895*. Может ли функция й^(т) = е-1^1 (14-|т| + т*) |
быть корреляционной функцией стационарной случайной |
функции X{t)? |
|
|
Решение. Проверим, |
выполняются ли все свойства корре |
ляционной функции kjg(x), |
|
функция — выполняется: k^d—т) =» |
1. Свойство кх(т)—четная |
« ЛЛт). |
|
|
2. Свойство ^^(0) > О выполняется: kyc(0)==^l > 0. |
3. Свойство \Kjg{x)Kkx(0) |
|
не выполняется: например, ^^(1)=з |
= 3/е> i^^(0)«b |
|
|
4. Свойство |
00 |
|
|
|
Sx (®) ^ - ^ |
J |
^х W е~'«^ dx^ О |
при всех значениях со не выполняется. Действительно, допустив, что заданная функция к^^{1) является корреляционной функцией некоторой стационарной случайной функции X (/), и выполнив вы кладки, найдем функцию s^ (ш) = 4 (1 —0}^)/п (1 + (о^); при | ш | > 1
функция Sjp((0) < 0.
Итак, заданная функция kx(i) не является корреляционной функцией никакой стационарной случайной функции. Разумеется, это заключение можно было сделать, убедившись, что не выпол няется хотя бы одно свойство корреляционной функции.
896.а) Доказать, что функция Л^^ (т) = 5е-2т« может быть корреляционной функцией стационарной случайной функции X{t).
б) Доказать методом от противного, что не сущест вует такой стационарной функции, корреляционная функ ция которой сохраняет постоянное значение в интер вале (— т^, т^), симметричном относительно начала коор динат, и которая равна нулю вне этого интервала.
897.Задана спектральная плотность Sj^ ((о) = 10а/я(а* +
+<!)•) (а>0) стационарной случайной функции. Найти нормированную спектральную плотность.
Указание . Использовать задачу 878.
898.Задана спектральная плотность s^ (со) ==Оа/я (а* 4-
+<«>*) (а>0) стационарной случайной функции. Найти
спектральную функцию 5^^ (со) = J 5^^ (©) dco.
—оо
899.Доказать, что спектральная плотность равна производной от спектральной функции: Sje((o)==Si ((о).
900.Доказать, что для стационарных и стационарно связанных случайных функций X (/) и К (/) справедливо