_gmurman2[1]
.pdf290. Доказать, что математическое ожидание непре рывной случайной величины заключено между наимень* шим и наибольшим ее возможными значениями.
Р е ш е н и е . |
Пусть X—непрерывная случайная |
величина, за |
|||||||
данная плотностью распределения f (х) |
на отрезке [а» Ь]\ вне этого |
||||||||
отрезка/(дг) = 0. |
Тогда а<х<Ь, |
Учитывая, |
что /(дг)^О, |
получим |
|||||
af {х) < xf (х) < |
bf (лг). Проинтегрируем это |
двойное |
неравенство в |
||||||
пределах от а до Ь: |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
b |
|
b |
|
b |
|
|
|
|
a^f(x) |
djc< J xf(x) dx<b^f{x) |
dx. |
|
|
|||||
|
a |
|
a ' |
|
a |
|
|
|
|
Принимая BO внимание, что |
|
|
|
|
|
|
|||
|
b |
|
|
Ь |
|
|
|
|
|
|
J / (X) dx= 1. |
J xf {X) djr= M (X), |
|
|
|||||
|
a |
|
|
a |
|
|
|
|
|
окончательно получим а<М |
{X)^b. |
|
|
|
|
|
|||
291. Доказать, что если lim |
[JCF(X)J = |
0 И Urn [х{\ — |
|||||||
— F(x))]«0, TO |
00 |
|
0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Л1 (X) = |
J [ 1 — f (jc)] dx— J F (X) djc. |
|
|||||||
|
|
|
0 |
|
—ao |
|
|
|
|
У к а з а н и е . |
Имеем |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
OD |
xf{x)dx^ |
и |
|
00 |
|
|
|
М (X)= |
5 |
J */(x)dx4-Cx;(jr)d.r. |
|
||||||
|
|
— ее |
|
—00 |
|
0 |
|
|
|
Заменить f {x) |
в |
первом слагаемом |
на F* {х), |
а |
во втором—на |
||||
[\-Р(х)У. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
292. Случайная величина X |
в интервале |
{—с^с) за |
|||||||
дана плотностью распределения f{x)^\}{n\^c^ |
— А:*), вне |
||||||||
этого интервала f{x) = Q. Найти дисперсию X, |
|
||||||||
Р е ш е н и е . |
Будем искать дисперсию по формуле |
|
|||||||
|
|
|
ь |
|
|
|
|
|
|
|
|
D{X)^^[x-M{X)]V{x)dx. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
Подставляя М(Х)'=^0 |
(кривая |
распределения симметрична |
относи* |
||||||
теяьно прямой дг=0), а = —с, |
6 » с , f(x)^=^\l(n Ус^—х'), |
получим |
|||||||
|
|
|
- с |
|
о |
|
|
|
|
Сделав подстановку jc^csin/, окончательно имеем D(X)asc*/2.
100
293. Случайная величина X в интервале (—3, 3) за дана плотностью распределения / (л) = 1 /(л V^ —л^*); вне этого интервала /(А') = 0. а) Найти дисперсию X; б) что вероятнее: в результате испытания окажется X < 1 или
Х> 1?
294.Доказать, что дисперсию непрерывной случайной величины X можно вычислить по формуле
ос
D(X)= \ A-*/(x)d.v—[Л1(Х)]*.
У к а з а н и е . |
Воспользоваться формулой |
|
|
00 |
{х-М{Х)]»1{х)йх |
|
D(X)= 5 |
|
|
— О» |
|
OD |
|
0D |
И равенствами V |
xf (дс) dx = |
М (А'), \ / (jc) <1дс = 1. |
— 00 |
|
— во |
295. Случайная величина X в интервале (О, я) задана плотностью распределения /(,v) = (l/2)sinx'; вне этого интервала f{x) = b. Найти дисперсию X.
Р е ш е н и е . Найдем дисперсию по формуле
b
D(X)^^xV(x)dx-^\M{X)Y 1 *
а
Подставив сюда /И(Х)==л/2 (кривая распределения симметрична относительно прямой jc = л/2), а = О, 6 = л , / (дг)=!( 1/2) sin дг, получим
л
Дважды интегрируя по частям, найдем |
|
л |
|
\ x^s\t\x с1д:=:л*—4. |
(••) |
о |
|
Подставив (••) в (•), окончательно получим |
0(Л')=(л*—8)/4. |
296.Случайная величина X в интервале (О, 5) задана плотностью распределения Дх) = (2/25) дг; вне этого ин тервала /(jc) = 0. Найти дисперсию X.
