Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

_gmurman2[1]

.pdf
Скачиваний:
120
Добавлен:
17.05.2015
Размер:
8.01 Mб
Скачать

З а м е ч а н и е . Решение, приведенное выше, преследует учебные цели. Гораздо быстрее ведет к цели формула

я

М [X2] = I.fjc2sinxciA: = (n2 —4)/2, 2 О

Это же замечание относится и к задаче 393.

393.Случайная величина X задана плотностью распределекия /(х)==со5л: в интервале (О, я/2); вне этого интервала /(х)==0. Найти математическое ожидание функции K«ф(X) = X^

394.Случайная величина X задана плотностью рас­ пределения /(x)«(l/2)sinjc в интервале (О, л); вне этого интервала /(л:)=«0. Найти дисперсию функции

у= (р{Х) = Х^, используя плотность распределения g{y)^

Р е ш е н и е . Используем формулу

d

д

где с и d—концы интервала, в котором заключены возможные зна­ чения Y. Подставляя ^(y) = sin V^'y/i V^, М (К)«(л2^4)/2 (см.

задачу 392)

и учитывая, что с = 0 и d^n^ (так как у « х * и О < х < л,

то О < у <

я*), получим

о^ ^

Интегрируя сначала с помощью подстановки y = t^, а потом четырежды по частям, имеем

Подставив (•*)

в (*),

окончательно

получим

 

 

 

 

D(X2)=(n*—16л2 + 80)/4.

 

 

395. Случайная

величина

X задана плотностью

рас­

пределения

/(X) =

COSA: В интервале

(О, я/2);

вне

этого

интервала

/(х) = 0.

Найти

дисперсию

функции

У к а 3 4 и^и е.

Предварительно

найти

плотность распределения

g(y)^coa V

у/2 У

у

величины К = Х*; использовать формулу

Р(У)^ J y^g{y)dy^[M{Y)]^

130

где Л1(К) = (л2—в)/4 (см. задачу 393). При вычислении интеграла сначала воспользоваться подстановкой y = t^t а затем интегрировать по частям.

396. Ребро куба измерено приближенно, причем а^х^Ь. Рассматривая ребро куба как случайную ве­ личину X, распределенную равномерно в интервале (а, Ь), найти: а) математическое ожидание объема куба; б) дисперсию объема куба.

У к а з а н и е .

Предварительно найти плотность распределения

 

^^^^^3(Ь^а)у^^^

случайной величины y=sX^.

Использовать формулы

M(Y)=^

yg(у) 6у,

^(У)^1 УЧ{у) ^У-[М(К)12.

в»

 

а»

397. Задана функция распределения F (х) случайной величины X. Найти функцию распределения G(y) слу­ чайной величины К==ЗХ + 2.

Р е ш е н и е . По определению функции распределения, G {у) = = Р (К < у). Поскольку функция ^ = 3JC+2—возрастающая, то не­ равенство Y < у выполняется, если имеет место неравенство X < х^

поэтому

(*)

0{у)^Р {Y < у)^Р{Х < x)^f{x).

Из уравнения y=3jc+2 выразим х:

 

х^(у^2)/3.

(**)

Подставив (**) в (*), окончательно получим

 

0(y)^Fl(y-2)/3].

 

398. Задана функция распределения F (х) случайной величины X. Найти функцию распределения G (у) слу­ чайной величины К» — (2/3)Х4 - 2 .

Р е ш е н и е . По определению функции распределения,

0(y)=^P{Y <у).

Поскольку функция у = — (2/3)дг+2—убывающая, то неравенство Y < у выполняется, если имеег место неравенство X > х, ПОЭТОМУ'

G{y)==P(Y<y)=^P(X>x),

События X < X и X > X противоположны, поэтому сумма веро­ ятностей этих событий равна единице: Р {X < х)+Р (X > х)=»1. Отсюда

Р(Х > д:)=1—Р(А: < x)^l-^f(x)\

следовательно,

С/(//) = 1-/^(лг).

