_gmurman2[1]

У к а з а н и е . Перейти к условным вариантам м/ =jc/—2620.

455. По выборке объема /г = 41 найдена смещенная оценка D„ = 3 генеральной дисперсии. Найти несмещен­ ную оценку дисперсии генеральной совокупности.

456.По выборке объема л = 51 найдена смещенная оценка DB = 5 генеральной дисперсии. Найти несмещен­ ную оценку дисперсии генеральной совокупности.

457.В итоге пяти измерений длины стержня одним прибором (без систематических ошибок) получены сле­ дующие результаты (в мм): 92; 94; 103; 105; 106. Найти: а) выборочную среднюю длину стержня; б) выборочную

иисправленную дисперсии ошибок прибора.

Р е ш е н и е , а) Найдем выборочную среднюю:

+ [(105 —100)«-!- (J06—100)2]/5 = 34. Найдем исправленную дисперсию:

п—1 D B = ^ - 3 4 = 42,5.

458.В итоге четырех измерений некоторой физической величины одним прибором (без систематических ошибок) получены следующие результаты: 8; 9; 11; 12. Найти: а) выборочную среднюю результатов измерений; б) выбо­ рочную и исправленную дисперсии ошибок прибора.

Найти выборочную среднюю и выборочную дисперсию

160

460. Найти выборочную дисперсию по данному рас­ пределению выборки объема /г=10:

Р е ш е н и е . Варианты—сравнительно большие числа, поэтому перейдем к условным.вариантам Uf^^Xi—191 (мы вычли из вариант

Найдем искомую выборочную дисперсию:

—[(2. (—5) + 51+3 - 3)/10]2 = 8,2—0,16 = 8,04.

461.Найти выборочную дисперсию по данному рас­ пределению выборки объема л =100:

У к а з а н и е . Перейти к условным вариантам а/ =д:/—360.

462. Найти выборочную дисперсию по данному рас­ пределению выборки объема п=100:

У к а з а н и е . Перейти к условным вариантам Ui = Xi—2844.

463. Найти выборочную дисперсию по данному рас­ пределению выборки объема п = 1 0 :

перейдем к условным вариантам а,==100х/. В итоге получим рас­

Найдем выборочную дисперсию условных вариант:

Ов (и) = (S «,«?)/л-[(2 л,«,)/«]^

Подставив в эту формулу условные варианты и их частоты, получим

D B ( « ) = 7,21.

Найдем искомую выборочную дисперсию первоначальных вариант: DB(A:) = DB(W)/1002 =7,21/10 000 = 0.0007.

161

464. Найти выборочную дисперсию по данному рас­ пределению выборки объема /г = 50:

У к а з а н и е . Перейти к условным вариантам U{ = \Ox{.

465. Найти выборочную дисперсию по данному рас­ пределению выборки объема п = 50:

У к а з а н и е . Перейти к условным вариантам Ui^=\Oxi—195.

466. Найти исправленную выборочную дисперсию по данному распределению выборки /г = 10:

Найдем исправленную выборочную дисперсию условных вариант:

^" 1Г^\ •

Подставив в эту формулу условные варианты, их частоты и объем

выборки, получим 5^=6,93.' Все первоначальные варианты были уменьшены на одно и то же

посюянное число С =104, поэтому дисперсия не изменилась, т. е. искомая дисперсия равна дисперсии условных вариант: ^х'^^^ ==6,93.

У к а з а н и е . Перейти к условным вариантам Ui^=^Xi—1275.

4в8, Найти исправленную выборочную дисперсию по

162

Найдем исправленную выборочную дисперсию условных вариант

^== 7Г=Г1

Подставив в згу формулу данные задачи, получим s ^ ^ 10,844.

Найдем искомую исправленную дисперсию первоначальных вариант:

4=л^ /100*» 10,844/10 000 с^ 0,0085.

469.Найти исправленную выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема /1 — 20:

У к а з а н и е . Перейти к условным вариантам а/»Юдг/.

заданного распределения состоит в приравнивании теоретических моментов соответствующим эмпирическим моментам того же порядка.

Если распределение определяется о д н и м п а р а м е т р о м » то для его отыскания приравнивают один теоретический момент одному эмпирическому моменту того же порядка. Например, можно при­

Математическое ожидание является функцией от неизвестного параметра заданного распределения, поэтому, решив уравнение (*) относительно неизвестного параметра, тем самым получим его точеч­ ную оценку.