297.Найти дисперсию случайной величины X, задан ной функцией распределения
0 |
при |
Л'2^ — 2, |
/г(х)==^ х/4+1/2 |
при |
— 2<jc<2, |
1 |
при |
лг > 2. |
101
Решение. Найдем плотность распределения:
1 |
0 |
при |
х < — 2 , |
1/4 при --2 < X < 2, |
|||
О |
при |
х>2. |
|
Найдем математическое ожидание |
|
||
2 |
|
2 |
|
Л1 (Х)= J xf (X) djc= |
^ X . -i djc = 0 |
||
- 2 |
|
- 2 |
|
(подынтегральная функция нечетная» пределы интегрирования сим метричны относительно начала координат).
Найдем искомую дисперсию, учитывая, что M(X)=0:
2 |
2 |
2 |
D (X) = J |
[х—М (Х)]« / (X) <1х=- J |
х« . i - d x « - | J х« djc« - i . |
*2 |
- 2 |
0 |
298< Случайная величина задана функцией распреде* ления
Г 1—xj/x» при х^х^{Хо>0),
\О при х< Хо-
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение X.
Указание. Найти сначала плотность распределения, испольвовать формулу
D(X)= 5 xV(x)dx-lM{X)]K
—ее
299.Случайная величина X в интервале (О, л) задана плотностью распределения f{x) — {l/2)sinx; вне этого интервала /(х) = 0. Найти дисперсию функции К = ф (Х)= =X*t не находя предварительно плотности распределе ния Y.
Решение. Используем формулу
D [Ф {X)] = J ф« (X) f {X) d x - [М [ф {Х)]1*.
а |
Л1[ф(Х)]= |
Подставив ф(х)==:ж«, /(jc) = (I/2)sinjr, а=0, ^=я, |
|
e«Af £Х*]«"(я*—4)/2 (см. задачу 282), получим |
|
п |
|
Интегрируя по частям, найдем |
|
я |
|
J х« sin JC dx=n«—12л* + 48. |
(••) |
о |
|
Подставив (••) в (•), окончательно имеем D(X*) = (n*—1бя*+80)/4*
102
300. Случайная величина X задана плотностью рас пределения /(x) = cosjc в интервале (О, я/2); вне этого интервала /(л:) = 0. Найти дисперсию функции К = ф(Х)== =Х^, не находя предварительно плотности распределе ния Y.
У к а з а н и е . Использовать формз'лу
D [Ф (X)] = J ф^ (х) f (X) 6х^ [М [ф (Х)]]^
а
И то, что Л1(Л:2) = (я2—8)/4 (см. задачу 283).
301. Случайная величина X задана плотностью рас пределения /(л:)«=л:"е*^/п! при х^О; f(x) = 0 при х < 0 . Найти: а) математическое ожидание; б) дисперсию X.
