_gmurman2[1]

Напишем закон распределения величины Х^: X* 1 9

р0,4 0,6'

Найдем начальный момент второго порядка:

Va = A^(Xa)=b0.4 + 9.0,6 = 5.8. Напишем закон распределения величины Х^:

Х» 1 27

р0,4 0.6

Найдем начальный момент третьего порядка:

Р е ш е н и е . Центральный момент первого порядка равен нулю:

Для вычисления центральных моментов удобно воспользоваться формулами, выражающими центральные моменты через начальные, поэтому предварительно найдем начальные моменты:

Найдем центральные моменты:

^, = V i ~ v ! = 10,9^3,1» = 1,29;

|ji, = V8—3viv,+2v; = 40,9—3.3,1.10,9+2.3,1» = -Ю,888;

f l 4 = V4 — 4V8Vi + 6V2Vi—3Vi =

«158,5-.4.40,9.3,1+6.10,9.3,1«--3.3,1*=2,7777.

80

Найти центральные моменты первого, второго, третьего

ичетвертого порядков.

Ук а з а н и е . Найти предварительно начальные моменты и выра­ зить через них центральные моменты.

Р е ш е н и е . Для простоты записи введем обозначение М {Х)^т, Прибавим и вычтем т под знаком математического ожидания:

^2 = M [X—С]« = М [(X—m) + (m—С)]2== « М [(X—m)2+2(m —С)(Х—m) + (m —С)2].

Математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых, поэтому

ji;=:Af [X —m]2 + M [2(/7i—С)(Х —m)l + M [m—CJ».

Вынося постоянную величину 2(m—С) за знак математического ожи* Дания и учитывая, что математическое ожидание постоянной (т—С)* равно самой постоянной и что по определению Л1 [X—mj*=|i2, получим

|г;=гц,+2(т—C).M [X - . m]+(m - C)a .

Принимая во внимание, что математическое ожидание отклонения X—m равно нулю, имеем

М^а = Ц2 + {/п—С)2.

Отсюда

Из этого равенства заключаем, что центральный момент второго порядка меньше обычного момента второго порядка при любом Сфт,

233. Доказать, что центральный момент третьего по­ рядка связан с начальными моментами равенством

^A8==Vз—3viv, + 2v;.

Р е ш е н и е . По определению центрального момента,

81

234. Доказать, что центральный момент четвертого порядка связан с начальными моментами равенством

fii = v^—4V3Vi + evjvj,—3vJ.

235. Пусть X = Xi + X^, где X^ и X,—независимые случайные величины, имеющие центральные моменты третьего порядка, соответственно равные jij и ц|. Дока­ зать, что Ц8 = И^8 + И8, где fig—центральный момент треть­ его порядка величины X.

Р е ш е н и е . Введем для простоты записи следующие обозначе­ ния математических ожиданий: Al(Xi)s=ai, МСХз)^^!. Тогда

М (X) = M(Xi + Ха) = М (Хг) + М (Х,) = ai + а,. По определению центральный момент третьего порядка,

Используя свойства математического ожидания (математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых, математическое ожидание произведения независимых величин равно произведению математических ожиданий сомножителей), получим

Глава пятая

ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ

§ 1. Неравенство Чебышева

Неравенство Чебышева. Вероятность того, что отклонение случайной величины X от ее математического ожидания по абсолютHQU величине меньше положительного числа в, не меньше чем 1—D(X)/e^:

Р (IX—Л1 (X) I < е) ^ 1 -^D (Х)/е«.

23в. Иcпoльзy^я неравенство Чебышева, оценить веро­ ятность того, что случайная величина X отклонится от своего математического ожидания менее чем на три сред­ них квадратических отклонения.

82

237. Доказать неравенство Чебышева в форме Р (I Х—М(Х) I > е) < D (X)/8^

У к а з а н и е . Воспользоваться тем, что события \Х — М {X) \ < 8

иI X — М (X) I ^ е—противоположные.

238.Используя неравенство Чебышева в форме, при­ веденной в задаче 237, оценить вероятность того, что случайная величина X отклонится от своего математи­ ческого ожидания не меньше чем на два средних квадратических отклонения.