(*)

131

Из уравнения у=:—(2/3)дг+2 выразим х:

Х = 3{2^УУ2, (**)

Подставив (*•) в (*), окончательно получим C(y) = l - f [3(2--у)/21.

399. Задана функция распределения F (х) случайной величины X. Найти функцию распределения С((/) слу­ чайной величины К, если: а) К = 4X4-6; б) К = —5Х+ 1; в) V==aX + b.

§ 2. Функция двух случайных аргументов

Если

каждой паре возможных

значений случайных величин X

и У соответствует одно возможное значение случайной величины Z,

то Z называют функцией двух случайных аргументов X и У и пишут

 

 

2 = ф(Х, К).

 

Если

X

и У—д и с к р е т н ы е

независимые случайные вели­

чины, то,

для того чтобы найти распределение функции

Z = X + yf

надо найти все возможные значения Z, для чего достаточно сложить

каждое возможное значение X со всеми возможными значениями У;

вероятности

найденных возможных

значений Z равны произведениям

вероятностей складываемых значений X и У.

 

Если

X и У — н е п р е р ы в н ы е независимые случайные вели­

чины, то

плотность распределения ^(г) суммы Z=^x4-y

(при усло­

вии, что

плотность распределения

хотя бы одного из аргументов

задана в интервале (— оо, оо) одной формулой) может быть найдена по формуле

ос

г(г)=

5

fi{x)ft(z-x)dx.

 

— »

 

либо по равносильной формуле

 

 

X

 

йГ(г)=

J

ft(2-y)f^(y)dy.

— X

где /i и /-2 — плотности распределения аргументов; если возможные значения аргументов неотрицательны, то плотность распределения g{z) величины Z==X-\'y находят по формуле

г

о

либо по равносильной формуле

г

g(z)^lfi{2-y)h(y)dy.

о

в том случае, когда обе плотности fi(x) и fziy) заданы на

конечных

интервалах, для отыскания плотности

g(z) величины

Z = X + y

целесообразно сначала найти функцию

распределения

132

0(г), а затем продифференцировать ее по г:

д(г) = 0'{г).

Если X и У — независимые случайные величины, заданные соот­ ветствующими плотностями распределения fi(x) и fiiy)* то вероят­ ность попадания случайной точки (Л', Y) в область D равна двойному интегралу по этой области от произведения плотностей распреде­ ления:

Р [{X, К) с D) = \ J Л (л) /2 (у) 6х dy.

iD)

400.Дискретные независимые случайные величины X

иУ заданы распределениями:

X

1

3

У

2

4

Р

0,3

0,7 '

Р

0,6

0,4

Найти распределение

случайной величины 2 = Х + У.

Р е ш е н и е .

Для

того чтобы составить

распределение величины

Z = X-TY, надо найти

все возможные

значения Z и их вероятности.

Возможные значения Z есть суммы каждого возможного значе­ ния X со всеми возможными значениями Y:

 

2i =

l - p 2 = 3 ; 22=1 + 4 =

5; гз = 3-|-2 = 5; 24 = 3 + 4 = 7.

Найдем вероятности этих возможных значений. Для того чтобы

Z = 3,

достаточно,

чтобы величина

X

приняла

значение Xi=l и

величина

У — значение ^1=2.

Вероятности этих

возможных значе­

ний, как следует

из данных

законов

распределения, соответственно

равны 0,3 и 0,6. Так как аргументы

X м Y независимы, то события

Х = \

и К = 2 независимы и, следовательно, вероятность их совмест­

ного наступления

(т. е. вероятность события 2 = 3) по теореме умно­

жения

равна 0,3 0,6 = 0,18.

 

 

 

 

 

Аналогично найдем:

 

 

 

 

 

 

 

 

Р ( 2 = 1 +

4 =

5) ==0,3 0,4 = 0,12;

 

 

 

 

Р (2 = 3 +

2 = 5) =0,7

0,6 = 0,42;

 

 

 

 

Я (2 = 3 + 4 =

7)=0,7 . 0,4=0,28.

