_gmurman2[1]
.pdfс вероятностью 1/4 случайная величина X в результате испытания примет значение, большее х^.
Р е ш е н и е . |
События X<Xi |
и |
X > Xi — противоположные, |
||
поэтому Р {Х< |
Xi) Н-Р (X > Jfi) = 1. |
Следовательно, |
Я (X < Хх) = |
||
= 1-_Р(Х >xi) = l —1/4 = 3/4. Так как Р (X^Xi)^0, |
то |
||||
Р (X<:xt) |
= P (X:=xi) + P (X < Xi)=P (X < ;ri)=:3/4. |
||||
По определению функции распределения, |
|
|
|||
Р(Х< Хг)^Р(Хг)- |
1/2 + |
(1/л) arctg (xi/2). |
|
||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
l/2 + 0/«)arctg(jCi/2) = |
(3/4), |
или |
arctg (Xi/2) = |
я/4. |
|
Отсюда Xi/2=1, |
или Jti = 2. |
|
|
|
|
259. Случайная величина X задана на всей оси Ох функцией распределения F (х) = (1/2) + (1/я) arctg {х/2). Найти возможное значение х^, удовлетворяющее условию:
с вероятностью 1/6 случайная величина |
X в результате |
||
испытания примет |
значение, |
||
большее х^. |
|
случай |
|
260, Дискретная |
|||
ная величина X задана зако |
|||
ном распределения |
|
||
X |
2 |
4 |
7 |
р |
0,5 |
0,2 |
0,3 |
Найти функцию распределе |
|||
ния F (х) и начертить ее гра |
|||
фик. |
|
|
|
|
|
то |
Р е ш е н и е . 1. |
Если |
дг<2, |
|||
|
|
р(х)=0. |
Действительно, зна |
|||||
чений, меньших числа 2, величина X не принимает. Следовательно, |
||||||||
при Jf<2 |
функция F(x)=:P (X < д:) = 0. |
|
|
|
|
|
||
2. Если 2 < jc<4, |
то F(jc) = 0,5. |
Действительно, X может при |
||||||
нять значение 2 с вероятностью 0,5. |
|
Действительно, |
X |
может |
||||
3. Если 4 < j c < 7 , |
то F(jc)=0,7. |
|||||||
принять |
значение 2 с |
вероятностью |
0,5 |
и |
значение |
4 |
с |
вероят |
ностью 0,2; следовательно, одно из этих значений, безразлично |
||||
какое, X может принять (по теореме сложения вероятностей |
несов |
|||
местных событий) с вероятностью 0,5 + 0,2 = 0,7. |
досто |
|||
4. Если X > 7, то f (х) = \. Действительно, событие Х<7 |
||||
верно и вероятность его равна единице. |
|
|||
Итак, искомая функция распределения имеет вид |
|
|||
|
/ О |
при |
х<2^ |
|
Р(х)^ |
0,5 |
при |
2 < л:<4, |
|
0,7 |
при |
4 < j c < 7 , |
|
|
|
|
|||
|
1 |
при |
X > 7. |
|
График этой функции приведен на рис. 6. |
|
|||
90
261 • Дискретная случайная величина задана законом распределения
X |
3 |
4 |
7 |
10 |
р |
0,2 |
0,1 |
0,4 |
0,3 |
Найти функцию распределения и построить ее график.
§ 2. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины
Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины называют первую производную от функции распреде ления: / (х) =f' (х).
Часто вместо термина «плотность распределения» используют термины «плотность вероятностей» и «дифференциальная функция».
Вероятность того, что непрерывная случайная |
величина X при |
|
мет значение, |
принадлежащее интервалу (а, Ь), |
определяется ра |
венством |
ь |
|
|
P(a<X<b)^^f{x)dx. |
|
|
а |
|
Зная плотность распределения, можно найти функцию распреде- |
||
|
X |
|
ления F (х)= |
\ / (х) dx. |
|
— со
Плотность распределения обладает следующими свойствами:
Св о й с т в о 1. Плотность распределения неотрицательна, т, е.