239.Используя неравенство Чебышева, оценить веро­

оценить вероятность того, что абсолютная величина раз­ ности между числом отказавших элементов и средним числом (математическим ожиданием) отказов за время Т окажется: а) меньше двух; б) не меньше двух.

Р е ш е н и е , а) Обозначим через X дискретную случайную вели­ чину— число отказавших элементов за время Т, Тогда

М(Х) = пр = 10.0,05 = 0,5;

D(X) = np(7= 10 «0,05 0,95 =0.475. Воспользуемся неравенством Чебышева:

Р ( | Х —M(X)| < е)^1—D(X)/ea. Подставив сюда Af(X)==0,5; D(X) =0,475, 8 = 2 , получим

Р (I X—0,51 < 2):^ 1 —0,475/4=0,88.

242.В осветительную сеть параллельно включено 20 ламп. Вероятность того, что за время Т лампа будет включена, равна 0,8. Пользуясь неравенством Чебышева, оценить вероятность того, что абсолютная величина раз­ ности между числом включенных ламп и средним числом (математическим ожиданием) включенных ламп за время Т окажется: а) меньше трех; б) не меньше трех.

243.Вероятность появления события А в каждом испытании равна 1/2. Используя неравенство Чебышева,

83

оценить вероятность того, что число X появлений собы­ тия А заключено в пределах от 40 до 60, если будет произведено 100 независимых испытаний.

Решение. Найдем математическое ожидание и дисперсию дис­ кретной случайной величины X—числа появлений события А в 100 независимых испытаниях:

Af(X)=rnp = 100.1/2=r50; D(X)==np(7 = 100.1/2.1/2«26.

Найдем максимальную разность между заданным числом появле* НИИ события и математическим ожиданием Л1(Х)ав50:

е«60—50 = 10.

,Воспользуемся неравенством Чебышева в форме

Р(I Х—М (X) I < е ) ^ 1 -.D(X)/e«. Подставляя Л4(ЛГ)=50, D(X)=25, 6 = 10» получим

Р(|Х—50| < 10)^1—25/10» =0,75.

244.Вероятность появления события в каждом испы­ тании равна 1/4. Используя неравенство Чебышева, оце­ нить вероятность того, что число X появлений события заключено в пределах от 150 до 250, если будет произ­ ведено 800 испытаний.

245.Дискретная случайная величина X задана зако­ ном распределения X 0,3 0,6

р0,2 0,8

Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что |Х —Л/(Х)|<0,2.

Решение. Найдем математическое ожидание и дисперсию ве­ личины X:

Л1(Х)=0,30,2 + 0,6 0,8=0,54; D(X)=:A1(X2) —[УИ(Х)1««

«(0.3« 0,2 + 0,6» 0,8)—0,54» =0,0144. Воспользуемся неравенством Чебышева в форме Р (I X —Л! (X) I < е) ^ 1 —D (Х)/е«.

Подставляя Л1(Х)=0,54, D(X) =0,0144, е=0,2, окончательно получим

Р(I Х—ОМI < 0,2) :^ 1 —0,0144/0,04 =0,64.

246.Дискретная случайная величина X задана зако­ ном распределения

X 0,1 0,4 0,6

р0,2 0,3 0,5

Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что |Х —Л1(Ху|<1/0,4.

84

§ 2. Теорема Чебышева

Теорема Чебышева. Если последовательность попарно независимых случайных величин Xi, Х^, •.., Х„, . . . имеет конечные математические ожидания и дисперсии этих величин равномерно ограничены {не превышают постоянного числа С), то среднее арифметическое случайных величин сходится по вероятности к среднему арифметияескому их математических ожиданий, т. е, если е — люёое положи­ тельное число, то

В частности, среднее арифметическое последовательности попарно независимых величин, дисперсии которых равномерно ограничены и которые имеют одно и то же математическое ожидание а, сходится по вероятности к математическому ожиданию а, т. е. еслие—любое положительное число, то

limPIЛ 1 £ х , - а < е ) = 1.

247. Последовательность независимых случайных ве­

Применима ли к заданной последовательности теорема Чебышева?

величины были попарно независимы, имели конечные математиче­ ские ожидания и равномерно ограниченные дисперсии.

