_gmurman2[1]

ределяется этот закон; требуется найти его точечную оценку

Обозначим вероятность того, что в результате испытания вели­ чина X примет значение Xi через p(Xi\ 0).

при 0 = 0* отрицательна, то 0*—точка максимума.

Найденную точку максимума 0* принимают в качестве оценки наибольшего правдоподобия параметра 0.

Б. Непрерывные случайные величины. Пусть X—непрерывная случайная величина, которая в результате п испытаний приняла

то функция правдоподобия есть функция двух независимых аргумен­ тов 02 и 02:

L = f{Xi; 01, 02)-/(-^25 ^1» ^2)* • 'f {^п* ©It ®а)-

Далее находят логарифмическую функцию правдоподобия и для отыскания ее максимума составляют и решают систему

dlnL

489. Найти методом наибольшего правдоподобия то­ чечную оценку неизвестного параметра р (вероятность

170

появления события в одном испытании) биномиального распределения:

тле Х(—число появлений события в I-M опыте, т—коли­ чество испытаний в одном опыте, п—число опытов.

Приравняв первую производную нулю и решив полученное урав­ нение, получим критическую точку

р==(2дг/)/(пт). Найдем вторую производную по р:

вестной вероятности р биномиального распределения:

Р*=(.2л:/)/(пт).

Очевидно, что если Х{ появлений события наблюдалось в гц опытах, то

р»=(2п/д?/)/(лт).

490. Случайная величина X (число появлений собы­ тия А ъ т независимых испытаниях) подчинена бино­ миальному закону распределения с неизвестным пара­ метром р. Ниже приведено эмпирическое распределение числа появлений события А в 1000 испытаний (в пер­ вой строке указано число лг/ появлений события в одном опыте из т = 1 0 испытаний, во второй строке приведена частота П/—число опытов, в которых наблюдалось х^

171

появлений события А):

Найти методом наибольшего правдоподобия точечную оценку неизвестного параметра р биномиального распре­ деления.

У к а з а н и е . Использовать задачу 489.

491. Случайная величина X (число появлений собы­ тия А в/п независимых испытаниях) подчинена закону распределения Пуассона с неизвестным параметром К:

Р , ( Х = х,) = Я^^-е-^л:,!,

где т—число испытаний в одном опыте, х^—число по­ явлений события в t-M опыте ( / = 1 , 2, . . . , м).

Найти методом наибольшего правдоподобия по вы­ борке Xi, jCg, . .. , х„ точечную оценку неизвестного пара­ метра к распределения Пуассона.

492. Случайная величина X (число поврежденных стеклянных изделий в одном контейнере) распределена по закону Пуассона с неизвестным параметром Я. Ниже приведено эмпирическое распределение числа повреж­ денных изделий в 500 контейнерах (в первой строке

Найти методом наибольшего правдоподобия точечную оценку неизвестного параметра X распределения Пуас­ сона.

У к а з а н и е . Использовать задачу 491.

493. Найти методом наибольшего правдоподобия по выборке Xj^y ^2, . . . , х^ точечную оценку неизвестного параметра X показательного распределения, плотность которого / (х) == Хе- ^-^ (х ^ 0).

Р е ш е н и е . Составим функцию правдоподобия

L^f(xг;e)•f{x2^e)...f{Xn; в),

учитывая, что в = Х и, следовательно, f (х; 0)=/(дг; Х)=Ле""^^: L = (Xe-^^0(>^e-^^') ... (>^е-^^«) = Я«.е~^2^|-

172

Найдем логарифмическую функцию правдоподобиях In L = « In Я,—к ^ j Xf,

Найдем первую производную по X:

-—.=n/X-2jX,:

Запишем уравнение правдоподобия, для чего приравняем первую производную нулю: п/Х—^Xi = 0, Найдем критическую точку, для чего решим полученное Уравнение относительно к:

494. Случайная величина X (время безотказной работы элемента) имеет показательное распределение f {х) = Ке'^ (х^О), Ниже приведено эмпирическое распределение среднего времени работы 1000 элементов (в первой строке указано среднее время х^ безотказной работы одного элемента в часах; во второй строке указана частота п,.—количество элементов, проработавших в среднем Jt^ часов):

Х( 5 15 25 35 45 55 65 п,. 365 245 150 100 70 45 25

Найти методом наибольшего правдоподобия точечную оценку неизвестного параметра К показательного рас­ пределения.

