_gmurman2[1]

— CD

так как пределы интегрирования симметричны относительно начала координат и подынтегральная функция—нечетная.

Найдем математическое ожидание:

М (COS 9 ) = — i = f cos фв- <»*'») d9.

350

Введем в рассмотрение интеграл, зависящий от параметра а:

/(а)=: J со8(аф)е-<^*/«><1ф.

— со

Интегрируя по частям, приняв u = sin (аф), получим /' (а) = -- а/ (а). Об^цее решениеэтогодифференциального уравнения /(а)=Се~^^'^^^* Положив (х»0, учитывая, что /(0)» V^2ji, имеем С ~ {/"гд; следо-

Подставив (••) и (****) в (*), окончательно получим

Таким образом, ntxit) зависит от аргумента /, поэтому X (/)•-• нестационарная функция, что и требовалось доказать.

839*. Найти дисперсию случайной функции X (/) =» «=а81п(<о/ + ф), где а и со—положительные числа, ф — нормально распределенная случайная величина с плот­ ностью вероятности /(ф)=(1/1/^)е^<^*/*>.

У к а з а н и е . Использовать задачу 838. Принять во внимание,

что

Jcos2q>e-<">*/»>dq) = /(2) .

840.Доказать, что корреляционная функция стацио­ нарной случайной функции есть четная функция.

стационарной функции, корреляционная функция которой зависит только от разности аргументов, поменяв местами аргументы, получим **(^t—'i)=^x(^i—^«)- Положив T=/t — /i, окончательно имеем

351

841.Известна корреляционная функция kjg(t) стацио­ нарной функции X{t). Доказать, что если К(/)«аХ(0# то Л|,(т) = а«Л^(т).

842.Известна корреляционная функция kjg{x)» De^^*^ стационарной случайной функции X {t). Найти корреля­ ционную функцию случайной функции Y{t)^4X{t).

843. Доказать, что дисперсия стационарной случайной функции X (t) постоянна и равна значению корреляцион­ ной функции в начале координат: Djs(t)^kjf{0).

Р е ш е н и е . Дисперсия любой случайной функции равна значе­ нию ее корреляционной функции при равных значениях аргументов. В частности, для стационарной функции, корреляционная функция которой зависит только от разности аргументов, получим

^>x(0«/Cx(^ 0«*х(/-0«**(0).

844. Доказать, что абсолютная величина корреляцион­ ной функции стационарной случайной функции не пре­ вышает ее значения вначале координат: |i^x('^)J^ii^ir(0).

Указание. Использовать задачу 343 и свойство 4 корреля«> ционной функции (гл. XVI, § 1).

845. Найти нормированную корреляционную функцию, зная корреляционную функцию стационарной случайной функции Х(/): a)ft^(x) = 3e-^6)*^(T)«D^-i'i.<l+|x|).

§ 2. Ствциоиарио свяэашпм случайные фу|11С1|мм

Стационарно связанными называют две случайные функции X (О и Y (/), взаимная корреляционная функция которых зависит только

от разности аргументов T=s/t—^i- 'c,y*"^W-

Не всякие две стационарные 4^нкции стационарно связаны; с другой стороны, две нестационарные функции могут быть стацио­ нарно связанными.

84в. Доказать» что взаимные корреляционные функции двух стационарно связанных случайных функций X{t) и К (О» взятых в различных порядках, связаны равен­ ством г^у{х) = г^^{х).

У к а з а н и е . Использовать задачу 781*

847. Доказать, что для стационарных и стационарно связанных случайных функций X{t) и К(/) абсолютная величина взаимной корреляционной функции не превы­ шает среднего геометрического дисперсий этих функций:

352

У к а з а н и е . Использовать свойство 4 взаимной корреляцион­ ной функции (гл. XVI, § 1).

848. Заданы две стационарные случайные функции: X(t) = cos(t + (p) и K(/) = sin(/ + ф), где ф—случайная величина, распределенная равномерно в интервале (0,2л). Доказать, что заданные стационарные функции стацио­ нарно связаны.

