_gmurman2[1]

517. Производятся независимые испытания с одина­ ковой, но неизвестной вероятностью р появления собы­ тия Л в каждом испытании. Найти доверительный интер­ вал для оценки вероятности р с надежностью 0,99, если

в100 испытаниях событие А появилось 60 раз.

518.Изготовлен экспериментальный игровой автомат, который должен обеспечить появление выигрыша в одном случае из 100 бросаний монеты в автомат. Для про­ верки пригодности автомата произведено 400 испытаний, причем выигрыш появился 5 раз. Найти доверительный интервал, покрывающий неизвестную вероятность появ­

519.Произведено 300 испытаний, в каждом из кото­ рых неизвестная вероятность р появления события А постоянна. Событие А появилось в 250 испытаниях. Найти доверительный интервал, покрывающий неизвест­ ную вероятность р с надежностью 0,95.

520.В 360 испытаниях, Б каждом из которых вероят­ ность появления события одинакова и неизвестна, собы­ тие А появилось 270 раз. Найти доверительный интер­ вал, покрывающий неизвестную вероятность р с надеж­ ностью 0,95.

521.Среди 250 деталей, изготовленных станком-авто­ матом, оказалось 32 нестандартных. Найти доверитель­ ный интервал, покрывающий с надежностью 0,99 неиз­ вестную вероятность р изготовления станком нестандарт­ ной детали.

522.При испытаниях 1000 элементов зарегистриро­ вано 100 отказов. Найти доверительный интервал, покры­

вающий неизвестную вероятность р отказа элемента с надежностью: а) 0,95; б) 0,99.

180

Глава одиннадцатая

МЕТОДЫ РАСЧЕТА СВОДНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ВЫБОРКИ

§ 1. Метод произведений вычисления выборочных средней и дисперсии

А. Равноотстоящие варианты. Пусть выборка задана в виде рас« пределения равноотстоящих вариант и соответствующих им частот, В этом случае удобно находить выборочные среднюю и дисперсию методом произведений по формулам

где h — шаг (разность между двумя соседними вариантами); С—лож­ ный нуль (варианта, которая расположена примерно в середине вариационного ряда); Ui = (Xi—C)/h — условная варианта; Л!J = = ( 2 niUi)/n — условный момент первого порядка; Мг = ( 2 Л|"?)/л —

условный момент второго порядка.

Как практически использовать метод произведений, указано

взадаче 523.

523.Найти методом произведений выборочную сред­ нюю и выборочную дисперсию по заданному распреде­ лению выборки объема п=100:

Р е ш е н и е . СоставИхМ расчетную табл. 1; для этого:

1)запишем варианты в первый столбец;

2)запишем частоты во второй столбец; сумму частот (100) по­ местим в нижнюю клетку столбца;

3)в качестве ложного нуля С выберем варианту (16), которая имеет наибольшую частоту (в качестве С можно взять любую вари­ анту, расположенную примерно в середине столбца); в клетке треть­

в четвертый столбец; отдельно находим сумму (—25) отрицательных чисел и отдельно сумму (48) положительных чисел; сложив эти числа, их сумму (23) помещаем в нижнюю клетку четвертого столбца;

5) произведения частот на квадраты условных вариант, т. е. /i/tt?» запишем в пятый столбец (удобнее перемножить числа каждой стро­ ки третьего и четвертого столбцов: w/•«/«/=/г/w]); сумму чисел столбца (127) помещаем в нижнюю клетку пятого столбца;

6) произведения частот на квадраты условных вариант, увели­ ченных на единицу, т. е. n/(w/+l)^, запишем в шестой контроль­ ный столбец; сумму чисел столбца (273) помещаем в нижнюю клетку шестого столбца.

В итоге получим расчетную табл. I.

J81

Для контроля вычислений пользуются тождеством

Вычислим условные моменты первого и второго порядков:

182

Б. Неравноотстоящие варианты. Если первоначальные варианты не являются равноотстоящими, то интервал, в котором заключены все варианты выборки, делят на несколько равных, длины /z, час­ тичных интервалов (каждый частичный интервал должен содержать не менее 8—10 вариант). Затем находят середины частичных интер­ валов, которые и образуют последовательность равноотстоящих ва­ риант. В качестве частоты каждой середины интерпала принимают сумму частот вариант, которые попали в соответствующий частич­ ный интервал.

При вычислении выборочной дисперсии для уменьшения ошибки, вызванной группировкой (особенно при малом числе интервалов), делают поправку Шеппарда, а именно вычитают из вычисленной дисперсии 1/12 квадрата длины частичного интервала.

Таким образом, с учетом поправки Шеппарда дисперсию вычис­ ляют по формуле

D ; = D B ~ ( 1 / 1 2 ) / I 2 .

525. Найти методом произведений выборочную сред­ нюю и выборочную дисперсию по заданному распреде­ лению выборки объема п = 100:

частичных интервала длины Л = 6:2—8; 8—14; 14—20; 20—26. Приняв середины частичных интервалов в качестве новых вариант I//, получим равноотстоящие варианты: yi = 5, £/2=11, уз-= 17, у^ = 23.

В качестве частоты rii варианты yi==5 примем сумму частот вариант, попавших в первый интервал: /ii = 3 + 5 + 1 0 = 18.

Вычислив аналогично частоты остальных вариант, получим рас­ пределение равноотстоящих вариант:

Принимая во внимание, что число частичных интервалов (4) мало, учтем поправку Шеппарда:

D ; = DB —(1/12)/i2 = 45,14—62/12 = 42,14.