Если распределение определяется д в у м я п а р а м е т р а м и , то приравнивают два теоретических момента двум соответствующим эм­ пирическим моментам того же порядка. Например, можно прирав­ нять начальный теоретический момент первого порядка начальному эмпирическому моменту первого порядка и центральный теорети­ ческий момент второго порядка центральному эмпирическому моменту второго порядка:

163

\ D ( X ) = DB.

Левые части этих равенств являются функциями от неизвестных параметров, поэтому, решив систему (**) относительно неизвестных параметров, тем самым получим их точечные оценки.

Разумеется, для вычисления выборочной средней дсв и выбо­ рочной дисперсии DB надо располагать выборкой Xi, Хг, ...,л:„.

471. Случайная величина X распределена по закону Пуассона

где m—число испытаний, произведенных в одном опыте; Х/—число появлений события в t-м опыте.

Найти методом моментов по выборке х^, AT^, . . . • х„ точечную оценку неизвестного параметра Я, определяю­ щего распределение Пуассона.

Р е ш е н и е . Требуется оценить один параметр, поэтому доста­ точно иметь одно уравнение относительно этого параметра. Прирав­

Учитывая, что математическое ожидание распределения Пуассона равно параметру к этого распределения (см. задачу 207), оконча­ тельно имеем k=Xji.

Итак, точечной оценкой параметра X распределения Пуассона служит выборочная средняя: Х*=дгв.

472. Случайная величина X (число семян сорняков в пробе зерна) распределена по закону Пуассона. Ниже приведено распределение семян сорняков в п = 1000 про­ бах зерна (в первой строке указано количество х^ сор­ няков в одной пробе; во второй строке указана частота /I/—число проб, содержащих х^ семян сорняков):

Найти методом моментов точечную оценку неизвест­ ного параметра распределения Пуассона•

У к а з а н и е . Использовать решение задачи 471.

473. Случайная величина X (число нестандартных изделий в партии изделий) распределена по закону Пу-

164

ассона. Ниже приведено распределение нестандартных изделий в п = 200 партиях (в первой строке указано количество л:,- нестандартных изделий в одной партии; во второй строке указана частота м,- — число партий, содержащих Xi нестандартных изделий):

Найти методом моментов точечную оценку неизвест­ ного параметра X распределения Пуассона.

474. Найти методом моментов по выборке Xj, х^, . . . , Хп точечную оценку параметра р биномиального распре­ деления

тия А ъ т независимых испытаниях) подчинена биноми­ альному закону распределения с неизвестным парамет­

события А в одном опыте; во второй строке указана

Найти методом моментов точечную оценку параметра р биномиального распределения.

У к а з а н и е . Использовать решение задачи 474.

476. Найти методом моментов по выборке х^, Xg, . . . , Хп точечную оценку неизвестного параметра X показа­ тельного распределения, плотность которого f{x) = Xe-'^^ (х>0) .

477. Случайная величина X (время работы элемента) имеет показательное распределение f{x) = Xe-^ (х^О). Ниже приведено эмпирическое распределение среднего времени работы п=200 элементов (в первой строке при-

165

ведено среднее время х^ работы элемента в часах; во вто­ рой строке указана частота щ—количество элементов» проработавших в среднем Х/ часов):

Найти методом моментов точечную оценку неизвест­ ного параметра показательного распределения.

У к а з а н и е . Использовать решение задачи 476.

478. Найти методом моментов точечную оценку пара­ метра р (вероятности) геометрического распределения P(X = Xi) = {}—pY'''^-pf где X/—число испытаний, про­ изведенных до появления события; р—вероятность по­ явления события в одном испытании.

Указание . Принять во внимание, что М(X) = 1/р (см. за­ дачу 222).

479.Найти методом моментов оценку параметра р геометрического распределения Р{Х = х^) = {1—ру^'^-р^ если в четырех опытах событие появилось соответственно после двух, четырех, шести и восьми испытаний.

480.Найти методом моментов по выборке х^, х,, ...» Хп точечные оценки неизвестных параметров а и р гам­ ма-распределения, плотность которого

/(^) = ра^хг\а+1)^^^"^^ ( а > - 1 . Р > 0 , х>0) .

Решение. Для отыскания двух неизвестных параметров не­ обходимо иметь два уравнения; приравняем начальный теоретический момент первого порядка Vi начальному эмпирическому моменту пер­ вого порядка Ml и центральный теоретический момент второго по­ рядка fis центральному эмпирическому моменту второго порядка т^;

Учитывая, что Vi = Ai(X), Мг^х^^ ^ia=Z>(X), m^^D^, имеем ГЛ1(Х)=7,. *.