лированные случайные величины, причем их математи­ ческие ожидания равны нулю, а дисперсии равны 5. Доказать, что заданные функции стационарны и стацио­ нарно связаны.

тематическими ожиданиями, равными нулю, и диспер­

чайные величины с математическими ожиданиями, равными нулю, и дисперсиями, равными 3. Являются ли заданные функции стационарно связанными?

851. Заданы стационарные и стационарно связанные случайные функции X{t) = — U sint-j-Vcos /, У (О = = Ucost + V s'mt, где U и V—некоррелированные слу­ чайные величины с математическими ожиданиями, рав­ ными нулю, и дисперсиями, равными единице. Найти нормированную взаимную корреляционную функцию за­ данных функций.

§ 3. Корреляционная функция производной от стационарной случайной функции

Корреляционная функция производной X'(t)==x дифференци­ руемой стационарной случайной функции X (/) равна второй произ­ водной от ее корреляционной функции, взятой со знаком минус:

852. Доказать, что если известна корреляционная функция k^ir) дифференцируемой стационарной случай­ ной функции X (/), то корреляционная функция ее про­ изводной kj^ (т) == —fe^(т).

353

Р е ш е н и е . Известно, что корреляционная функция произвол- ной любой дифференцируемой случайной функции равна второй сме­ шанной' производной от ее корреляционной функции:

По условию, X (t)—стационарная функция, поэтому ее корреля­ ционная функция зависит только от разности аргументов: Кх (^i» ^i)^» =^j^ (т). Из соотношения т = /2—^i находим

Учитывая равенства (*), получим

они существуют) от стационарной случайной функции также стационарны.

Таким образом, математическое ожидание производной есть постоян­

реляционную функцию и дисперсию производной X' (/)=JC; б) отношение дисперсий функции X (t) и ее производной.

354

функции X{t). Найти: а) корреляционную функцию производной X'(t); б) доказать, что дисперсия произ­ водной пропорциональна параметру D и квадрату параметра а.

ляционная функция второй производной kji{'t)^ky{T).

Указание. Рассмотреть вторую производную как производ­ ную от первоЁ производной и использовать зддачу ЫЯ.

858*. Заданы математическое ожидание т^^(/) = 8 и корреляционная функция /к^(т) = 5e''<^l|cos2т + 4- 0,5 sin 21т|I нормальной стационарной случайной функ­ ции ХШ. Найти вероятность того, что производная K(/)esX (О заключена в интервале (О, 10).

Решение. По условию, функция X (/) распределена нормально, оозтому ее производная К(/)аДС'(/), как известно, также распре­ делена нормально. Вероятность попадания нормальной величины Y в интервал (а, 9) (см. гл. VI, § 5)

где а—математическое ожидание К, а—среднее квадратяческое от­ клонение К, Ф(/)—функция Лапласа.

Таким образом, задача сводится к отысканию параметров а и о нормально распределенной случайной величины К.

1. Найдем математическое ожидание пронзводной: т^ (i)sznh{t)^ «•(Ц'шшО. Следовательно, параметр a^my{ij^O*

355

2. Используем для отыскания корреляционной функции производи Hoft формулу (см. задачу 852) ку(т)^ — i^jr(T). Допустив, что т^О» найдем

Объединив (**) и (*^*), получим корреляционную функцию произ­ водной:

ку (т) =25е~'^1 [cos 2г—0,5 sin 2|т|].

3.Найдем дисперсию производной: Dy»/?^ (0)»25. Отсюда среднее квадратическое отклонение Оу=:5.

4.Найдем по формуле (*) искомую вероятность того, что производная заключена в интервале (О, 10), учитывая, чтоа=0, a»s=:5, а==0, р = 10:

нормальной стационарной случайной функции Х(/). Найти вероятность того, что производная У{t)жaX {t)

принимает значения, большие, чем УЪ.

