_gmurman2[1]

907. Найти корреляционную функцию стационарной случайной функции, зная ее спектральную плотность Sj, (со) = 1Эа/л(а« -f со*).

Решение. Первый способ. Из задачи 886 следует, что корреляционной функции ^;^ (т) = De""*' ^ * соответствует заданная спектральная плотность. Поскольку кх(х) и Sj^ (со) связаны взаимнообратными преобразованиями Фурье» то искомая корреляционная функция kjf (т) г= De""**' ^ •.

Второй способ. Используем формулу

Известно, что

Следовательно, искомая корреляционная функция Дг^^(т)»Ое''^1^'«

908.Найги корреляционную функцию стационарной случайной функции, зная ее спектральную плотность $,(со)==2/я(4 + со«).

909.Найти корреляционную функцию стационарного белого шума—стационарной случайной функции с лосто* янной спектральной плотностью Sjg{io)=^s^.

Решение. Используем формулу

Подставив (Ф«) в («), окончательно получим искомую корреляцион­ ную функцию kjf(x)=i2jis^^(x).

§ 7. Преобразовмм^ стационарной случайной функции стационарной линейной динамичоской системой

Стационарной линейной динамической системой называют ус роАство, которое описываегся линейным дифференциальным уравне­ нием с постоянными коэффициентами вида

fa.Kc«>(0+eiK<'-*>(/)+ . . . + а«1К(/)-

370

где X{t)—входная стационарная случайная функция (воздействие» возмущение), Y (t)—выходная случайная функция (реакция, отклик)»

Если динамическая система устойчива, то при достаточно боль* ших значениях /, т. е. по окончании переходного процесса, функцию У (/) можно считать стационарной.

Математическое ожидание выходной функции Y (t) находят по формуле.ту=^{Ьщ/а^тх, где Шх—математическое ожидание вход** ной функции л (/).

Передаточной функцией линейной динамической системы назы» вают отношение многочлена (>тнссительно р при X{t) к многочлену при У (i) в операторном уравнении («•):

Частотной характеристикой линейной динамической системы называют функцию, которая получается заменой аргумента р в пе­ редаточной функции на аргумент /(о(а>—действительное число):

Ф(|(|>)»

Спектральные плотности выходной и входной функций связаны равенством Sy((u) = Sx{bai) -\Ф(ш)\^, т. е., что&л найти спектраль^ ную плотность выходной функции, надо умножить спектральную плотность входной функции на квадрат модуля частотной характе* ристики. Зная ^е спектральную плотность выходной функции, можно найти ее корреляционную функцию

ky(x)^ С 5y((i))e'^®dtt),

—оо

аследовательно, и дисперсию

910. Ha вход линейной стационарной динамической системы, описываемой уравнением Y' (/) 4-2К (/) = 5Х'(/) + + вХ (/), подается стационарная случайная функция X (t) с математическим ожиданием т^^ = 5. Найти математи­ ческое ожидание случайной функции Y{t) на выходе системы в установившемся режиме (после затухания пе­ реходного процесса).

Р е шен н е. Приравняем математические ожидания левой и пра­ вой чаотей заданного дифференциального уравнения:

A l f K ' ( 0 + 2 K ( 0 1 « M [5Х'(0+вХ(/)1, или М[У'(t)] + 2my^ ^ЪМ1Х'{1)] + %тх.

По условию, X(t) и К (О—стационарные функции, а математическое ожидание производной стационарной функции равно нулю, поэтому

371

заданное дифференциальное уравнение в операторной форме:

(Зр + 1) Y(t) = (4/7 + l)X(t). Отсюда 7(0 = [(4р + ЩЗр + 1)] X(t).

Следовательно, передаточная функция Ф (/?) = (4р + 1)/(3/7 + 1).

3. Найдем частотную характеристику системы, для чего положим

^ " ^^* Ф ((01) = (4(01 + 1)/(3<о/+1).

4. Найдем спектральную плотность Sy (со) на выходе системы, для чего умножим спектральную плотность Sxioi) на квадрат модуля частотной характеристики:

5Л<о)==5;,(<о)|Ф((оО|«-(12/я(<о«+4)1И»^ + И*/|Зсо1 + +1 I*] = 112/(я (to«^+4))4(l6<o»+ 1)/(9<о*+1)1.

5. Найдем искомую дисперсию:

372

913. На вход wiHHeuHOH стационарной динамической системы, описываемой уравнением У {t) + ЗУ (t) = X' (/) +

+4Х (О» подается стационарная случайная функция X (О

сматематическим ожиданием т;^. = 6 и корреляционной функцией Л^^(т) = 5е-2 *^i. Найти: а) математическое ожи­

дание; б) дисперсию случайной функции У (t) на выхо­ де системы в установившемся режиме.