 

Напишем искомое распределение, сложив предварительно веро­ ятности несовместных событий 2 = ^2 = 5, 2 = 2я = 5 (0,12 + 0,42 = 0,54):

2

3

5

7

Р

0,18

0,54

0,28

Ко н т р о л ь : 0,18 + 0,54 + 0,28=1.

401.Дискретные случайные величины X и У заданы распределениями:

а)

X

10

12

16

Y

1

2 .

 

Р

0.4

0.1

0,5'

Р

0.2

0.8'

б)

X

4

10

 

Y

1

7

 

Р

0.7

0,3'

 

Р

0,8

0,2-

Найти распределение случайной, величины 2 = Х + У

133

402. Независимые случайные величины X я Y заданы плотностями распределений:

/iW = e-^ (0<АГ<оо). f,iy)^(1/2)е-У/^ (0<у<оо).

Найти композицию этих законов, т. е. плотность распре­ деления случайной величины Z=X +К.

Решение.

Так как

возможные значения аргументов неотри­

цательны, то применима формула

 

 

 

 

 

 

 

ж

 

 

 

 

 

 

giz)=^Utix)fz(z-x)dx.

 

Следовательно,

г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнив элементарные преобразования, получим

 

 

г(г) = е-^/М1-е-'/«1.

Здесь г^О, так как Z^X-^-Y

и возможные значения X н Y

неотрицательны.

 

 

в

интервале (О, оо), вне этого

Итак, ^(г)=е"'^/* [1—e"^^*J

интервала ^(z)==0.

 

 

 

 

о»

 

 

 

 

 

 

 

Рекомендуем для контроля убедиться, что \ g(z)dj = l.

 

 

 

 

 

 

 

о

403. Независимые случайные величины X и Y заданы

плотностями распределений:

Му) =

{1/5)е-У/^{0^у<оо).

/iW = (l/3)e-*/» (0<х<оо),

Найти

композицию этих законов, т. е. плотность распре­

деления случайной величины Z=»X + Y.

404. Независимые нормально распределенные случай­

ные величины X и Y заданы плотностями распределений:

 

ft W = (1/К2^) e--V2,

f^ (у) ^ (1/J/-2H) e-^va.

Доказать, что крмпозиция

этих

законов, т. е. плот­

ность

распределения

случайной

величины Z = X + Y^

также есть нормальный закон.

 

 

00

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

Используем формулу

g(z)^= \ /i (х) х) dx.

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0D

 

 

 

 

134

Выполнив элементарные выкладки, получим

GO

— 00

Дополнив показатель степени показательной функции, стоящей под знаком интеграла, до полного квадрата, вынесем е^'^* за знак интеграла:

00

— 00

Учитывая, что интеграл Пуассона, стоящий в правой части равен­

ства, равен 1^д , окончательно

имеем g(z)—

^^^ ^^ *

 

 

У2п

 

 

Рекомендуем для контроля

00

g(z)d2=li

Для

убедиться, что \

 

— 00

•/ и принять во

этого следует воспользоваться подстановкой г=}^2

 

со

У 2л .

 

внимание, что интеграл Пуассона \ e'"^*''^d/=

 

Заметим, что в рассматриваемой задаче легко убедиться,

что

M(Z) = M(X) + M(Y)

и а(2)=/"а2(Л:) + а2(К).

 

Можно доказать, что эти формулы справедливы и при композиции общих нормальных законов (т. е. если математическое ожидание отлично от нуля и среднее квадратическое отклонение не равно единице).

405. Заданы плотности распределений независимых равномерно распределенных случайных величин X и V:

/i(jc)=l/2 в интервале (0,2), вне этого интервала

/2(^) = 1/2 в интервале (0,2), вне этого интервала /a(t/) = 0.

Найти функцию распределения и плотность распределе­ ния случайной величины Z = X + Y. Построить график плотности распределения g{2).

Р е ш е н и е . По условию, возможные значения X определяются неравенством О < х < 2, возможные значения V — неравенством О < 1/ <2. Отсюда следует, что возможные случайные точки (X; У) расположены в квадрате О ABC (рис. 9, а).

