипотезе Н^:

D{X)>D{Y).

 

 

 

 

 

 

 

556. По двум независимым выборкам, объемы которых

Ml = 1 4

и Па =10, извлеченным из нормальных генераль­

ных совокупностей X и К, найдены исправленные выбо­

рочные дисперсии

Sx = 0,84 и sy = 2,52. При уровне зна­

чимости а = 0,1, проверить нулевую гипотезу ЯоГ D(X)=

= D{Y)

о равенс1ве генеральных дисперсий при конку­

рирующей гипотезе Н^:

0{Х)фО{У),

 

 

 

сии

Р е ш е н и е .

Найдем отношение большей

исправленной

диспер­

к меньшей:

 

^набл =2,52/0.84=3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По

условию

конкурирующая

гипотеза

имеет вид

D(X)

т^ D{Y),

поэтому

критическая

область — двусторонняя.

В соответствии

с пра­

вилом 2

при

отыскании критической точки

следует

брать

уровень

значимости, вдвое

меньший

заданного.

 

 

а/2 =0,1/2 =

 

По таблице приложения

7,

по уровню значимости

= 0,05 и числам

степеней

свободы ^х = 10 — 1 = 9 и А?2 =

14—1=13,

находим

критическую

точку

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

FKP(0,05;

9;

13) =

2.72.

 

 

 

 

 

Так

как

/^набл >

^кр — нулевую

гипотезу

о равенстве

генераль­

ных дисперсий отвергаем.

 

 

 

 

 

 

 

 

557, По двум независимым выборкам, объемы которых п^==9 и «2 = 6, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и К, найдены выборочные дисперсии JOB(X)= 14,4 и Г)^(У) = 20,Ъ. При уровне значимости 0,1 проверить нулевую гипотезу H^.D {X) = D {Y) о равенстве

208

генеральных дисперсий при конкурирующей гипотезе

Н,: D{X)^D{V).

У к а з а н и е . Найти сначала исправленные дисперсии по фор­ мулам:

558, Двумя методами проведены измерения одной и той же физической величины. Получены следующие результаты:

а) в первом случае Xi==9,6; JC2=10,0; А:З = 9,8;

А:4==10,2;

Д:5=10,6;

ys=iO,0;

б) во

втором случае f/i=10,4; ^2 = 9,7;

t/4=10,3.

 

 

Можно ли считать, что оба метода обеспечивают оди­ наковую точность измерений, если принять уровень зна­ чимости а = 0,1? Предполагается, что результаты измере­ ний распределены нормально и выборки независимы.

Р е ш е н и е . Будем судить о точности методов по величинам

дисперсий. Таким образом, нулевая гипотеза имеет вид HQI

D(X}=

= D(V). В качестве конкурирующей примем гипотезу Hii

D(X)^

Найдем выборочные дисперсии. Для упрощения вычислений перейдем к условным вариантам:

т= IOJC,- —100, Vi = lOi^i —100.

Витоге получим условные варианты

Ui

—4

 

0 — 2

2 6

Vi

4

— 3

0

3

Найдем исправленные выборочные дисперсии:

2 S ^ ' - I S ^ / P N

(16 + 44-4 + 36)-2У5_,,,.

^ " -

^^^ZTi

5 = 1

^^'^'

2

S^?~[2^^/?N

(1б + 9 + 9)-4У4 _ , ,

Сравним дисперсии. Найдем отношение большей исправленной дисперсии к меньшей (каждая из дисперсий увеличилась в 10^ раз, но их отношение не изменилось):

По условию конкурирующая гипотеза имеет вид D (Х) ф D (К), поэтому критическая область двусторонняя и в соответствии с пра­ вилом 2 при отыскании критической точки следует брать уровень значимости, вдвое меньший заданного.

=

По таблице приложения 7, по уровню значимости а/2 =0,1/2 =

0,05 и числам степеней свободы ^i = ni—1 = 5 — 1

= 4

и А^г^'^г—1=»

=

4 — 1 = 3 находим критическую точку fKp(0,05;

4;

3) = 9,12.

209