Св о й с т в о 2. Несобственный интеграл от плотности распре-
|
|
|
|
|
оо |
деления в пределах от |
—оо до |
оо |
равен единице: \ f(x)dx==\, |
||
в частности, если все возможные |
|
— во |
|||
значения случайной величины |
|||||
|
|
ь |
|
|
|
принадлежат интервалу |
(а, &), то |
\ |
f (х) |
dx=^l, |
|
|
|
а |
|
|
|
262. Дана функция распределения непрерывной слу |
|||||
чайной величины X |
О |
при |
л:<0, |
||
( |
|||||
F {х) = \ |
sin X |
при |
О < л: ^ ji/2, |
||
\ |
1 |
при |
X > л/2. |
||
Найти плотность распределения |
f(x). |
||||
Р е ш е н и е . Плотность распределения равна первой производной |
|||||
от функции распределения: |
|
|
|
|
|
|
( О |
|
при |
JC < О, |
|
|
создг |
при |
0 < л г < я / 2 , |
||
|
О |
|
при |
X > я/2. |
|
Заметим, что при х=^0 производная F' (дс) не существует.
91
263. Дана функция распределения непрерывной слу чайной величины X:
1 ^ |
при x < 0 . |
||
Fix) = |
sin 2x |
при |
0<х<я/4, |
I 1 |
при |
X > я/4. |
|
Найти |
плотность распределения |
f(x). |
X |
задана |
|||
264. |
Непрерывная |
случайная |
величина |
||||
плотностью распределения |
/ (х) = (3/2) sin Зх |
в интервале |
|||||
(О, я/3); вне этого интервала f(x) = 0. Найти вероятность |
|||||||
того, что X примет значение, принадлежащее интервалу |
|||||||
(я/6, я/4). |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р е ш е н и е . Воспользуемся |
формулой Р (а < X < ^) = |
\ / (jc) dx. |
|||||
По условию, a = n/6t |
b = n/4, |
/(дг) = (3/2) sinSjt. |
|
а |
|||
Следовательно, |
|||||||
искомая |
вероятность |
|
|
rt/4 |
|
^ |
|
|
Р (Я/6 <Х |
< я/4) = |
|
|
|||
|
(3/2) ^ sin 3xdx=^y |
2/4 |
|
||||
|
|
|
|
я/6 |
|
|
|
(выкладки предоставляется |
выполнить читателю). |
|
|
||||
265. Непрерывная случайная величина X в интервале |
|||||
(О, оо) задана плотностью распределения /(х)=ае"-°^(а>0); |
|||||
вне этого |
интервала |
/ (х) = 0. Найти вероятность того, |
|||
что X примет значение, принадлежащее интервалу (1, 2). |
|||||
266. Плотность распределения непрерывной случайной |
|||||
величины |
X |
в интервале |
(— л;/2, я/2) |
равна / (х) = |
|
= (2/п) cos* х; |
вне этого интервала / (х)« |
0. Найти веро |
|||
ятность того, что в трех |
независимых |
испытаниях X |
|||
примет ровно |
два раза значение, заключенное в интер |
||||
вале (О, я/4). |
|
|
|
|
|
267. Задана плотность распределения непрерывной |
|||||
случайной величины X: |
|
|
|||
|
|
( |
О |
при Аг<0, |
|
|
f(x)=\ |
cosX |
при о < X ^ я/2, |
||
|
|
\ |
О |
при X > я/2. |
|
Найти функцию распределения F{x). |
|
||||
Р е ш е н и е , |
Используем формулу |
|
|||
|
|
|
|
X |
|
— во
92
Если х<0, то f{x)=^0, следовательно,
о
Р(х)=^ J 0(iJC=::0.
• о Q0
Если О < дг<я/2, то
F(x)=^ \ Odx+\ cosjc djc = sin;:.
Если X > я/2, то
F(x)= |
J OdJC+ J cosA:d;f+ |
J 0 djtf==sin^r |
Я/2 |
|
= 1. |
||||
- |
QD |
0 |
Я/2 |
|
Итак, искомая функция распределения |
|
|||
|
|
[ЦИЯ |
|
|
|
F(;f) = |
при |
jr<;0, |
|
|
'{ sinjc при |
0 < х < я / 2 , |
|
|
|
|
при |
д; > я/2. |
|
268. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины X:
(О при х^О,
sin^c при 0 < д : ^ я / 2 ,
Опри X > д/2.
Найти функцию распределения F(A:).