У к а з а н и е . Использовать задачу 493.

495. Найти методом наибольшего правдоподобия по выборке Xi, ^2, . . . э х„ точечную оценку параметра р гаммараспределения (параметр а известен), плотность которого

496. Устройство состоит из элементов, время безот­ казной работы которых подчинено гамма-распределению. Испытания пяти элементов дали следующие наработки

173

(время работы элемента в часах до отказа): 50, 75, 125, 250, 300. Найти методом наибольшего правдоподобия точечную оценку одного неизвестного параметра Э гаммараспределения, если второй параметр этого распределе­ ния а= 1,12.

У к а з а н и е . Использовать задачу 495.

497. Найти методом наибольшего правдоподобия по выборке д^1, x^f ...» Хп точечную оценку параметра р геометрического распределения:

Р(Х = л:,) = (1-рГ/-"^.р,

где Xi—число испытаний, произведенных до появления события; р — вероятность появления события в одном испытании.

498. Найти методом наибольшего правдоподобия по выборке ^1, х,, . . . , х„ точечную оценку параметра а (параметр а известен) распределения Кэптейна, плот­ ность которого

аУ 2п

где g{x)—дифференцируемая функция.

499.Найти методом наибольшего правдоподобия по выборке JCj, дгд, . . . , Хп точечную оценку параметра о (параметр а известен) распределения Кэптейна (см. задачу 498).

500.Найти методом наибольшего правдоподобия по

§ 4. Интервальные оценки

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами—концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр.

Доверительным называют интервал, который с заданной надеж­ ностью у покрывает заданный параметр.

1. Интервальной оценкой (с надежностью у) математического ожидания а нормально распределенного количественного признака X

по выборочной средней х^ при и з в е с т н о м с р е д н е м квад-

174

где S—«исправленное» выборочное среднее квадратическое отклоне­ ние, t находят по таблице приложения 3 по задан]ным п и у.

2. Интервальной оценкой (с надежностью у) среднего квадратического отклонения а нормально распределенного количественного признака X по «исправленному» выборочному среднему квадратическому отклонению s служит доверительный интервал

О < о < 5(1+^) (при д > 1),

где q находят по таблице приложения 4 по заданным п и у.

3. Интервальной оценкой {с надежностью у) неизвестной вероятности р биномиального распределения по относительной частоте w

служит доверительный интервал (с приближенными концами pi и ра)

Pi < Р < Р2»

где

где п—общее число испытаний; т — число появлений события; w —

дания а нормально распределенного признака X гене­ ральной совокупности, если генеральное среднее квад­ ратическое отклонение а = 5, выборочная средняя х^= 14 и объем выборки п = 25.

Р е ш е н и е . Требуется найти доверительный интервал

У п у п

175

Все величины, кроме t, известны. Найдем / из соотношения ф(/)=0,95/2=0,475._ По таблице приложения 2 находим ^ = 1,96. Подставив / = 1,96, Зсв = 14, а = 5 , л=25 в (*), окончательно полу­ чим искомый доверительный интервал 12,04 < а < 15,96.

502. Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,99 неизвестного математического ожи­ дания а нормально распределенного признака X гене­ ральной совокупности, если известны генеральное сред­ нее квадратическое отклонение^ а, выборочная средняя Хв и объем выборки п: а) а = 4, х^= 10,2, п = 16; б) а = 5, л:з==16,8, п = 25.

503. Одним и тем же прибором со средним квадратическим отклонением случайных ошибок измерений 0 = 40 м произведено пять равноточных измерений рас­ стояния от орудия до цели. Найти доверительный интер­ вал для оценки истинного расстояния а до цели с на­ дежностью Y = 0,95, зная среднее арифметическое резуль­

татов измерений Хв = 2000 м, Предполагается, что результаты измерений распреде­

лены нормально.

504. Выборка из большой партии электроламп содер­ жит 100 ламп. Средняя продолжительность горения лампы выборки оказалась равной 1000 ч. Найти с надеж­ ностью 0,95 доверительный интервал для средней про­ должительности а горения лампы всей партии, если известно, что среднее квадратическое отклонение про­ должительности горения лампы а = 40 ч. Предполагается, что продолжительность горения ламп распределена нор­ мально.

505. Станок-автомат штампует, валики. По выборке объема /1= 100 вычислена выборочная средняя диаметров изготовленных валиков. Найти с надежностью 0,95 точ­ ность б, с которой выборочная средняя оценивает мате­ матическое ожидание диаметров изготовляемых валиков, зная, что их среднее квадратическое отклонение а = 2 мм. Предполагается, что диаметры валиков распределены нор­ мально.

