_gmurman2[1]

рическое распределение (в первой строке указано коли­ чество Xi нестандартных изделий в одной партии; во второй строке—частота п,-, т. е. количество партий, содержащих Х/ нестандартных изделий);

Требуется при уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о том, что число нестандартных изделий X распределено по закону Пуассона.

Р е ш е н и е . 1. Найдем выборочную среднюю: ^^в==(2^/^/)/л = (1160+56 1+22.2+4.3+2.4)/200=0,6.

2. Примем в качестве оценки параметра Я. распределения Пуас­ сона выборочную среднюю: Х = 0,6. Следовательно, предполагаемый закон Пуассона

P„(0 = A.'e-Vi!

имеет вид

^2oo(0 = (0.6)'e-o,e/n.

Po = /'2uo(О) = 0,5488; Pi = P«oo(l) =0,3293; Ра = Р2оо(2)=0,0988; Рз = Р2оо(3)==0,0198; Р4 = Р2оо(4) = 0,0030,

4. Найдем теоретические частоты по формуле

л;=л.Р,=200Р/.

Подставив в эту формулу найденные в п. 3 значения вероят­ ностей Р/, получим ni = 200 0,5488 = 109,76.

Аналогично найдем: л^ =65,86; л^= 19,76; /1з=3,96; /1^ = 0,60. 5. Сравним эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона. Для этого составим расчетную табл. 42. Учиты­ вая замечание 1 (см. § 16), объединим малочисленные частоты ( 4 + 2 = 6 ) и соответствующие им теоретические частоты (3,96 - г0^ =

280

Из расчетной таблицы находим наблюдаемое значение критерия Пирсона: Х?,абл=2,54.

По таблице критических точек распределения %^ (см. прило­ жение 5), по уровню значимости а=0,05 и числу степеней свободы ^ = 4—2 = 2 находим критическую точку правосторонней критической области: х^р(0,05; 2) = 6.0.

Так как Хнабл "^ ^кр—"^^ оснований отвергнуть гипотезу о распределении случайной величины X по закону Пуассона.

663. В итоге проверки на нестандартность 200 ящи­ ков консервов получено следующее эмпирическое распре­ деление (в первой строке указано количество х,- нестан­ дартных коробок консервов в одном ящике; во второй строке—частота П/, т. е. число ящиков, содержащих лг/ коробок нестандартных консервов):

л:,. О 1 2 3 4 П; 132 43 20 3 2

Требуется при уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о том, что случайная величина X — число не­ стандартных коробок — распределена по закону Пуассона.

У к а з а н и е . Объединить малочисленные частоты двух послед­ них групп.

664. Для определения засоренности партии семян клевера семенами сорняков было проверено 1000 слу­ чайно отобранных проб и получено следующее эмпири­ ческое распределение (в первой строке указано коли­ чество JC/ семян сорняков в одной пробе; во второй строке—частота П/, т. е. число проб, содержащих JC/ семян сорняков):

лось число Xi появлений некоторого события, получено следующее эмпирическое распределение (в первой строке указано количество х^ появлений события; во второй

281

строке—частота л^., т. е. число испытаний, в которых наблюдалось Х/ появлений события):

Xi О 1 2 3 4 5

Hi 505 336 125 24 8 2

Требуется при уровне значимости 0,05 проверить ги­ потезу о том, что случайная величина X—число появ­ лений события—распределена по закону Пуассона.

У к а з а н и е . Объединить частоты двух последних групп.

666. В результате проверки 500 контейнеров со стек­ лянными изделиями установлено, что число поврежден­ ных изделий X имеет следующее эмпирическое распре­ деление (в первой строке указано количество Х/повреж­ денных изделий в одном контейнере: во второй строке частота Л/, т. е. число контейнеров, содержащих Х/ поврежденных изделий):

Требуется при уровне значимости 0,01 проверить гипотезу о том, что случайная величина X—число по­ врежденных изделий — распределена по закону Пуассона.

у К а з а н и е. Объединить частоты трех последних групп.

