_gmurman2[1]

Так как Гцабл > ^кр — отвергаем нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции значимо отличается от нуля; следовательно, X \\ Y коррелированы.

611.По выборке объема /г = 62, извлеченной из нор­ мальной двумерной генеральной совокупности (X, Y), найден выборочный коэффициент корреляции Гв==0,3. Требуется при уровне значимости 0,01 проверить нуле­ вую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффици­ ента корреляции при конкурирующей гипотезе Я^гг^^т^О.

612.По выборке объема п = 120, извлеченной из нор­ мальной двумерной генеральной совокупности (X, F), найден выборочный коэффициент корреляции Гв = 0,4. Требуется при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента

Требуется: а) найти выборочный коэффициент корре­ ляции; б) при уровне значимости 0,05 проверить нулевую

240

гипотезу о равенстве генерального коэффициента корреляции нулю при конкурирующей гипотезе Я,; ГгФО.

т. е. разность между двумя соседними вариантами (шаг); Аз = 1'/+1—У/.

реписывают из корреляционной таблицы в первоначальных вариан­ тах. В итоге получают корреляционную табл. 13.

Т а б л и ц а 13

Воспользуемся формулой для вычисления выборочного коэффи­ циента корреляции в условных вариантах:

^в = ( S «яг/^У — л1/у)/(лада^).

Вычислив входящие в эту «^юрмулу величины w, и, а„, а^ ме­ тодом произведений или непосредственным расчетом, получим: и = -.0,03; 1' = 0,35; ад= 1,153; а^,= 1,062.

Пользуясь расчетной таблицей (см. задачу 535, табл. 7), найдем 2/z,^^at/ = 99.

Следовательно, выборочный коэффициент корреляции

б) Проверим нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции.

241

Требуется: а) найти выборочный коэффициент корре­ ляции; б) при уровне значимости 0,01 проверить нуле­ вую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффици­ ента корреляции Гг при конкурирующей гипотезе Я^: г^Фй.

У к а з а н и е . Перейти к условным вариантам а/ = (д?/—17)/5, t'/ = (i^/-130)/10.

615. По выборке объема п = 100, извлеченной из дву­ мерной нормальной генеральной совокупности (X, К), составлена корреляционная табл. 15.

242

T a 6 л и u a 15

X

Требуется: a) найти выборочный коэффициент корре­ ляции; б) при уровне значимости 0,001 проверить ну­ левую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффи­ циента корреляции г^ при конкурирующей гипотезе

У к а з а н и е . Перейти к условным вариантам <i/=(jc/—42)/10,

Vi = (i^i —в0)/5.

616. По выборке объема л =100, извлеченной из двумерной нормальной генеральной совокупности (X, Y), получена корреляционная табл. 16.

Т а б л и ц а 1G

к

243

требуется: а) найти выборочный коэффициент корре­ ляции; б) при уровне значимости 0,05 проверить нуле­ вую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффици­

ента корреляции Гг при конкурирующ^ей гипотезе

Я,: г,фО.

У к а з а н и е . Перейти к условным вариантам Ui = (xi—115)/5, t'i-{i^/-45)/l0.

§ 13. Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента ранговой корреляции Спирмена

Пусть генеральная совокупность состоит из объектов, которые

признаками имеется значимая ранговая корреляционная связь

где п — объем выборки; Рв — выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена: t^, (о; к) — критическая точка двусторонней критической области, которую находят по таблице критических точек распределения Стьюдента (см. прилоэюение 6), по уровню значимости а и числу степеней свободы к = п-2.

Если \Рв\<Ткр — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Ранговая корреляционная связь меэюду качественными признаками не значима. Если | Рв | > ^кр — нулевую гипотезу отвергают. Меэюду качественными признаками существует значимая ранговая корреля­ ционная связь.

617. В задаче 540 по выборке объема/i == 10 вычислен выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена Рв = 0,64 между оценками знаний студентов по двум тестам. При уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента ранговой корреляции Спирмена. Другими словами, тре­ буется проверить, является ли значимой ранговая кор­ реляционная связь между оценками по двум тестам.

244

фициента ранговой корреляции Спирмена. Другими словами, ранго­ вая корреляционная связь между оценками по двум тестам незначихмая.