914. На вход линейной стационарной динамической системы, описываемой уравнением У (/) -f 5К' (/) + 6К (/)== = Х'(/) + Х(/), подается стационарная случайная функ­ ция с математическим ожиданием m^^^i и корреляци­ онной функцией kjf (х) = е"^ ^ К Найти: а) математическое ожидание; б) спектральную плотность случайной функ­ ции К (О на выходе системы в установившемся режиме.

915*. На вход линейной стационарной динамической системы, описываемой уравнением У"' (t) 4- бУ (t) Ч- + 11К'(0 + 6К(/) = 7Х"(/) + 5Х(/), подается стационар­ ная случайная функция Х ( 0 с известной корреляцион­ ной функцией: а) Лд,(т) = 4е-1 ^<; б) kj, (т) = 2e-i ^ Ц! +1т|). Найти спектральную плотность случайной функции У (t) на выходе вистемы в установившемся режиме.

У к а 3 а и tf е. Использовать задачи 88в и 891. Разложить на ли­ нейные множители знаменатель передаточной функции: (р+1)(Р + 2)(р+3).

01в. На вход линейной стационарной динамической системы, описываемой уравнением У (t) '\-y{t) = X (/), по­ ступает стационарная случайная функция Х(0 с постоян­

динамические системы, на вход которых поступает стацио­ нарная случайная функция X (t). Передаточные функции систем соответственно равны: Ф^ (р) = (4р -Ь1 )/(Зр + 1), ^1 (р) = (Р + 0/(Зр + 1 )• Спектральная плотность выход­

ной функции известна: s^.(<i))== 12/п(<1)* + 4). Какая из

систем обеспечивает наименьшую дисперсию выходной функции?

373

ОТВЕТЫ

Глака первая

3. а) Р = 1/90;б)Р = 1/81. 5, а) Р « 1 / 6 ; б ) Я = 1/18; в) Р « 1 / 2 ; г) Р=:г1/18. е. а) 0.384; б) 0.096; в) 0.008. 7. Я « 3 / 4 . 8. Р=г 1/720. 10. Я = 1/С1о«1/190. 12. Я=С?в/С?, = 24/91. 13. Я = С5,/СЙв=.0.1. 14. а) Я=С5о/С{оо ^ 0,65; б) Я=С?в/С{оо ^^^ 0.00005. 15. Я=гСа/С1=0.3. l6.Я=:l/i4lo«!/720• 18.Я«С2.С2/С1о=0.5. 19. Я =Cit.Cj/CJ*»0,4: 20. Я =CS.C1/C?«« 14/55. 21. а) Я = С1.С|/С|«0.6; б)Я«С2/С1=0,3; в) Я =0.9. 22. Я =1/5*. 24. 1Г=0,9. 25. 180 приборов. 26. Я = 1/2. 27. Я = 1/3. 28- Я=г«//г*. 29. Я=(2а—2г)/(2а)=(а—г)/а. 80. Я = = (а—2г)*/а*. 31. Я=(6—2)/6=2/3. 32. Я = (10«—5*)/10«=0,75. 33. а) Я = 2/я; б) Я = 3 | ^ / ( 4 я ) . 34. Я = 0,5л/?*/(яЛ*) = 0,5. 36. Воз­

бЗ.Я=0.18. 54. Я=0,432. 55. Я=0,384. 56. а) Я=0,188; б) Я=0.452;

61. « ^ 5 . 62. а) P=[-i^) ; в ) ^ ' - 4 ^ - ^ Л Ш—) • вЗ.Я=3!(1/3)'.65. Я=5/100-4/99 = 1/495.67. Я««6/10-5/9*4/8*3/7=

374

- l / U . 88. a) Р=-1/Б.1/4.1/3=.1/60; б) P = 0 , 1 . 89. P =«20/25-19/24X

ztn-x-1)

95. pas0.4. 96. Р—0,87. 98. Вероятнее, что винтовка была без оп­ тического прицела (вероятность того, что винтовка была без оптичесхого прицела, равна 24/43; с оптическим прицелом—19/43). 99. Р = 3/7. 100. Р—1/3. 101. Р—5/11. 102. Р ~ 0,47. 104. Рл(В»)=* —1—(0,6+0,3)—0,1. 107. Р = 10/19. 109*. Р=0,039.

