_gmurman2[1]

324. Нормально распределенная случайная величина X задана плотностью flx) = —i==-e-<^-^>*/*«. Найти матема-

тическое ожидание и дисперсию X.

325. Дана функция распределения нормированного

X

нормального закона F (х) == -^ — \ е-^'/М/. Найти HVIOT-

ность распределения f{x).

326. Доказать, что параметры а и о—плотности нормального распределения — являются соответственно математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением X.

У к а з а н и е . При нахождении М(Х) и D (X) следует ввести новую переменную г^(х—а)/а и использовать интеграл Пуассона

00

— 00

327. Доказать, что функция Лапласа

X

нечетна: Ф(—х) =—Ф(д:).

Указание . Положить z = — / в равенстве

У~2л

328. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины X соответственно равны 10 н 2. Найти вероят­ ность того, что в результате испытания X примет значе­ ние, заключенное в интервале (12, 14).

Решение. Воспользуемся формулой

Я ( « < Х < р ) = ф ( & = - « ) - ф ( « ^ ) .

Подставив а=12, Р = 14, ^==10 и 0=^2, получим Р {\2 < X < I4)=s = Ф(2)—Ф(1). По таблице приложения 2 находим: Ф (2) = 0,4772, Ф(1) = 0,3413. Искомая вероятность Р (\2 < X < 14) = 0,1359.

329. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной

110

Воспользуемся формулой Р (\Х\ < 6) -^2Ф (6/а). Подставив в = 0,7, а5^0,4, получим

Р(\Х\ < 0,7) = 2 ф ( ^ ) = 2 Ф ( 1 , 7 5 ) = 2.0,4599 = 0,92.

Таким образом, вероятность отклонения, меньшего 0,7 мм, равна 0,92. Отсюда следует, что примерно 92 шарика из 1СЮ окажутся годными.

335.Деталь, изготовленная автоматом, считается год­ ной, если отклонение ее контролируемого размера от проектного не превышает 10 мм. Случайные отклонения контролируемого размера от проектного подчинены нор­ мальному закону со средним квадратическим отклонением 0=^5 мм и математическим ожиданием а = 0. Сколько процентов годных деталей изготавливает автомат?

336.Бомбардировщик, пролетевший вдоль моста, длина которого 30 м и ширина 8 м, сбросил бомбы. Случайные величины X н Y (расстояния от вертикальной и гори­ зонтальной осей симметрии моста до места падения бомбы) независимы и распределены нормально со средними квад-

ратическими отклонениями, соответственно равными 6 и 4 м, и математическими ожиданиями, равными нулю. Найти: а) вероятность попадания в мост одной сброшен­ ной бомбы; б) вероятность разрушения моста, если сбро­

между собой. Поскольку эти площади численно равны вероятностям попадания X в соответствующий интервал, то

339.Доказать, что

Р( | Х — а | < а О = 2Ф(0,

т.е., что значение удвоенной функции Лапласа при за­ данном / определяет вероятность того, что отклонение

112

пополам площадь, ограниченную нормальной кривой. Следовательно, А!^(Х) = а.

Итак, мода и медиана нормального распределения совпадают

сматематическим ожиданием а.

345.Случайная величина X распределена нормально» причем математическое ожидание а = 0 н среднее квадратическое отклонение равно а. Найти значение а, при котором вероятность того, что X примет значение, при­ надлежащее интервалу (а, Р) (а > О, р > а), будет наи­ большей.

У к а з а н и е . Воспользоваться формулой

Р (а < X < Р) = Ф (Р/а)—Ф (а/о) =

найти а из уравнения ф'(а)=:0.

§6. Показательное распределение

иего числовые характеристики

Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, которое описы­

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение показательного распределения соответственно равны:

Л1(Х) = 1А, D(X) = 1A«, а(Х) = 1А.

Таким образом, математическое ожидание и среднее квадрати­ ческое отклонение показательного распределения равны между собой.

346. Написать плотность и функцию распределения показательного закона, если параметр Х==5.

114

Р е ш е н и е . Подставив л = 3 в соотношения (*) и (**), получимг ( о при X < О,

350. Непрерывная случайная величина X распреде­ лена по показательному закону, заданному плотностью вероятности f(x) = 3e^^'^ при л'^О; при ;с<0 /(jc) = 0. Найти вероятность того, что в результате испытания X попадает в интервал (0,13, 0,7).

Р е ш е н и е . Используем форм> лу

Р(а< X < fc) = e-^«—е-^ь.

Учитывая, что, по условию, а = 0,13, 6 = 0,7, А. = 3, и пользуясь таблицей значений функции е-*, получим

Р (0,13 < X < 0,7) = е-з.о.1з _е-з-о,7 =е-о.39^е-зД =

=0,677—0,122 = 0,555.

351.Непрерывная случайная величина X распреде­ лена по показательному закону, заданному при х^О плотностью распределения /(х) = 0,04-е""®'<>*-^; при х < 0 функции f{x) = 0. Найти вероятность того, что в резуль­ тате испытания X попадает в интервал (1, 2).