618.В задаче 541 по выборке объема п =: 12 вычислен выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена Рп = 0,92 между оценками, выставленными одним и тем же учащимся двумя преподавателями. При уровне значи­ мости 0,05 проверить гипотезу о равенстве нулю гене­ рального коэффициента ранговой корреляции Спирмена. Другими словами, требуется проверить, является ли значимой ранговая корреляционная связь между оцен­ ками двух преподавателей.

619.В задаче 542 по выборке объема AI== 13 вычислен выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена

Рв = 0»75 между правильными рангами оттенков цветов и рангами, которые им присвоил испытуемый. При уровне значимости 0,02 проверить, значим ли найденный коэф­ фициент ранговой корреляции Спирмена.

620. В задаче 543 по выборке объема п== 9 вычислен выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена Рв = 0,73 между двумя последовательностями рангов. При уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о ра­ венстве нулю генерального коэффициента ранговой кор­ реляции Спирмена.

621.В задаче 544 по выборке объема л == 11 вычислен выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена рв = 0,82 между двумя последовательностями рангов, установленными специалистами двух заводов при ран­ жировании факторов, влияющих на ход технологического процесса. При уровне значимости 0,01 проверить, зна­ чима ли ранговая корреляционная связь между после­ довательностями рангов.

622.По выборке объема /г == 42 вычислен выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена Рв = 0,6

245

между двумя последовательностями рангов. При уровне значимости 0,02 проверить, значим ли выборочный ко­ эффициент ранговой корреляции Спирмена.

§ 14. Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента ранговой корреляции

Кендалла

Пусть генеральная совокупность состоит из объектов, которые обладают двумя к а ч е с т в е н н ы м и признаками: А и В. Из этой совокупности извлечена выборка объема п и по ней найден выбо­ рочный коэффициент ранговой корреляции Кендалла т^ Ф О (см. гл. XII, § 3, Б). Требуется проверить нулевую гипотезу //©: Тг=0 о равенстве нулю генерального коэффициента ранговой корреляции Кендалла.

Если нулевая гипотеза принимается, то это означает, что между признаками А w В нет значимой ранговой корреляционной связи (выборочный коэффициент TR незначим); в противном случае между признаками имеется значимая ранговая корреляционная связь (выбо­ рочный коэффициент Тц значим).

Правило. Для того чтобы при уровне значимости а проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента ран­ говой корреляции Кендалла при конкурирующей гипотезе Н^: Х^ ^ О, надо вычислить критическую точку

Т- г i/2(2^H-5)

еде п—объем выборки; ZKP—критическая точка двусторонней кри­ тической области, которую находят по таблице функции Лапласа по равенству ф(гкр)=(1—а)/2.

Если |Тв| < Гкр—нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Ранговая корреляционная связь между качес1пвенными признаками незначима. Если |Тв| > Т^^ — нулевую гипотезу отвергают. Между качественными признаками существует значимая ранговая корреля­ ционная связь.

623. В задаче 548 по выборке объема п = 10 вычислен выборочный коэффициент ранговой корреляции Кендалла Тв = 0,47 между оценками знании студентов по двум тестам. При уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента ранговой корреляции Кендалла. Другими словами, тре­ буется проверить, является ли значимой ранговая кор­ реляционная связь между оценками по двум тестам.

Р е ш е н и е . Найдем критическую точку г^р- ф(гкр)=(1—а)/2==(1—0,05)72 = 0,475.

По таблице Лапласа (см. приложение 2) находим гкр = 1,96.

246

оценками по двум тестам незначимая.

624. В задаче 549 по выборке, объема /г= 10 вычислен выборочный коэффициент ранговой корреляции Кендалла Тв==0,78 между оценками качества деталей, которые были выставлены двумя контролерами. При уровне зна­ чимости 0,01 проверить, является ли значимой ранговая корреляционная связь между оценками двух контро­ леров.

625. По выборке объема п = 1 3 найден выборочный коэффициент ранговой корреляции Кендалла Тв==0,54 между двумя последовательностями рангов. При уровне значимости 0,05 проверить, является ли значимой ран­ говая корреляционная связь между последовательностями рангов.

626. По выборке объема п = 20 найден выборочный коэффициент ранговой корреляции Кендалла Тв==0,24 между двумя последовательностями рангов. При уровне значимости 0,01 проверить, является ли значимой ран­ говая корреляция между последовательностями рангов.