269. Задана плотность распределения непрерывной
случайной величины X: |
|
|
|
(О |
при х ^ |
1, |
|
х—1/2 |
при |
1 < л ' < 2 , |
|
О |
при |
|
х>2. |
Найти функцию распределения |
F{x). |
непрерывной |
||||
270. Задана |
плотность |
распределения |
||||
случайной величины |
X: |
|
|
|
||
|
( |
О |
|
при |
х ^ я / 6 , |
|
/(jc)=< |
3sin3x |
при |
n / 6 < x ^ n / 3 , |
|||
|
V О |
|
при |
X > |
я/3. |
|
Найти функцию |
распределения |
F(x). |
|
|||
271. Плотность распределения непрерывной случайной |
||||||
величины X задана |
на всей оси Ох равенством f{x) = |
|||||
=4С/(е* + в'"*)- Найти постоянный параметр С. Решение. Плотность распределения / (х) должна удовлетво-
рять условию \ f{x)dx=l. |
Потребуем, чтобы это условие выпол- |
|
93 |
нялось для заданной функции
4С J е-*.+^е^- . = = 1 .
Отсюда |
- Ч |
{ |
^ |
1 ^ |
- |
|
|
||||||
Найдем сначала неопределенный интеграл: |
|
|
||||
Затем вычислим несобственный |
интеграл: |
|
|
|||
|
|
|
|
b |
их |
|
I е-4т^=Л"!Л^4^^^"Ла О |
|
|||||
е*+е-* |
||||||
|
|
О |
|
|
b |
|
|
Umш arctg е^ |
+ |
lim |
arctg е* |
= |
|
|
а - • — 0 0 |
i |
б-»- 00 |
L |
|
|
|
|
а |
Mm |
|
О |
|
= lira [arctg 1—arctg е<»]+ |
[arctg е^—arctg 1J =я/2 . |
|||||
я -*• — 00 |
|
|
b-^ OD |
|
|
|
Таким образом, |
00 |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
n |
|
(**) |
|
|
|
|
|
|||
|
I e * + e - * |
2 |
|
|
||
Подставив («*) в («), окончательно |
получим С = |
1/2л. |
||||
272.Плотность распределения непрерывной случайной величины X задана на всей оси Ох равенством / (л') = =2С/(1+х*). Найти постоянный параметр С.
273.Плотность распределения непрерывной случайной
величины |
X в интервале (О, я/2) равна f(x) = Cs\n2x; |
|
вне |
этого |
интервала /(х) = 0. Найти постоянный пара |
метр |
С. |
|
21А. Плотность распределения непрерывной случай ной величины X задана в интервале (О, 1) равенством /(jc) = C-arctgx; вне этого интервала /(х) = 0. Найти постоянный параметр С.
§ 3. Числовые характеристики иепрерьюных случайных аеличии
Математическое ожидание непрерывной случа.Ыой величины X,
возможные значения которой принадлежат всей оси Ох, определяется ра^нством
0D
Л*(Х)= J xf(x)dx.
94
где f(x)—плотность распределения случайной величины X. Предпо лагается, что интеграл сходится абсолютно.
В частности, если все возможные значения принадлежат интер валу (а, Ь), то
ь
Af(X) = J*/(x)<U.
а
Все свойства математического ожидания, указанные выше для дискретных случайных величин (см. гл. IV, § 3), сохраняются и для непрерывных величин.
Если К=ф(Х)—функция случайного аргумента X, возможные значения которого принадлежат всей оси Ох, то
|
Л 1 1 Ф ( Х ) 1= 5 |
ip(x)f(x)6x. |
|
|
|
В частности, если возможные |
значения X |
принадлежат интер |
|||
валу (а, 6), |
то |
|
|
|
|
|
ь |
|
|
|
(*) |
|
Mlip(X)]^^V(x)f(x)dx. |
|
|
||
Если математическое ожидание М (X) существует и кривая рас |
|||||
пределения симметрична относительно прямой |
х = С , |
то |
М(Х)=^С. |
||
Модой |
MQ (Х) непрерывной случайной величины |
X |
называют |
||
то её возможное значение, которому соответствует локальный макси мум плотности распределения. В частности, если распределение имеет два одинаковых максимума, то его называют бимодальным.
Медианой М^ (Х) непрерывной случайной величины X называют то ее возможное значение, которое определяется равенством
Р1Х<М^ (X)] = Р [Х > М^ (X)].
Геометрически медиану можно истолковать как точку, в которой ордината f (х) делит пополам площадь, ограниченную кривой рас пределения.
Дисперсия непрерывной случайной величины X, возможные зна чения которой принадлежат всей оси Ох, определяется равенством
00
D(X)= 5 lx-M(X)]*f(x)dx.