115

— »

Учитывая, что /(д:)-=гО при дг < О и /<дг)~Хе-^ при д:^О, получим

о»

Af(X) = X JxX ' .ie'^^Vr— A . J C . .

о

Интегрируя по частям по формуле

\ udv ^ wt» I — \ tfda.

положив (/=^дг, (1у = е-*'*(1дг и выполнив выкладки, окончательно по­ лучим Л1(Х) = 1/Х.

Итак, математическое ожидание показательного распределения равно обратной величине параметра X.

при JC < 0.

Р е ш е н и е , а) Используем формулу

D(X)= J x*f{x)dx-lM(X)]\

— 00

116

Учитывая, что / ( х ) = 0 при дг < О, М {Х)^]/К (см. задачу 35S), по­ лучим

00

О

Интегрируя дважды по частям, найдем

ос

о

Следовательно, искомая дисперсия

т. е. дисперсия показательного распределения равна величине, об­ ратной X*.

б) Найдем среднее квадратическое отклонение:

а(Л')= К Щ А ) = / Г Д 2 = = 1 Д .

т. е. среднее квадратическое отклонение показательного распределе­ ния равно величине, обратной Я.

357.Найти дисперсию и среднее квадратическое от­ клонение показательного распределения, заданного плот­ ностью вероятности /(х) == 10е~^®^ (л:^0).

358.Найти дисперсию и среднее квадратическое от­ клонение показательного закона, заданного функцией

распределения F {х) = 1 —е~^»^^ (х^ 0).

359. Студент помнит, что плотность показательного распределения имеет вил /(л)==0 при v < О, /(х)==Се"^^* при х^0\ однако он забыл, чему равна постоянная С. Требуется найти С.

У к а з а н и е . Использовать свойство плотности распределения;

—OD

360.Найти теоретический центральный момент третьего порядка Цз = Л1 [X — М (X)J^ показательного распределе­ ния.

У к а з а н и е . Использовать решения задач 353 и 356.

361. Найти асимметрию ^, = |11я/о»(Х) показательного распределения.

У к а з а н и е . Использовать решения задач 356 и 360.

117

362.Найти теоретический центральный момент четвер­ того порядка \1^ = М[Х — Л1 (X)]* показательного распре­ деления.

363.Найти эксцесс Е,^ = оЧ^Х)—^ показательного рас­ пределения.

364.Доказать, что непрерывная случайная величина

Т— время между появлениями двух последовательных событий простейшего потока с заданной интенсивностью к

(см. гл. IV, § 2)—имеет показательное распределение

например, в интервале (/Q» ti)t то время Т между появлениями двух последовательных событий окажется меньшим t, т. е. окажется, что

одного события потока»—противоположны (сумма их вероятностей

ятность противоположного события Р (Т < 0 = 1—е-^^, или [по оп­ ределению функции распределения F(() = P(T<i)] имеем F{t) = =1—е-^^, что и требовалось доказать.

365. Задана интенсивность простейшего потока Х = 5. Найти: а) математическое ожидание; б) дисперсию; в) сред­ нее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины Т—времени между появлениями двух последо­ вательных событий потока.

У к а з а н и е . Использовать решение задачи 364.

366. На шоссе установлен контрольный пункт для проверки технического состояния автомобилей. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое от­ клонение случайной величины Т — времени ожидания очередной машины контролером,— если поток машин про­ стейший и время (в часах) между прохождениями машин через контрольный пункт распределено по показатель­ ному закону /(/) = 5e"*^

У к а з а н и е . Время ожидания машины контролером и время прохождения машин через контрольный пункт распределены одинаково.

118

§ 7. Функция надежности

Элементом называют некоторое устройство, независимо от того» «простое» оно или «сложное». Пусть элемент начинает работать в мо­ мент времени /о = 0, а в момент / происходит отказ. Обозначим через Т непрерывную случайную величину—длительность времени безотказной работы элемента, а через Я—интенсивность отказов (сред­ нее число откззов в единицу времени).

Часто длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение, функция распределения которого

^г(0=e-^^

367. Длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение F (/)= 1 —е-®»®*' (t > 0). Найти вероятность того, что за врек1я длительностью /=50 ч: а) элемент откажет; б) элемент не откажет.

то, подставив / = 50 в функцию распределения, получим вероятность отказа:

f (50) = 1 —е-о.о1.5о= 1 _е-0'* = 1 --0,606 = 0,394;

б) события «элемент откажет» и «элемент не откажет»—противо­ положные, поэтому вероятность того, что элемент не otкaжeт

Р = 1—0,-394 = 0.606.

Этот же результат можно получить непосредственно, пользуясь функцией надежности /?(0==е-^'', которая определяет вероятность безотказной работы элемента за время длительностью /:

R (50) = е--о,01.бо = е-0.5 = о,606.

Зв8, Длительность времени безотказной работы эле­ мента имеет показательное распределение F (/)= 1—е'"^»*^*^ Найти вероятность того, что за время длительностью

/= 100 ч: а) элемент откажет; б) элемент не откажет.

369.Испытывают два независимо работающих эле­ мента. Длительность времени безотказной работы первого

119