По определению функции распределения,

С (г) = Я (Z < Z) = Р (X4- Y < г),

135

Неравенству х-{-у < г удовлетворяют те точки {х; у) плоскости хОу, которые лежат ниже прямой х-]-у = г (эта прямая отсекает на осях Ох и Оу отрезки, равные г); если же брать только возможные зна­ чения X и у^ то неравенство х-\ у < г выполняется только для точек, лежащих в квадрате ОABC ниже прямой х-гу = г.

£ Z X

Ч X

Рис. 9

С другой стороны, так как величины X l^ Y независимы, то

0{z)=^^h{x)U{y) dxdy=-j^^dxdy^

где 5 — величина той части площади квадрата ОЛВС, которая лежит ниже прямой х-\-у=^г. Очевидно, величина площади 5 зависит от значения г.

Если

г<;0, T o S = 0 , т. е. G (г) ==(1/4).0 = 0.

 

Если О < г < 2, то (рис. 9, а) G (z) =={\'4) S^ Q^^ =

\/4Z^/2=Z^/S.

Если 2 < г < 4, то (рис. 9, б) G (г)==(1/4) 5^^^^^^= 1 —(4—z)V8.

Площадь фигуры ОАНКС найдена как разность между площадью квадрата ОABC, которая, очевидно, равна 2 - = 4 , и площадью прямо­ угольного треугольника ЯВ/С: S^f^Qf^ = HB'^/2, причем ИВ =2

— ЛЯ = 2 —Д^ = 2 —(г—2)=4 —2.

Если 2г > 4, то G(e) = (l/4)So . 4«c=i/4 - 4=l . Итак, искомая функция распределения такова:

Опри z < 0 ,

0{г)'.

г«/8

при О < г < 2,

1 - ( 4 - г ) 2 / 8

при

2 <

2 < 4,

 

 

1

при

2 >

4.

Найдем плотность распределения:

Опри 2 ^ 0 ,

^W=-<

2/4

при о

<

2 <

2,

1 — 2/4 при 2

<

2 <

4,

 

О

при 2 >

4.

 

136

График плотности распределения g (г) изображен на рис. 10. Рекомендуем для контроля убедиться, что площадь, ограничен*

ная кривой распределения g(z), равна единице.

406. Заданы плотности равномерно распределенных независимых случайных величин X и Y: Д (х) == 1 в интер­ вале (О, 1), вне этого интервала f^ {х) == 0; /^ (у) == 1 в интер­ вале (О, 1), вне этого интервала fi{y)^0.

 

 

Рис. 10

 

 

 

 

Найти функцию

распределения и плотность

распре­

деления случайной

величины Z = X+Y.

Построить гра­

фик плотности распределения ^^(г).

 

равномерно

407. Заданы

плотности

распределений

распределенных

независимых случайных величин X и У^:

/I(JK:)=S1/2 В интервале (1,3), вне

этого

интервала

^i(^)^0; /2(1/)== 1/4 в интервале (2,6),

вне этого

интер­

вала /^ (у) = 0 .

Найти функцию распределения

и

плот­

ность распределения случайной величины Z^X + Y.

Построить график плотности

распределения

g{z).

 

 

Глава восьмая

СИСТЕМА ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

§ 1. Закон распределения двумерной случайной величины

Двумерной называют случайную величину (X, К), возможные значения которой есть пары чисел (JC, у). Составляющие X и У, рассматриваемые одновременно, образуют систему двух случайных величин.

Двумерную величину геометрически можно истолковать как слу­

чайную

точку

М {X; У) на

плоскости

хОу либо

как случайный

вектор

ОМ.

 

 

 

 

Дискретной называют двумерную величину, составляющие кото­

рой дискретны.

 

двумерную

величину,

составляющие

Непрерывной называют

которой

непрерывны.

 

 

 

Законом распределения вероятностей двумерной случайной вели­

чины называют

соответствие

между возможными значениями и их

вероятностями.

 

 

 

 

137

Закон распределения дискретной двумерной случайной величины может быть задан: а) в виде таблицы с двойным входом, содержа­ щей возможные значения и их вероятности; б) аналитически, напри­ мер в виде функции распределения.