Решение, а) Найдем математическое ожидание:
ОО 00 ОО
М (X) = г ;с/ (X) d^=-;Fr J ^•^"^•"''^* ^ - ^ J |
л»+^е-* dx. |
|||
0 |
|
0 |
о |
|
Воспользуемся так называемой гамма-функцией, которая опре |
||||
деляется равенством |
|
|
|
|
|
|
00 |
|
|
|
Г(/1)=С х'^-Ч-^дх. |
|
(•) |
|
Как видим, аргумент |
(целое очисло п), стоящий под знаком гамма- |
|||
функции, на единицу больше показателя |
степени буквы х, стоящей |
|||
под знаком интеграла. Следовательно, |
|
|
||
|
00 |
|
|
|
|
^ ;tn+ie~^£f;c = r(/i4-2)- |
(••) |
||
|
о |
|
|
|
Подставив (*•) в (*), получим |
|
|
||
|
M(X)=^^^^'f^K |
(***) |
||
Воспользусхмся следующим свойством гамма-функции: |
||||
|
r(n) = (/i-I)f |
|
|
|
Как видим, гамма-функция |
от целого аргумента |
равна факториалу |
||
от аргумента, уменьшенного на единицу. СГледовательно, |
||||
|
Г (/г+2) = (/1 + 1)1 |
(*•••) |
||
Подставив (****) в (***), получим |
|
|
||
б) Найдем дисперсию. Учитывая, что |
|
|
||
|
|
00 |
|
|
М{Х)=п |
+ ], |
J;K"+«e-*d*=r(rt+3), |
||
|
|
о |
|
|
103
получим
« |
т |
D (X) «= f X*/ (X) dx—[M (Х)1«=Л- f Jt*Je"e-» djt— |
|
J |
/I! *> |
0 |
0 |
_(„^_l). = J _ Cx'4-*e-*dx-(rt + |
I ) * = i l i ± f ^ - ( / H - ! ) • = - |
=.i24^_(„^-,)«=.lMl±^il±2)_(„_|.,). =„+,.
Итак. D(X) = /i+l .
302. Случайная величина X при x'^0 задана плот ностью распределения (гамма-распределение)
/(v)-pa..ip^(^^l)-v"e"^/P ( а > - 1 , р>0);
/(х) = 0 при JC < 0. Найти: а), математическое ожидание; б) дисперсию X.
У к а з а н и е . Сделать подстановку y^x/f^ и использовать гамма*фуикцию.
303. Доказать, что для любой непрерывной случайной |
||||
величины центральный момент первого порядка равен |
||||
нулю. |
|
|
|
|
Р е ш е н и е . |
По определению |
центрального |
момента первого |
|
порядка, |
|
|
|
|
Q0 |
|
00 |
|
«О |
И = S [Jc-~Af(X)l/(Jc)djc= |
5 |
xf(x)dx^M{X) |
5 f(x)dx. |
|
— ж |
|
—00 |
—со |
|
Учитывая, что |
|
|
|
|
^ |
xf{x)dx^M(X) |
|
и ^ f(x)dx^l. |
|
получим
И1-М(Х)-..М(Х)=0, 304. Доказать, что обычный момент второго порядка
00
ц;= J {x-c)4{x)dx
имеет наименьшее значение, если с = М(Х).
104
Р е ш е н и е . Преобразуем ^i> так:
ооо»
+ (Af(X)~c)I«/W<iJf= J |
lx-AHX)Vfix)dx-b- |
— 10 |
|
+ 2lM(X)-c] 5 [*-Al(X)l/(*)d*4-[AI(X)-cJ« J /(jc)d*.
— OB |
— « |
Принимая BO внимание равенства
J [x-AI(X)l/(Af)dx-,H-0, J [*-Af(X)J«/(*)d*=l*t.
о
J/(x)d*=l,
—40
получим
Отсюда видно, что |Л2 имеет наименьшее значение при с^М (X), что и требовалось доказать.
Заметим, что из (*) следует, что fii=«)ii—[Л!(ДС)—cj*, т.е. центральный момент второго порядка меньше любого обычного мэмента второго порядка, если с Ф М (X),
305. Случайная величина X задана плотностью рас пределения /(;с) = 0,5х в интервале (О, 2); вне этого ин тервала f{x)^0. Найти начальные и центральные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядков.
Р е ш е н и е . По формуле
2
найдем начальные моменты:
2 |
2 |
Vi = J x.(0,6jt) Ax^-j \ |
v t = С X«.(0,5JC) djc=2; |
2 |
2 |
v , = f x5.(0,5jf)d;c = 3,2; |
V4= f JC*-(0,5JC) d;c = y . |
Найдем центральные моменты. Центральный момент первого порядка любой случайной величины ^^«О.
105
Воспользуемся формулами, выражающими центральные моменты через начальные:
M»=Va—vi; jis=V8—3viV,+2vi; |i4=V4—4viVa+6viVt—3vt,
Подставив в эти формулы ранее найденные начальные моменты, получим: |i2=2/9. |1з=:—8/135. |i4 = 16/135.