Глава третья

111. а) Вероятнее выиграть одну партию из двух: Рг(1) = 1/2; р . (2) 3=3/8; б) вероятнее выиграть не менее двух партий из четырех: Р4(2)+Р«(3)+Р4(4)=1 - (Р«(0)+Р« (1)1 = 11/16: Р,(3)+Р,(4) + +Р,(5) =8/16. 112. а) Р = Р,(0)+Р,(1)==3/16; б) Q = l—(Рв(0) + +Р»(1)1 = 13/16.113, а) Р«(3)+Р«(4) =0,1792; б) Р,(4)+Р,(5)=0,74.

114.а) р»=0,729; б) С1р»д+Cjp« =0,95; в) С1/>»«?«+Ctp*q 4-С»/Л=0,99.

115.Искомые вероятности таковы: а) 0,31; б) 0,48; в) 0,52; г) 0,62.

118.Р4(2)=С2(2/3)»(1/3)« = 8,/27. 117. Р, (2)=С|(х/о)» [(а—*)/а]».

118.P=CjC5c1C|(l/4)e. 121. Pioe (75) = 0,04565. 122. Pwo(50) =

—0,0782. 123. Р,лг (АО=0,5642/ VN. 124. Р»^;(М+т)=У'Ш X Хф( V2/Nm). 128. а)Р„ов (1470; 1500)=0,4236); б) Paiee(1470; 2100)= —0.5; в) Р,1в, (0; 1469)=0,5. 127. Р „ (11; 21) =0,95945. 128. Р =-

— Ф(1)—Ф(—1)=2Ф"(1) = 0,6826. 130. rt = 177, 182. Р=2Ф(1,2) = —0,7698. 133. Р = 2Ф (2.31) =0,979. 134. Р = 2 Ф (0,877) =0,6196. lS7.n —661.138. л=6147. 140. е=0.(». 141. е = 0.01.143. 15<:/п<33.

в)Р,(1) = 0.26; в)Р4(0) = 0,02:г)Р,(1)+Р,(2)=0,98.161. а) Р,(3)=

"*• ? 0.7 0?24 0.042 O.0I44 ' 177.Р„о* (3)=0.18. 178.Р«о(4)=0.09. 180. a)Piee, (2)=0.224; б) Р,,»» (0)-[-Pieoe (0=0.1992; в) Р^во (к > 2)= =0,8768; г) Р=1—Pieoe(0)=0,95. 181. 6) Я=3. 186. а) Р4(3)=0.0256; б) Р4(А< 3 ) = 0.0123; в) Р4 ( * ^ 3 ) = 0,9877. 188. б) М (Л) =0,535.

189.6)A1(Z)=30. 191. jfa=2l; Рв=0,2. 198. р,=0,2; р, = 0,3:

375

v,=: 16,5;'v, = 74,1. 231. |ii = 0; |i2 = 0,64; fi, = --0,77; ^i4 = l,33.

Глава пятая

236.Я(|Х —iM(X)| < 3a)^l—aV(9a») = 8/9.

238.P(|X—M (X)|^2aXa*/(4a2) = l/4. 239. P(IX — M {X)\ < 0,2)^ ^ 1 —0,004/0,04 = 0,9. 240. e^0,3. 242. a) P (| X—161 < 3) ^ 0 , 6 4 ; 6) P (I X—161^3)<0,36^244. P (IX—2001 < 50) ^ 1 —150/50^ =0.94. 246. P (IX—0,441 < V^0,4)^ 1—0,0364/0,4 = 0,909. 248. Применима. Математические ожидания X„ конечны и равны — а/(2л-4-1); дис­

тают; . б) нельзя, так как требование равномерно!! ограниченности

О

287. Мо(Х) = М(Х)=Л1^(Х) = 4. 288. а) Моды X не имеет (плотность распределе}1ия не имеет максимума); б) М ( Х ) = 0 (кривая распреде* ления. симметрична относительно прямой л'=0). 289. Л1о(Х) =

= Г ^^-^J^-^* у^''. 293. a)D(X) = 4,5; б) Р (—3 < X < 1)=0.5 +

+ (1/л)ап:8!п (1/3); Р (1< X < 3)=0,5—(1/.п) arcsin (1/3). 296. D (Х)=

376

377

378

= (1/2) [s\nx + siny-^sinix-\-y)l 417. / (дг. y) = (3/^R^) [/?— Vx*-ry*]

внутри круга радиуса R с центром в начале координат: вне этого круга f(x; у)==0. 418, С=12/я*. 419. С = 2/я. 420. а) /(х, у) ^ = lii*2-2'"*-J' в первом квадранте; вне квадранта /{дг, у ) = 0 :

ОХ > _ 6 .

431.M(X)=Al(K)=f^Jn/6;D(X) = D(K) = (4—л)/12. 432. Ai (Х)=

379