— 00
или равносильным равенством
00
D(X)= 5 x*f(x)dx-[M(X)]^.
—во
Вчастности, если все возможные значения X принадлежат ин тервалу (а, Ь), то
b
£)(X) = Jl*-Af(X)lVWd*.
а
95
яли
D{X) = ^x*f(x)dx-lM(X)]K
а
Все свойства дисперсии» указанные выше для дискретных слу чайных величин (см. гл. IV» § 3), сохраняются и для непрерывных величин.
Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной личины определяется так же, как и для дискретной величины:
а(Х)=»/^ЩХ).
Если К=ф(Х)—функция случайного аргумента X, причем воз* можные значения X принадлежат всей оси Ох, то
0[ф(Х)1= J
— О»
или
00
D [Ф (Д01 = J Ф» (*) / W <Ье- [А* [ф W11».
—во
Вчастности, если все возможные значения X принадлежат ин тервалу (а, 6), то
b
D [ф iX)\ = J 1Ф (Ж) - М 1Ф W J ] V W dJP.
или |
а |
|
|
|
|
|
b |
|
|
D [ф (X)J = J ф« (X) f (X) dx-lM [ф iX)\\K |
(••) |
Начальный теоретический момент порядка к непрерывной сл чайной величины X определяется равенством
Vik = J x^f(x)dx.
Центральный теоретический момент порядка к непрерывной случайной величины X определяется равенством
!»*« J lx-M{X)W(x)iix.
В частности, если все возможные значения X принадлежат ин тервалу (а, 6), то
b |
b |
Vik« J X*/ W djr. |
|iii= J 1х-М(Х)П(х) dx. |
a |
a |
Очевидво, что если k'ml, |
то У^ВМ(X). |*1»0: если к^2, то |
96
Центральные моменты выражаются через начальные моменты по
формулам: |
2 |
|
/X3 = V3-3v,V2 + 2v^, |
|
/Х4 = ^4—4v,V3+6v^V2—3vt. |
275. Спучайная величина X задана плотностью рас пределения f{x)^2x в интервале (О, I); вне этого ин тервала /(х)==0. Найти математическое ожидание вели чины X.
Р е ш е н и е . |
Используем формулу |
|
|
|
|
h |
|
|
Л! (Л) = |
J jr/(ж) djt. |
|
|
|
а |
|
Подставив я —О, |
6 = 1 , /(x) = 2jr, |
получим |
|
|
1 |
I |
1 |
M(X)^2\xx6x=-2 |
^ jt«djr=-(2/3)jr4 =2/3 . |
||
|
о |
б |
о |
276.Случайная величина X задана плотностью рас пределения /(л;)в(1/2)х в интервале (0; 2); вне этого интервала /(%)=:0. Найти математическое ожидание ве личины X.
277.Случайная величина X в интервале (—с, с) за
дана плотностью распределения /(л:)=» 1/(лКс*—.v*); вне этого интервала /(х) ==0. Найти математическое ожидание величины X.
|
|
b |
Р е ш е н и е . Используем формулу |
/И (X) == \ х/ (х) djr. Подста |
|
вив а = — г , 6 = г, /(дг)=1/(л |
|/"с*—X*), получим |
|
|
с |
|
М(^^ |
' ^ |
**'* |
Учитывая, что подынтегральная функция нечетная и пределы интег рирования симметричны относительно начала координат, заключаем» что интеграл равен нулю. Следовательно, М (Х) = 0.
Этот результат можно получить сразу, если принять во внима ние, что кривая распределения симметрична относительно прямой
j r = 0 .
278. Случайная величина X задана плотностью веро ятности (распределение Лапласа)/(.v)=(l/2)e-***. Найти математическое ожидание величины X.
97
279.Случайная величина X задана плотностыо рас пределения / (д:)|* с (;C* + 2JC) в интервале (О, 1): вне этого интервала f{x)^0. Найти: а) параметр с\ б) математическое ожидание величины X.