8в0*. Заданы математическое ожидание т^^ =: 6 и кор­ реляционная функция kjg (т) = 10е-1 ^»[cos Зт + (1/3) sin 3|т|] нормальной стационарной случайной функции X{t). Найти плотность вероятности производной К(/) = Х'(/).

§4. Корреляционная функция интеграла от стационарной случайной функции

Корреляционную функцию и дисперсию интеграла Y(t)sm =^\X(s)dsI от стационарной случайной функции находят соответственно по формулам:

it

+ J(^-T)^x(T)dT.

0

Dy (0-^2 У'\(t-"'x)k^(T)dx.

861*. Задана корреляционная функция kj^it) стацио* парной случайной функции X{t). Доказать, что корре-

356

ляционная функция интеграла y(t) = ^X{s)ds равна

и

о

-S (/,-/i-T)-*,(T)dT+S(/,-T)fe,(T)dT.

сления корреляционной функции» приведенной в задаче 8в1» получим требуемую формулу.

357

Выполнив интегрирование по S я сделав во втором интеграле за­ мену TS—T^t переставив в нем пределы интегрирования и вновь обозначив переменную интегрирования через т, приняв во внимание, что ifcjrC—T)»ifc^(T), окончательно получим

Dy(/)-2j'^(/~Ty*^(T)dT.

8вЗ. Найти дисперсию интеграла Y{i) — )x (s) ds, зная

корреляционную функцию стационарной случайной функ­ ции X{t): а) Л;,(т)=1/(1+т*);б)Л,(т) = /5е-«1'1(а>0); в) Л,(х) = Об-«1^1(1+а|т|).

У к а з а н и е . Использовать задачу ав2.

864. Задана корреляционная функция kj^ (T)s:rlOe-«*»i^ix Х(1+0,5|т|). Найти отношение дисперсии случайной вели­ чины К=J X (s) ds к дисперсии случайной функции X {i).

§ 5. Взаимная корреля1|мрмиая функция дифференцируемой стационарной случайной функции

и м

Ниже предполагается, что T=/I—if .

Взаимные корреляционные функции стационарной случайной функции Х(/) и ее производных выражаются формулами:

358

865. Доказать, что взаимная корреляционная функ­ ция дифференцируемой стационарной случайной функ­ ции Х(/) и ее производной X'{t) = x равна первой про­ изводной от корреляционной функции kjg{x), взятой со своим (противоположным) знаком, если индекс х стоит на втором (первом) по порядку месте: г) fxi (т) = й'х(т);

б) rix(T) = - f e ; ( T ) .

ции.Р е ш е н и е , а) По определению взаимной корреляционной функ­

Операции нахождения математического ожидания и дифференциро­ вания можно переставить, поэтому

__dMlMti)Mtt)] __dKAtu t2)

Так как X(t)—стационарная функция, то /Cx(^i» ^t)=^^x('^)t где Tss/t—/i, и следовательно, -^p-ssl. Таким образом,

XX dtt di dt% ^ ' ^ '

Подчеркнем, что поскольку взаимная корреляционная функция зависит только от т, то стационарная случайная функция и ее про­ изводная стационарно связаны.

866.Найти взаимные корреляционные функции ста­ ционарной случайной функции Х(/) и ее производной, зная корреляционную функцию fejc^==^"'^41+ 1'^!)-

867.Доказать, что взаимная корреляционная функ­ ция стационарной случайной функции Х ( 0 и ее произ­ водной изменяет знак при перемене местами аргументов ti и <«.

Р е ш е н и е . Используем задачу 8в5:

Изменив порядок следования аргументов во взаимной корреля­ ционной функции» получим R . (/|> ^i)* Индекс х стоит на втором

месте; следовательно, kjg{x) надо дифференцировать по аргументу / j ,

который расположен на втором месте. Учитывая, что x^t^-^tip

359