506. Найти минимальный объем выборки, при кото­ ром с надежностью 0,975 точность оценки математиче­ ского ожидания а генеральной совокупности по выбороч­ ной средней равна б = 0,3, если известно среднее квад­ ратическое отклонение а = 1,2 нормально распределенной генеральной совокупности.

176

Р е ш е н и е . Воспользуемся формулой, определяющей точность оценки математического ожидания генеральной совокупности по

ром с надежностью 0,925 точность оценки математиче­ ского ожидания нормально распределенной генеральной совокупности по выборочной средней равна 0,2, если известно среднее квадратическое отклонение генеральной совокупности а =1,5.

508. Из генеральной совокупности извлечена выборка

Оценить с надежностью 0,95 математическое ожида­ ние а нормально распределенного признака генеральной

квадратическое отклонение найдем соответственно по формулам:

•у^Щ^

Подставив в эти формулы данные задачи, получим х^ = 2, s=2,4. Найдем / . Пользуясь таблицей приложения 3, по у =0,95 и

/2=10 находим / =2,26.

Найдем искомый доверительный интервал:

Хв — tySl Уп<а < 'x^ + t^sl Уп.

Подставляя х^ = 2, / =2,26, s = 2,4, л = 10, получим искомый дове­ рительный интервал 0,3 < а < с 7, покрывающий неизвестное мате­ матическое ожидание а с надежностью 0,95.

509, Из генеральной совокупности извлечена выборка объема п= 12:

Оценить с надежностью 0^95 математическое ожидание а нормально распределенного признака генеральной сово­ купности с помощью доверительного интервала.

177

510. По данным девяти независимых равноточных измерений некоторой физической величины найдены сред­ нее арифметическое результатов измерений л:в==30,1 и «исправленное» среднее квадратическое отклонение s = 6. Оценить истинное значение измеряемой величины с по­ мощью доверительного интервала с надежностью у = 0,99. Предполагается, что результаты измерений распределены нормально.

Р е ш е н и е . Истинное значение измеряемой величины равно ее математическому ожиданию а. Поэтому задача сводится к оценке математического ожидания (при неизвестном о) при помощи довери­ тельного интервала

511.По данным 16 независимых равноточных изме­ рений некоторой физической величинь^ найдены среднее арифметическое результатов измерений ;Св=42,8 и «исправ­ ленное» среднее квадратическое отклонение s==8. Оце­ нить истинное значение измеряемой величины с надеж­ ностью Y = 0,999.

512.По данным выборки объема п=16 из генераль­ ной совокупности найдено «исправленное» среднее квад­ ратическое отклонение s = l нормально распределенного количественного признака. Найти доверительный интер­ вал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение а с надежностью 0,95.

513. По данным выборки объема п из генеральной совокупности нормально распределенного количествен­ ного признака найдено «исправленное» среднее квадра­ тическое отклонение s. Найти доверительный интервал,

178

покрывающий генеральное среднее квадратическое откло­ нение о с надежностью 0,999, если: а) п=10, s = 5,l; б) /t = 50. s = 1 4 .

514. Произведено 12 измерений одним прибором (без систематической ошибки) некоторой физической вели­ чины, причем «исправленное» среднее квадратическое отклонение s случайных ошибок измерений оказалось равным 0,6. Найти точность прибора с надежностью 0,99. Предполагается, что результаты измерений распределены нормально.

Р е ш е н и е . Точность прибора характеризуется средним квадратическим отклонением случайных ошибок измерений. Поэтому

515.Произведено 10 измерений одним прибором (без систематической ошибки) некоторой физической вели­ чины, причем «исправленное» среднее квадратическое отклонение s случайных ошибок измерений оказалось равным 0,8. Найти точность прибора с надежностью 0,95. Предполагается, что результаты измерений распределены нормально.

516.Производятся независимые испытания с одина­

ковой, но неизвестной вероятностью р появления собы­ тия А в каждом испытании. Найти доверительный интер­ вал для оценки вероятности р с надежностью 0,95, если в 60 испытаниях событие А появилось 15 раз.

Р е ш е н и е . По условию, л = 6 0 , т = 15, у = 0,95. Найдем отно-.

Итак, искомый доверительный интервал 0,16 < р < 0,37.

179