667. Задача Борткевича. На основании 200 донесе­ ний, полученных в течение двадцати лет о количестве кавалеристов прусской армии, которые погибли в ре­ зультате гибели под ними коня, было получено следую­ щее эмпирическое распределение (в первой строке ука­ зано количество х^ погибших кавалеристов, указанных в одном донесении; во второй строке—частота п,., т. е. число донесений, в которых сообщено о гибели х^ кава­ леристов):

Xi О 1 2 3 4 пу 109 65 22 3 1

Требуется при уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о распределении случайной величины X (числа погибших кавалеристов) по закону Пуассона.

У к а з а н и е . Объединить малочисленные частоты 3 и 1 в одну,

282

Глава четырнадр^атая

ОДНОФАКТОРНЫЙ ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ

§ 1. Одинаковое число испытаний на всех уровнях

Пусть на количественный нормально распределенный признак X воздействует фактор F, который имеет р постоянных уровней Fi» f%f • • • t г p. На каждом уровне произведено по д испытаний. Резуль­ таты наблюдений—числа(дг,7> где i — номер) испытания (f = l, 2, ...»

. . . , д). 1—номер уровня фактора (/ = 1» 2, . . . , р),—записывают в виде таблицы (табл. 43).

Т а б л ица 43

Номер испытания ] Уровни фактора

Ставится задача: на уровне значимости а проверить нулевую гипотезу о равенстве групповых средних при допущении, что груп­ повые генеральные дисперсии хотя и неизвестны, но одинаковы. Для решения этой задачи вводятся: общая сумма квадратов откло­ нений наблюдаемых значений признака от общей средней

1 = 1 « * = 1

факторная сумма квадратов отклонений групповых средних от об­ щей средней (характеризует рассеяние «между группами»)

5ф8кт=^ 2 J (-^гр/—х)^;

остаточная сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений группы от своей групповой средней (характеризует рассеяние «внутри групп»)

•^ост = S (^11 —^rpi)*+ 2 (Xit—lcrpt)^+ • • • + Л (^//^—^гр я)** Практически остаточную сумму находят по формуле

283

Для вычисления общей и факторной сумм более удобны сле­ дующие формулы:

So6m = J i ^/ ~ [ I j Лу] '1(РЯЬ

числа, то для упрощения вычислении вычитают из каждого наблю­ даемого значения одно и то же число С, примерно равное общей средней. Если уменьшенные значения y/j^Xij—С, то

где Q / = 2 iAi—сумма квадратов уменьшенных значений признака

на уровне fy; Tj=:^ S У/у—сумма уменьшенных значений признака

на уровне Fj.

Разделив уже вычисленные факторную и остаточную суммы на соответствующее число степеней свободы, находят факторную и оста­ точную дисперсии:

^«•<т—ТИТ' ^<х^^-р(^_1) •

Наконец, сравнивают факторную и остаточную дисперсии по критерию Фишера—Снедекора (см. гл. XIII, § 2).

Если /^набл < ^кр — различие групповых средних незначимое. Если /^яабл > ^кр—различие групповых средних значимое.

За м е ч а н и е 1. Если факторная дисперсия окажется меньше остаточной, то уже отсюда непосредственно следует справедливость нулевой гипотезы о равенстве групповых средних, поэтому да^1ьнейшие вычисления (сравнение дисперсий с помощью критерия F) из­ лишни.

За м е ч а н и е 2. Если наблюдаемые значения х//—десятичные дроби с k знаками после запятой, то целесообразно перейти к це­ лим числам

где С — примерно среднее значение чисел \О^Х(у, При этом фактор­ ная и остаточная дисперсия увеличатся каждая в 10** раз, однако их отношение не изменится,

284

668. Произведено по четыре испытания на каждом из трех уровней фактора F. Методом дисперсионного анализа при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу о равенстве групповых средних. Предполагается, что выборки извлечены из нормальных совокупностей с одинаковыми дисперсиями. Результаты испытаний при­ ведены в табл. 44.