Функцией распределения

вероятностей двумерной случайной

величины называют функцию

F (х,

у), определяющую для каждой

пары чисел (х, у) вероятность того,

что X примет значение, меньшее

X, и при этом Y примет значение, меньшее у: F{x, у)=гР{Х <х, У <у).

Геометрически это равенство можно истолковать так: F (х, у) есть вероятность того, что случайная точка (X, У) попадет в бесконеч­ ный квадрант с вершиной (х, у), расположенный .левее и ниже этой вершины.

Иногда вместо термина «функция распределения» используют термин «интегральная функция».

Функция распределения обладает следующими свойствами:

С в о й с т в о

1. Значения функции распределения удовлетворяют

двойному неравенству

 

 

 

 

 

 

 

0 < F ( x , I/X1 .

 

С в о й с т в о

2.

Функция

распределения есть неубывающая

функция по каждому аргументу:

 

 

 

 

 

Р{Х2, y)^f(xu

 

у),

если Х2 > Xi,

 

f (х, У2) ^ f

{х,

!/i),

если У2 > Уг.

С в о й с т в о

3.

Имеют место предельные соотношения:

1)

F ( ~ o o , (/)=0,

 

2)

F(x,

~ с о ) = 0 ,

3) /="(—00, — оо) = 0,

4)

F(oo,

оо) = 1.

С в о й с т в о

4.

а) При у=оо

функция распределения системы

становится функцией распределения составляюш,ей X:

 

 

F(x,

оо) = Л(х).

 

б) При X =

00

функция

распределения

системы становится

функцией распределения составляющей

У:

 

^(00» i / ) = ^ 2 ( l / ) -

Используя функцию распределения, можно найти вероятность попадания случайной точки в прямоугольник Xi < X < Хг,

У1<У < У2'

Р(хг<Х <Х2, У1<У < У2) == [F {Х2. У2) —F {Хи У2)]

— {Р{Х2> yi) — F(xu yi)]'

Плотностью совместного распределения вероятностей (двумерной плотностью вероятности) непрерывной двумерной случайной вели­ чины называют вторую смешанную производную от функции распре­ деления:

f^^'^y^- дхду

Иногда вместо термина «двумерная плотность вероятности» используют термин «дифференциальная функция системы».

Плотность совместного распределения можно рассматривать как предел отношения вероятности попадания случайной точки в прямо-

138

угольник со сторонами Лд: и Л^ к площади этого прямоугольника, когда обе его стороны стремятся к нулю; геометрически ее можно истолковать как поверхность, которую называют поверхностью рас­ пределения*

Зная плотность распределения, можно найти функцию распре­ деления по формуле

уX

F(x.y)^ S S /<^' y)dxdy.

Вероятность попадания случайной точки (Х» Y) в область D определяется равенством

Р[(Х, K)c:D] = 55/(x, y)dxdy.

Ф)

Двумерная плотность вероятности обладает следующими свой* ствами:

С в о й с т в о 1. Двумерная плотность вероятности неотрица­ тельна:

fix, У)^0.

С в о й с т в о 2. Двойной несобственный интеграл с бесконечными пределами от двумерной плотности вероятности равен единице:

5J f{x,y)iixuy=^\.

ао — 0 0

Вчастности, если все возможные значения (X, Y) принадлежат конечной области D, то

^\f(x,y)ux6y=^\.

(D)

408, Задано распределение вероятностей дискретной двумерной случайной величины:

Y

 

X

 

3

10

12

 

4

0,17

0.13

0,25

5

0,10

0,30

0,05

Найти законы распределения

составляющих X и Y.

Р е ш е н и е . Сложив вероятности «по столбцам», получим веро­ ятности возможных значений X: р (3) =0,27, р (10) =0,43, р (12)=0,30.

Напишем закон распределения составляющей X:

X

3

10

 

12

р

0,27

0,43

 

0,30

К о н т р о л ь : 0,27+0,43+0,30 = 1.

аналогично найдем распре­

Сложив вероятности

«по строкам»,

деление составляющей Y:

К

4

 

5

 

 

 

р

0,55

0,45

139