Поскольку случайные величины независимы, то они подавно попарно независимы, т. е. первое требование теоремы Чебышева выполняется.

Проверим, выполняется ли требование конечности математиче­ ских ожиданий:

M ( ^ J = : —ла(1/2п2)+0(1 —1/л«) + ла(1/2л«) = 0.

Таким образом, каждая случайная величина имеет конечное (равное нулю) математическое ожидание, т. е. второе требование теоремы выполняется.

Проверим, выполняется ли требование равномерной ограниченности дисперсий. Напишем закон распределения Х%:

xi О

1/(2п«) 1—1/п« 1/(2/»«)

или, сложив вероятности одинаковых возможных значений.

85

Временно предположим, что п изменяется непрерывно (чтобы подчеркнуть это допущение, обозначим п через дс), и исследуем на экстремум функцию (р (х) — х^/2^''^.

Приравняв первую производную этой функции нулю, найдем критические точки ДГ1 = 0 и ^а = 2/1п2.

Таким образом, наибольшая возможная дисперсия равна (9/4) а^, т. е. дисперсии случайных величин Х^ равномерно ограничены числом (9/4) а^.

Итак, все требования теоремы Чебышева выполняются, следо­ вательно, к рассматриваемой последовательности эта теорема при­ менима.

251. Последовательность независимых случайных вели­ чин Xi, Ха, . . . , Х „ , .-. задана законом распределения

х„ -Уз О КЗ

р1/3 1/3 1/3

Применима ли к заданной последовательности теорема Чебышева?

З а м е ч а н и е . Поскольку случайные величины X одинаково распределены и независимы, то читатель, знакомый с теоремой Хинчина, может ограничиться вычислением лишь математического ожи­ дания и убедиться, что оно конечно.

Глава шестая

ФУНКЦИИ и плотности РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

§ 1. Функция распределения вероятностей случайной величины

Функцией распределения называют функцию F{x), определяющую для каждого значения х вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее х, т. е.

F(x)^P(X<x).

Часто вместо термина «функция распределения» используют термин «интегральная функция распределения».

Функция распределения обладает следующими свойствами:

87

величина X примет одно определенное значение, например х^, равна нулю:

Я(X = хг) = 0.

Св о й с т в о 3. Если все возможные значения случайной вели­ чины X принадлежат интервалу {а, Ь), то

F(jc)=0 при х<а\ F{x)^\ при х:^Ь.

С л е д с т в и е . Справедливы следующие предельные соотношения: lim F ( x ) = 0 , lim F(х) = \.

С в о й с т в о 4. функция распределения непрерывна слева:

lim F(X)=^F(XQ).

252. Случайная величина X задана функцией распре­ деления

Найти вероятность того, что в результате испытания величина X примет значение, заключенное в интервале (О, 1/3).

Р е ш е н и е . Вероятность того, что X примет значение, заклю­ ченное в интервале (а, Ь), равна приращению функции распределения на этом интервале: Р (а < X < b)=^F (Ь)—F(а). Положив а==0, 6=1/3, получим

Рф<Х< l/3) = F(l/3)—F(0) =

=[(3/4)^ + 3/41^^,/з-КЗ/4)^ + 3/4];,^о=1/4.

253.Случайная величина X задана на всей оси Ох

функцией распределения F (;с) = 1/2 + (arctg х)/я. Найти вероятность того, что в результате испытания величина X примет значение, заключенное в интервале (О, 1).

254. Случайная величина X задана функцией распре­ деления

Найти вероятность того, что в результате испытания ве­ личина X примет значение, заключенное в интервале

( - 1 , 1).

255. Функция распределения непрерывной случайной величины X (времени безотказной работы некоторого

Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение: а) меньшее 0,2; б) меньшее трех; в) не меньшее трех; г) не меньшее пяти.

всилу которого при X > 4 функция F {х) = 1, получим Р (Х^5) =

=1 —Р (X < 5) = 1 — /" (5) = 1 — 1 = 0.

257.Случайная величина X задана функцией распре­

деления

Найти вероятность того, что в результате четырех неза­ висимых испытаний величина X ровно три раза примет значение, принадлежащее интервалу (0,25, 0,75).

Найти возможное значение х^, удовлетворяющее условию:

89