526. При вычислении дисперсии распределения не­ равноотстоящих вариант выборка была разбита на пять интервалов длины /i==12. Выборочная дисперсия равно­ отстоящих вариант (середин частичных интервалов) DB = 52,4 . Найти выборочную дисперсию, учитывая по­ правку Шеппарда.

527. а) Найти методом произведений выборочную среднюю и выборочную дисперсию по заданному распре­ делению неравноотстоящих вариант выборки объема п=50:

183

б) найти выборочную дисперсию с учетом поправки Шеппарда.

У к а з а н и е . Разбить интервал 6—26 на пять частичных интер­ валов длины /1 = 4.

628. а) Найти методом произведений выборочную среднюю и выборочную дисперсию по заданному распре­ делению неравноотстоящих вариант выборки объема

б) найти выборочную дисперсию с учетом поправки Шеппарда.

У к а з а н и е . Разбить интервал 10—35 на пять частичных ин­ тервалов длины Л = 5. Частоту варианты х = 1 5 , т. е. частоту 6, рас­ пределить поровну между первым и вторым частичными интервалами (так как варианта 15 попала на границу интервала).

§ 2. Метод сумм вычисления выборочных средней и дисперсии

Пусть выборка задана в виде распределения равностоящих ва­ риант и соответствующих им частот. В этом случае, как было ука­ зано в § 1, выборочные среднюю и дисперсию можно вычислить по формулам: ^

При использовании метода сумм условные моменты первого и вто­ рого порядков находят по формулам:

Р е ш е н и е . Составим расчетную табл. 2, для этого:

1)запишем варианты в первый столбец;

2)запишем частоты во второй столбец; сумму частот (100) по­ местим в нижнюю клетку столбца;

3)в качестве ложного нуля С выберем варианту (63), которая имеет наибольшую частоту (в качестве С можно взять любую ва­ рианту, расположенную примерно в середине столбца); в клетках строки, содержащей ложный нуль, запишем нули; в четвертом

184

185

Найдем условные моменты первого и второго порядков: Ml = di/n = 3/100 = 0,03;

iWj = (si-i-2s2)/n = (147 + 2 129)/100 = 4,05.

Вычислим искомые выборочную среднюю и выборочную диспер­ сию, учитывая, что шаг (разность между двумя соседними вариан­ тами) /1 = 4 и ложный нуль С = 68:

^в = Л^Гл + ^ = 0.03.4 + 68 = 68,12;

DB = r>W2~(>Wir]/i^ = [4,05—0,032] .42 £v, 64,78.

530. Найти методом сумм выборочную среднюю и вы­ борочную дисперсию по заданному распределению вы­ борки объема п=100:

б)

варианта х^ 122 128 134 140 146 152 158 164 170 176 частота п,. 7 8 12 16 4 20 13 10 7 3

в)

варианта х^ 12 14 16 18 20 22 частота П/ 5 15 50 16 10 4

г)

варианта X; 10,2 10,4 10,6 10,8 11,0 11,2 11,4 11,6 11,8 12,0 частота п^ 2 3 8 13 25 20 12 10 6 1

§ 3. Асимметрия и эксцесс эмпирического распределения

Асимметрия и эксцесс эмпирического распределения определя­ ются соответственно равенствами

as = fn2/OBf ek = nijGB—3;

здесь Ов—выборочное среднее квадратическое отклонение; nis и т^ — центральные эмпирические моменты третьего и четвертого порядков:

Эти моменты в случае равноотстоящих вариант с шагом h (шаг равен разности между любыми двумя соседними вариантами) удоб­ но вычислять по формулам:

тз=[Л1;—ЗЛlJЛf2+2(ЛflTJл^

т^=:1м1--4М\м1 + б{м1Ум1—3{м1)^]Н^,

где M J = ( 2 niUi)/n—условные моменты Aj-ro порядка Ui=(xi—C)/h — условные варианты. Здесь Xi—первоначальные варианты; С—лож­ ный нуль, т. е. варианта, имеющая наибольшую частоту (либо лю­ бая варианта, расположенная примерно в середине вариационного ряда).

186

Итак, для отыскания асимметрии и эксцесса необходимо вычис­ лить условные моменты, что можно сделать методом произведеянй или методом сумм.

А. Метод произведений

531* Найти методом произведений асимметрию и экс­ цесс по заданному распределению выборки объема п == 100:

К о н т р о л ь :

Sni(«/+l)*=2145.

=595 + 4.149+6127+4-23+100=2145.

187

лучим /Пз = 5,104, m4 = 79,582.

Найдем искомые асимметрию и эксцесс, учитывая, что D^==4,87 (см. задачу 523):

as= т з / а | =5,124/( /4,87)3 =0,47;

вд, = т4/аЬ—3 = 79,582/( Т/"'4;87)*—3 = 0,36.

532. Найти методом произведений асимметрию и экс­ цесс по заданному распределению выборки объема п== 100:

Б.Метод сумм

533.Найти методом сумм асимметрию и эксцесс по заданному распределению выборки объема п=100:

188

ми, получим число 64 = 2 + 1 2 = 1 4 , которое запишем в верхнюю клетку шестого столбца. Сложив числа, расположенные под нулями (в нашей задаче есть лишь одно слагаемое), получим число 04 = 5, которое поместим в нижнюю клетку шестого столбца.

Витоге получим расчетную табл. 4.

Ко н т р о л ь : сумма чисел, расположенных непосредственно над нулем тр^ьего столбца, слева от него и под ним, должна быть равна объему выоърки (32+30 + 38=100); сумма двух чисел, расположен­ ных над двумя ступеньками ступенчатой линии (обведены жирными отрезками), должна быть равна соответственно числам 6/, стоящим

пеньками лесенки», ведущей вниз: 38+37 = 75 = ai; 37+22 = 59 = 02;

189