280.Найти математическое ожидание случайной вели чину Хр заданной функцией распределения
{ О при |
JC<0 |
|
х/4 |
при |
0 < х < 4 , |
1 |
при |
X > 4. |
Решение. Найдем плотность |
распределения величины X: |
|
{ О |
при |
|
х<0, |
|
1/4 при 0 < х < 4 , |
|
|||
О |
при |
JC > 4. |
|
|
Найдем искомое математическое ожидание: |
|
|
||
4 |
4 |
|
|
|
Решение, Воспользуемся формулой для |
вычисления матема |
|||
тического ожидания функции ф (Х) от случайного аргумента X: |
||||
ь |
|
|
|
|
а |
|
|
|
зна |
где а и {»*-гконцы интервала, в котором заключены возможные |
||||
чения X. Подставляя <p(jr)=jc*, /(jc) = (l/2)sinx, а = 0, ^=я |
и ин |
|||
тегрируя По частям» окончательно получим |
|
|
|
|
Л! (Х) = J хЦх) dx=r J jr.(l/4) cLc = 2. |
|
|||
281. Случайная величина X» возможные значения |
||||
которой неотрицательны, задана функцией распределения |
||||
F (х) -«1 — е - " (а > 0), Найти математическое ожидание |
||||
величины X. |
|
|
плотностью |
рас |
282* Случайная величина X задана |
||||
пределения f(x)m^{l/2)sinx в интервале (О, я); вне этого интервала /(jc)wO. Найти математическое ожидание функции К — ф (X) — X* (не находя предварительно плот ности распределения У).
п
М(Х^) ^~ Г х« sin X dx=x (л«—4)/2.
-^ *
283.Случайная величина X задана плотностью рас пределения f{x)^cosx в интервале (О, п/2); вне этого интервала /(л:)-«0. Найти математическое ожидание функции К —ф(Х)-||Х* (не находя предварительно плот ности распределения К).
284.Случайная величина X задана плотностью рас пределения /(л:)«л:+ 0,5 в интервале (О, 1)5 вне этого интервала /(х) = 0. Найти математическое ожидание функ ции У = Х' (не находя предварительно плотности рас* пределения Y).
285.Случайная величина X задана плотностью рас* пределения / (л:)« 2 cos 2л: в интервале (О, я/4); вне этого интервала /(л:) = 0. Найти: а) моду; б) медиану X.
Р е ш е н и е , а) |
Легко убедиться, |
что функция / (jc)«2 cos 2х |
в открытом интервале (О, я/4) не имеет |
максимума, поэтому X моДу |
|
не имеет. |
|
|
б) Найдем медиану Л4^(Х)=^т^, исходя из определения медианы: |
||
Р (X < т^)^Р(Х |
> Ше), или, что то же, Р [Х < т^) -с 1/2. |
|
Учитывая, что по условию возможные |
значения X лоложительнЫ| |
|
перепишем это равенство так: |
|
|
Р{0 < X < m^)=I/2, или 2 С COS2JC djc-»sin2m^«-1/2.
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
Отсюда |
2mg = |
arcsin 1 /2 =« л/6. |
Следовательно, |
искомая |
медиана |
|||
/п^«л/12. |
|
|
|
|
|
|
|
|
286. |
Случайная величина |
X в интервале |
(2, 4) задана |
|||||
плотностью |
распределения |
fix)^ |
— (3/4) х* + (9/2) х—6{ |
|||||
вне этого интервала |
f{x)^0. |
Найти моду, математическое |
||||||
ожидание и медиану |
величины X. |
|
|
|
||||
Р е ш е н и е . Представим плотность |
распределения |
в виде / (ж)«» |
||||||
5= — (3/4) (х—3)2-4-3/4. Отсюда видно, |
что при д:=3 |
плотность рас* |
||||||
пределения достигает максимума; следовательно, |
Л1о(^)«3. |
(Разу* |
||||||
меется, можно было найти максимум методами дифференциального исчисления.)
Кривая распределения симметрична относительно прямой jc«e3,
поэтому М{Х)ш=^3 и |
М^{Х)^3. |
|
287» Случайная величина X в интервале (3, 5) задана |
||
плотностью распределения |
/ (х)« — (3/4) х^ + вх—45/4; |
|
вне этого интервала / (х) •* 0. Найти моду, математическое |
||
ожидание и медиану X. |
X в интервале (—1, 1) за» |
|
288. Случайная |
величина |
|
дана плотностью распределения /(х)—1/(я V^l—х*); вне
этого интервала /(д:)=»0. Найти: а) моду; б) медиану X* 289» Случайная величина X при х^О задрана плот
ностью вероятности (распределение Вейбулла) /(x) = ^x"-^e-^«/^S
/(х)«0 при х < 0 . Найти моду X.
99