зов. Случайная величина X задана плотностью рас пределения f{x) — 2x в интервале (О, 1); вне этого интер вала f(x)=^0. Найти начальные и центральные моменты первого» второго, третьего и четвертого порядков.
§ 4. Равномерное распределение
Равномерным называют распределение нероятностей непрерывной случайной величины X. если на интервале (а, Ь), которому принад лежат все возможные значения X» плотность сохраняет постоянное вначенне» а именно /(х)»1/(6—а); вне этого интервала / ( х ) = 0 .
307.Плотность равномерного распределения сохраняет
винтервале (а, Ь) постоянное значение, равное С; вне этого интервала /(.v)=:0. Иайти значение постоянного параметра С.
308.Цена деления шкалы амперметра равна 0,1 А. Показания амперметра округляют до ближайшего целого деле ния. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка, превышающая 0,02 А.
Р е ш е н и е . |
Ошибку |
округлення |
отсчета можно рассматривать |
как случайную |
величину |
X, которая |
распределена равномерно с |
интервале между двумя соседними целыми делениями. Плотность
равномерного распределения f{x) = l/(b—а), |
где {Ь—а)—длина |
ин |
||||
тервала, в котором заключены возможные |
значения ^ X; |
вне |
этого |
|||
интервала / ( х ) = 0 . В рассматриваемой |
задаче |
длина |
интервала, |
|||
в котором заключены возможные значения X, равна 0,1, поэтому |
||||||
/(дс) = 1/0,1 =10. Легко сообразить, |
что |
ошибка |
отсчета |
превысит |
||
0,02, если она будет заключена в интервале |
(0,02, 0,08). |
|
|
|||
ь |
|
|
|
|
|
|
По формуле Р (а < X < Ь)^ { f (х) dx |
получим |
|
|
|||
а |
0,08 |
|
|
|
|
|
Р (0.02 <Х < 0,08)= |
|
|
|
|
|
|
J |
10djc = 0,6. |
|
|
|||
|
0.02 |
|
|
|
|
|
309. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка: а) меньшая 0,04; б) большая 0,05.
106
310.Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию. Интервал движения 5 мин. Найти вероят ность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус менее 3 мин.
311.Минутная стрелка электрических часов переме щается скачком в конце каждой минуты. Найти вероят ность того, что в данное мгновение часы покажут время, которое отличается от истинного не более чем на 20 с.
312.Закон равномерного распределения задан плот ностью вероятности f{x) = \l{b—а) в интервале (а, 6); вне этого интервала f{x) — 0. Найти функцию распределе ния F{x).
313.Найти математическое ожидание случайной вели чины X, равномерно распределенной в интервале (а, 6).
Решение. График плотности равномерного распределения сим метричен относительно прямой х=(а+^)/2, поэтому М (Х)=(а+6)/2.
Итак, математическое ожидание случайной величины, равномерно распределенной в интервале (а, Ь), равно полусумме концов этого интервала. Разумеется, этот же результат можно получить по фор муле
о
M(X)=:^xf(x)dx.
а
В частности, математическое ожидание случайной величины /?« распределенной равномерно в интервале (О, 1), равно
iW (/?):= (0+1)/2=1/2.
314.Найти математическое ожидание случайной вели чины Xf распределенной равномерно в интервале (2, 8).
315.Найти дисперсию и среднее квадратическое откло нение случайной величины X, распределенной равномерно
винтервале (а, Ь).
Решение . Используем формулу
ь |
x^f (X) 6х--[М (Х)]^. |
D(X)^l |
|
а |
Л1 (X) = (а + 6)/2 (см. задачу 313) и вы |
Подставив / (x) = l/(b —а), |
|
полнив элементарные выкладки, получим искомую дисперсию |
|
D(X) = (^—a)V12. |
|
Среднее квадратическое отклонение случайной величины X равно квадратному корню из ее дисперсии:
a(X) = (6-a)/(2V^'3).
В частности, дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной величины/?, распределенной равномерно в интервале (О, 1), соответственно равны: D(/?)=l/12, а (/?) = !/(2 У"5).
107
31в. Найти дисперсию и среднее квадратйческое откло нение случайной величины X, распределенной равномерно в интервале (2, 8).