Т а б л и ца 44

Р е ш е н и е . Для упрощения расчета вычтем из каждого наблю­ даемого значения дг/у общую среднюю ж = 29, т. е. перейдем к умень­ шенным величинам: у//=дг//—29. Например, У11=дгл-—29=38 —

— 29 = 9; y,i=JC2i—29=36—29 = 7 и т. д. Составим расчетную табл. 45.

Используя итоговый столбец табл. 45, найдем общую и фактор­ ную суммы квадратов отклонений, учитывая, что число уровней

285

фактора рз=д, число испытаний на каждом уровне ^ = 4:

S o 6 m - J j Q y - [ . ij Гу1*/(р(7) = 428-0=«428;

5ф«кт= [^ij ^ / ] / ^ - [Jlj Гу]'/р<7==896/4~0=224.

Найдем остаточную сумму квадратов отклонений: SocT = So6m —5факт = 428—224 = 204.

«факт = 5факт/(Р- 1) = 2 2 4 / 2 = 112.

Найдем остаточную дисперсию; для этого разделим число степеней свободы p(q—1) = 3(4—1)=9:

S O C T - S O C T / P ( ^ - 1) = 204/9 = 22,67.

Сравним факторную и остаточную дисперсии с помощью крите­ рия Фишера—Снедекора (см. гл. XIII, § 2). Для этого сначала найдем наблюдаемое значение критерия:

/'иабл = 4aKT/s2cT = 112/22,67 = 4,94.

Учитывая, что число степеней свободы числителя ^ i ^ 2 , а зна­ менателя kt^9 и что уровень значимости а==0,05, по таблице приложения 7 находим критическую точку

FKP(0,05; 2; 9) ==4,26.

Так как ^иабд > ^ир—нулевую гипотезу о равенстве групповых средних отвергаем. Другими словами, групповые средние «в целом» различаются значимо.

вв9. Произведено по пять испытаний на каждом из четырех уровней фактора F. Методом дисперсионного анализа при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу о равенстве групповых средних x^j. Предпо­ лагается, что выборки извлечены из нормальных сово­ купностей с одинаковыми дисперсиями. Результаты испы­ таний приведены в табл. 46.

У к а з а н и е . Принять у/у=jc/y—58.

670. Произведено по восемь испытаний на каждом из шести уровней фактора. Методом дисперсионного ана­ лиза при уровне значимости 0,01 . проверить нулевую гипотезу о равенстве групповых средних. Предполагается,

286

671. Произведено по четыре испытания на каждом из трех уровней фактора F. Методом дисперсионного ана­ лиза при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу о равенстве групповых средних. Предполагается, что выборки извлечены из нормальных совокупностей с одинаковыми дисперсиями. Результаты испытаний при­ ведены в табл. 48.

287

672. Произведено по семь испытаний на каждом из четырех уровней фактора. Методом дисперсионного ана­ лиза при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу о равенстве групповых средних. Предполагается, что выборки извлечены из нормальных совокупностей с одинаковыми дисперсиями. Результаты испытаний при­

673. Произведено по четыре испытания на каждом из трех уровней фактора. Методом дисперсионного анализа при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу о равенстве групповых средних. Предполагается, что

288

выборки извлечены из нормальных совокупностей с одина­ ковыми дисперсиями. Результаты испытаний приведены в табл. 50.

Т а б л и ц а 50

§ 2. Неодинаковое число испытаний на различных уровнях

Если число испытаний на уровне F^ равно qu на уровне Fj —

^—<72» •••! на уровне Fp—Щр^10о6т:^^:^^^^щ квадратов отклонений вычисляют, как и в случае одинакового числа испытаний на всех

уровнях (см. § 1). Факторную сумму квадратов отклонений находят 1Ю формуле

2—на четвертом. Методом дисперсионного анализа при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу о равенстве групповых средних. Предполагается, что выборки извлечены из нормальных совокупностей с оди­ наковыми дисперсиями. Результаты испытаний приведены в табл. 51.

289