§ 15. Проверка гипотезы об однородности двух выборок по критерию Вилкоксона

Критерий Вилкоксона служит для проверки однородности не­ зависимых выборок Xj, Х2, . *', х^ » Уг> У2> - - 'f Уп ^ предположении,

что X и У — непрерывные случайные величины.

Нулевая гипотеза состоит в том, что при всех значениях аргу­ мента (обозначим его через х) функции распределения равны между собой:

Fiix)=:^F^{x).

Конкурирующие гипотезы:

f'l (X) Ф F^ {X). F^ (X) < F^(x), Л (X) > F, (X).

Заметим, что принятие конкурирующей гипотезы //i: Fi {x)<F2 (х) означает, что X > У. Аналогично, если справедлива конкурирующая гипотеза Я|: F^ (х) > F^ (х), то X < У.

Далее предполагается, что объем первой выборки меньше (не больше) второй: п^^П2; если это не так, то выборки можно пере­ нумеровать (поменять местами).

А. Проверка нулевой гипотезы в случае, если объем обеих выборок не превосходит 25. Правило 1. Для того чтобы при уровне вначимости а проверить нулевую гипотезу HQI Fi{x)=F2{x) об

247

однородности двух несааисимых выборок объемов Пх и п^(п1<П2) при конкурирующей гипотезе Ну: Fi(x) Ф F^(x), надо:

1)расположить варианпия обеих выборок в воэрастанщем порядке

т.е. в виде одного вариационного ряда, и найти в этом ряду И^иабл—сумму порядковых номеров вариант первой выборки;

2)найти по таблице нижнюю критическую точку

ьУнмжн.кр«?» Л1. ^i). где Q=a/2;

3) найти верхнюю критическую точку по формуле

К'верхн.кр = ('^i + ^2 + 1 )П1 — а/„иж11.кр-

Если ^нижн.кр < ^набл < и'верхн.кр—«^^^ оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если Г„абл < ьУнижн.кр ">«" ^иабд > ^верхн.кр —

нулевую гипотезу отвергают.

627. При уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу Н^: Fj^{x)^F^{x) об однородности двух выбо­ рок, объемы которых ni = 6, п,==7 (в первой строке приведены варианты первой выборки; во второй строке — варианты второй выборки):

X,. 3 4 6 10 13 17

у^ \ 2 5 7 16 20 22

Принять в качестве конкурирующей гипотезу / / j :

Ftix)¥^F,ix).

Р е ш е н и е . Конкурирующая гипотеза имеет вид Fi (х) ^ Е% (х), поэтому критическая область—двусторонняя. Расположим варианты обеих выборок в виде одного вариационного ряда и пронумеруем их:

* При решении задач 627—630 использовать таблицу, помещен­ ную в приложении 11.

248

строке приведены проценты прироста продукции в каж­ дом опыте по методу А\ во второй строке — по методу В):

Xi 0,2 0,3 0,5 0,8 1,0 1,3

у^ 0,1 0,4 0,6 0,7 0,9 1,4 1,7 1,8 1,9

Принять в качестве конкурирующей гипотезу: эффек­ тивность методов А \\ В различна.

629. Производительность труда двух смен завода характеризуется выборками объемов /2^ = 9 и п,= 10:

первая смена 28 33 39 40 41 42 45 46 47 вторая смена 34 40 41 42 43 44 46 48 49 52

Используя критерий Вйлкоксона, при уровне значи­ мости 0,1 проверить нулевую гипотезу об одинаковой производительности обеих смен, приняв в качестве кон­ курирующей гипотезу: производительность труда смен различна.

630. Эффективность каждого из двух рационов (Л и В) откорма скота характеризуется выборками объемов /ii=10 и rtj==12 (в первой строке приведен вес (в кг) животных, которых откармливали по рациону А, во второй строке—по рациону В):

Xi 24 26 27 27 30 32 33 34 35 36

iji 21 21 22 23 25 25 25 25 27 27 29 31

Используя критерий Вйлкоксона, при уровне значи­ мости 0,05 проверить нулевую гипотезу об одинаковой эффективности рационов А и В, приняв в качестве кон­ курирующей гипотезу: рацион А эффективнее рациона В

Ук а з а н и е . Критическая область — правосторонняя.

Б.Проверка нулевой гипотезы в случае, если объем хотя бы одной из выборок превосходит 25. 1. При конкурирующей гипотезе/^i (дг) т^ 9^ ^ш (^) нижняя критическая точка

249