317. Равномерно распределенная случайная величинах
задана плотностью распределения f(x)^ |
1/(2/) в интервале |
||||
(а—/, а + 1); вне этого |
интервала |
/(х) = 0. Найти |
мате |
||
матическое ожидание и дисперсию |
X. |
|
|
||
318. Диаметр круга х измерен |
приближенно, причем |
||||
а^х^Ь. |
Рассматривая |
диаметр |
как |
случайную |
вели |
чину X, |
распределенную |
равномерно |
в интервале |
(а, 6), |
|
найти математическое ожидание и дисперсию площади круга.
Р е ш е н и е . |
1. Найдем |
математическое ожидание площади |
|
круга—случайной |
величины У =ц>(К)=^лХ^/4—по |
формуле |
|
|
|
b |
|
Подставив ф(д:) = ях*/4,/(х) = |
а |
интегрирование, |
|
1/(6—а) и выполнив |
|||
получим |
|
|
|
М(лА'«/41=л (b^ + ab + a^)/12,
2.Найдем дисперсию площади круга по формуле
b
а
Подставив ф(дг)=:лдс^/4« f{x)^=]/{b—а) и выполнив интегрирование» получим
D [лЛ«/41 = (л«/720) (^—а)2 {4b^ + 7ab + 4a^).
319.Ребро куба х измерено приближенно» причем а^х^Ь. Рассматривая ребро куба как случайную вели чину Х^ распределенную равномерно в интервале (а, 6), найти математическое ожидание и дисперсию объема куба.
320.Случайные величины X и V независимы и рас пределены равномерно: X — в интервале (а, &), Y — в ин тервале (с* d). Найти математическое ожидание произве дения XV.
Ук а з а н и е . Воспользоваться решением задачи 313.
321. Случайные величины X н У независимы и рас пределены равномерно: X — в интервале (а, Ь), У — в ин тервале (с, d). Найти дисперсию произведения XY.
Ре ш е н и е . Воспользуемся формулой
0(ХУ)-=Л1 l(XK)«I-^lAf (XK)J« = Af(A«K2)-.lAf(XK)l*.
Математическое ожидание произведения независимых случайных
величин равно произведению их математических ожиданий, |
поэтому |
D(AK) = Af(A2)Af (К«) —(iW (Х)М(У)]*. |
(•) |
108
Найдем М(Х*) по формуле
b
^ [ f W I = JcpW/(jr)djir.
Подставляя ф(дг)=^х', f(x)^l/{b—а) |
и выполняя |
интегрирование, |
|
получим |
|
|
(*•) |
Af (Х«) = (Ь^ + аЬ + а«)/3. |
|||
Аналогично найдем |
|
|
|
Подставив М(Х)^(а |
+ Ь)/2, М (Y) = {c+d)/2, |
а также (••) и |
|
(•*•) в (*), окончательно |
получим |
|
|
D(XK)=:=(a« + a^4-^*)(^*+cd + d«)/9—[(a4-6)«(c+d)Viei-
§ 5. Нормдлыю^ распределение
Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, плотность которого имеет вид
/W=:-I=.e-<-«>VU<'«>,
ак2я
где а—математическое ожидание, о—среднее квадратическое откло нение X.
Вероятность того, что X примет значение, принадлежащее ин тервалу (а, Р).
Р ( « < х < р , = ф ( Р : ^ £ ) _ ф ( « ^ - ) .
X
где Ф(х)«==—=-1 е^'*^* 6х—функция Лапласа.
^^ о
Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше
положительного |
числа 6, |
|
|
Р(|Х — а| < б) = 2Ф(6/а). |
|
В частности, при а = 0 справедливо равенство |
||
|
Р{\Х\ <6) = 2Ф(б/а). |
|
Асимметрия, эксцесс, мода и медиана |
нормального распределен |
|
ния соответственно равны: |
|
|
А,^0, |
^^ = 0, Мо = а, М^^а, |
где а^М{Х). |
322. Математическое ожидание нормально распреде ленной случайной величины X равно а^З н среднее квад ратическое отклонен'ие а = 2. Написать плотность веро ятности X.
323. Написать плотность вероятности нормально рас пределенной случайной величины Х, зная, что М{Х) = 3^ D(X)=16.
109