Математическое ожидание и дисперсия гамма-распределения со­ ответственно равны Л1 (Х) = (а+1)Р» D(X)=(aH-l)p* (см. зада­ чу 302), поэтому (^) можно записать в виде

/(а+1)р=7„

Ua+1)P*=I>B.

Решив эту систему, окончателыю^ получим искомые JFOчeчныe оценки ненэтестяых параметров: а*=(х^)^/0,^—1, ^*=0^/х^'

16в

481. Случайная величина X (уровень воды в реке по сравнению с номиналом) подчинена гамма-распределению,

Найти методом моментов точечные оценки неизвестных параметров а и р рассматриваемого гамма-распределения.

Подставив эти числа в формулы (*), окончательно получим искомые точечные оценки неизвестных параметров рассматриваемого гамма-распределения: а* =3,06, р* =40,86.

482. Устройство состоит из элементов, время безот­ казной работы которых подчинено гамма-распределению. Испытания пяти элементов дали следующие наработки (время работы элемента в часах до отказа): 50, 75, 125, 250, 300. Найти методом моментов точечные оценки неизвест­ ных параметров а и р , которыми определяется гаммараспределение.

У к а з а н и е . Использовать решение задачи 480. Учесть, что объем выборки п = 5 мал, поэтому в формулах для вычисления па­ раметров а и р вместо выборочной дисперсии подставить исправлен­ ную дисперсию s^ = 'Lni(Xi—х^)^/(п — 1).

167

484. Случайная величина X (отклонение контролируе­ мого размера изделия от номинала; подчинена нормаль­ ному закону распределения с неизвестными параметрами а и о. Ниже приведено эмпирическое распределение от­ клонения от номинала п = 200 изделий (в первой строке указано отклонение х^- (мм); во второй строке приведена частота п,- — количество изделий, имеющих отклонение Xf):

Найти методом моментов точечные оценки неизвестных параметров а и о нормального распределения.

У к а з а н и е . Использовать решения задач 313, 315.

486. Случайная величина X (ошибка измерения даль­ ности радиодальномером) подчинена равномерному за­ кону распределения с неизвестными параметрами а и Ь. Ниже приведено эмпирическое распределение средней ошибки л = 200 измерений дальности (в первой строке указана средняя ошибка л:,-; во второй строке указана частота п^—количество измерений, имеющих среднюю ошибку АГ/):

л:,. 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 п^ 21 16 15 26 22 14 21 22 18 25

Найти методом моментов точечные оценки неизвестных параметров а и Ь равномерного распределения.

У к а з а н и е . Использовать задачу 485.

487. Найти методом моментов по выборке х^, х^, . . . , л:„ точечные оценки неизвестных параметров Х^ и Яд «двойного распределения» Пуассона

где х^ — число появлений события в п^ испытаниях Х^ и Яа—положительные числа, причем X2>^i.

Р е ш е н и е . Если случайная величина Z распределена по закону Пуассона с параметром X, то ее начальные теоретические моменты

168

первого и второго порядка соответственно равны (см. задачи 207, 227):

Vi = Af(Z)==^,

Найдем начальные теоретические моменты первого и второго порядка рассматриваемой случайной величины X, учитывая соотно­ шения (*):

Vi = M (X) = A,,/2 + X2/2=(Xi + X2)/2,

V2=Af(X2) = (l/2)(^i + A?)+(l/2)(X2 + ^l)=Vi+(>.?+Xi)/2.

Отсюда

/Xi + X2 = 2vb

\Xf + X| = 2v2 —2vi.

Решив эту систему относительно неизвестных параметров, приняв во внимание, что Лг > Ki, получим:

^i = vi —Kv2-—Vi —V?, X2 = Vi+K Va —Vi —V?.

488. Случайная величина X распределена по «двой­ ному» закону Пуассона:

§ 3. Метод наибольшего правдоподобия

Метод наибольшего правдоподобия точечной оценки неизвестных параметров заданного распределения сводится к отысканию макси­ мума функции одного или нескольких оцениваемых параметров.

А. Дискретные случайные величины. Пусть X—дискретная слу­ чайная величина, которая в результате «опытов приняла возмож­ ные значения Xi, х^, . . . , л:„. Допустим, что вид закона распреде­ ления величины X задан, но неизвестен параметр в , которым оп-

169