_gmurman2[1]

Часть пятая

СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ

Глава шестнадцатая

КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЯ § 1 . Основные ПОНЯТИЯ. Характеристики случайных

Свойства математического ожидания случайной функции. Свой­ ство 1. Математическое ожидание неслучайной функции ф (/) рав самой неслучайной функции:

Л1[ф(01«Ф(0*

Свойство 2< Неслучайный множитель ф(/) можно выносит ва знак математического ожидания:

Л1[ф{/).Х{0]=Ф(0Л^1Х(/)]-ф(/).т;,(0.

Свойство 3. Математическое ожидание суммы двух случай ных функций равно сумме математических ожиданий слагаемых:

331

рованном значении аргумента t равно дисперсии сечения, соответст* вующего STOBiy же фиксировакному значению аргумента:

D^(/)=.D[X(/)].

Средним квадратическим отклонением случайной функции на вают квадратный корень из дисперсии:

Свойства дисперсии случайной функции. С в о й с т в о 1* Дис^

Персия неслучайной функции ф(/) равна нулю:

о[ф{/)]«а

Свойство 2. Дисперсия суммы случайной функции X (t) и неслучайной функции fp(t) равна дисперсии случайной функции:

/> W 0 + 9(01 = Dx(0.

Свойство 3. Дисперсия произведения случайной функции X(/) на неслучайную функцию ф(/) равна произведению квадрата неслу чайного множителя на дисперсию случайной функции:

О1Х(0Ф(01«Ф*(0Ох(0*

Центрированной случайной функцией называют разность между

случайной функцией и ее математическим ожиданием:

332

Нормированной корреляционной функцией случайной функции X{t) называют неслучайную функцию двух независимых переменных Н и /s, значение которой при каждой паре фиксированных значений аргументов равно коэффициенту корреляции сечений, соответствую­ щих этим же фиксированным значениям аргументов:

Абсолютная величина нормированной корреляционной функции не превышает единицы: |px(/i> ^з)!^^*

ных значений аргументов равно корреляционному моменту сечений

У (О на неслучайные множители, соответственно ф(/) и ф(/), вэаим* пая корреляционная функция умножается на произведение ф {t{) ф (i^y. если

функции двух случайных функций X(t) ы У (i) не превышает среднего геометрического их дисперсий:

333

=я/2.

758.Доказать, что неслучайный множитель можно вы­ носить за знак математического ожидания:

М[Х(0-Ф(0] = Ф(0-/п^(0.

759. Найти математическое ожидание случайной функ­

двух случайных функций равно сумме математических ожиданий слагаемых:

=1.

762. Доказать, что корреляционная функция случай­

ной функции X (/) равна корреляционной функции цент­ рированной случайной функции: X{t) = X{t)—т^Ц).

763. Доказать, что при равных между собой значениях аргументов корреляционнаи функция случайной функции X\t) равна ее дисперсии: /С^с(Л t)^Dx(t).

Указание. Принять во внимание, что, по опрег^1ению дис­ персии случайной величины X, Dj^ = Af[(X—/Лл)*] = Л1 [(Х)*).

764. Доказать, что от прибавления к случайной функ­

Решение. Найдем математическое ожидание:

my{t)=^M[X (/)+Ф(01 = т* (0+9(0. Найдем центрированную функцию:

^(0 = К(0-т»(0=Г'^(О+ф(0]-('Пх(О+ф(0]=- ==Л(/)-т;,(0=А:(0.

334

Таким образом, У^ (0 = ^ ( 0 - Найдем корреляционную функцию *>:

Итак, Ку^Кх*

765.Известна корреляционная функция Кх случай­ ной функции X{t). Найти корреляционную функцию случайной функции К (О = Х (/) + /*.

766.Доказать, что при умножении случайной функ­ ции X (t) на неслучайный множитель ф(/) корреляцион­ ная функция умножается на произведение ф(^1)*ф(/2)'

767.Известна корреляционная функция Кх случайной функции X{t). Найти корреляционную функцию случай­ ной функции: а) К (/) = X (/)•(<+ 1); б) Z{t)=CX(t), где С—постоянная.

768.Пусть X (t)—случайная функция, ф(/)—неслу­ чайная функция. Доказать: если К(/) = X (/) + Ф(/), ТО

«О1Х(0+Ф(/Л = ^х(0.

В т о р о й с п о с о б . Прибавление к случайной функции неслу­ чайного слагаемого не изменяет корреляционной функции: Ку (/i, tt)'^^

769. Известна дисперсия Dj^{i) случайной функции X (/). Найти дисперсию случайной функции К(0== - Х ( 0 + 2 .

770. Дано: X{t),— случайная функция, ф(0 — неслучай­ ная функция. Доказать: если К (/) = Х(/)-ф(/), то D^(t)=

771. Известна дисперсия случайной функции X{t). Найти дисперсию случайной функции К (/) = (/+3) X (/).

772. На вход усилительного звена подается случайная функция Х(/), математическое ожидание и корреляцион­ ная функция которой известны: т^^ (/) = /, Kxi^i* '«) == = е"°^<^-'»>* (а>0). Найти:, а) математическое ожидание; б) корреляционную функцию выходной случайной функ­ ции Y {(), если коэффициент усиления fe = 5.

У к а з а н и е . Учесть, что выходная функция / ( 0 = 5Х(/).

*) В этой задаче и в ряде последующих задач для простоты записи скобки (ii, t^ опущены^

335

773. Доказать, что корреляционная функция произве­ дения двух центрированных некоррелированных случай^ ных функций равна произведению корреляционных функ­ ций сомножителей.

Решение. Пусть Z(/) = J^(/)^ (/). Математическое ожидание произведения некоррелированных функций равно произведению мате­ матических ожиданий сомножителей, поэтому m2(t) = mo(()mo (/).

Математическое ожидание любой центрированной функции равно нулю, поэтому ntg (/) = 0-0 = 0 и, следовательно, i (i) ^ X (t) Р' (i).

Искомая корреляционная функция

K^^Mli (tt) t (/,)! = М {\к (tt) f" (ti)] ik (tt) ^ Иг)}.

Перегруппируем сомножители под знаком математического ожидания:

Kz^M{[ Mti) * (^j)l & (ti) P (tt)]y

Учитывая, что заданные функции не коррелированы, получим / С , - М [к Иг) к (/,)! М [^ (tt) V(/,)!,

или Kg==^KxKy*

Корреляционная функция случайной функции равна корреля­ ционной функции центрированной функции (см. задачу 762), поэтому окончательно имеем Kg^K^K».

Xу

774.Доказать, что корреляционная функция произ­ ведения трех центрированных независимых случайных функций равна произведению корреляционных функций сомножителей.

775.Найти: а) математическое ожидание; б) корреля­ ционную функцию; в) дисперсию случайной функции Xit) = иcos2t, где U—случайная величина, причем Af((/) = 5, D((/) = 6.

Решение, а) Найдем искомое математическое ожидание (неслу­ чайный множитель cos 2/ вынесем за знак математического ожидания):

М[X (/)] :=M[U cos 2/J == cos 2/Af (6/)=5 cos 2/,

6)Найдем центрированную функцию:

336

Решение. Найдем математические ожидания:

ntj, {/) = М (t*U) = /*me. ту (t) = М (tW) = t^nia.

Найдем центрированные функции:

Найдем взаимную корреляционную функцию:

Rxy^MlS[{ti)l^(tt)]^М {[tl(У-та)][tl(U-ma)]} « =^tltlM HU—ma)^]-=-titlD{U)^Stltl.

Итак. /?^y=5/M

780. Доказать, что взаимная корреляционная функция случайных функций X{t) и К(/) равна взаимной корре­

ляционной функции центрированных функций X (t) и

Y{t).

78Ь Доказать, что при одновременной перестановке индексов и аргументов взаимная корреляционная функ­ ция двух случайных функций не изменяется: Rxyi^if t^) =

782. Задана взаимная корреляционная функция Rxyitif '2) = cos(a<i-f PQ. Написать взаимную корреля­ ционную функцию Ryxitif ^t)*

337

783. Найти нормированную взаимную корреляционную функцию случайных функций X (t) — Ш н Y(t) = (t + l)U^ где и—случайная величина, причем дисперсия D{U)==i

=10.

§2. Характеристики суммы случайных функций

Теорема 1. Математическое ожидание суммы конечного числа случайных функций равно сумме математических ожиданий слагаемых.

С л е д с т в и е . Математическое ожидание суммы случайной функции и случайной величины равно сумме их математических ожи­ даний.

Теорема 2. Корреляционная функция суммы двух коррелированных случайных функций равна сумме корреляционных функций слагаемых и взаимной корреляционной функции, которая прибавляется дважды

Теорема обобщается на п попарно коррелированных функций:

если К (О = 2 Х/(/). то

ванных случайных функций равна сумме корреляционных функций сла­

ляционной функции случайной функции и дисперсии случайной вели­ чины.

784. Заданы корреляционные и взаимные корреляци­ онные функции случайных функций X(t) и Y (t). Найти корреляционную функцию случайной функции Z(t)=^ == X(t) + Y (t), если рассматриваемые функции: а) коррелированы; б) не коррелированы.

785. Известны математические ожидания rrij^ (t) = 2t + + 1, /Пу(/) = < — 1 и корреляционные функции Кх==^^2>

786. Заданы корреляционные и взаимные корреляци­ онные функции случайных функций X (/) и У (t). Найти

338

— ^Xi (t) п коррелированных случайных функций можно записать в виде /Су = S Кж-х^-

/«Г

789. Найти математическое ожидание, корреляцион­

D{V)^2.

У к а з а н и е . Принять во внимание, что величины (/ и V не корре­ лированы, поэтому их корреляционный момент М [U-^m^) (У-^Шр)]» « 0 .

791. Найти математическое ожидание, корреляцион­ ную функцию и дисперсию случайной функции X (О = в £/cos2<+V^sin/ + 'f где U и V—некоррелированные случайные величины, причем M{U) = 1, Af (10 = 2, D((y) = - 3 , D(K)«4.

У к а з а н и е . Прибавление к случайной функции неслучайного слагаемого / не изменяет ее корреляционной функции, поэтому дос­ таточно найти корреляционную функцию случайной функции Y (/) =»

792. Заданы случайные функции X(t) ^Ucost+Vsxn t, K(^)e:f/cos3/ + V^sin3/, где U HV—некоррелированные случайные величины, причем Af ((/)»M(1/)»0» D(U) = a«D(V)«5. Найти нормированную взаимную корреля­ ционную функцию PxyUif ^)-

793. Найти корреляционную функцию случайной функции X (<)=(/lCOsa)^/^-ViSina)J<+t/aCOSft^,<+^'^siп(o,^

339