_gmurman2[1]

Так как |1^набл1<^кр—нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Другими словами, наблюдаемая относительная частота 0,14 незначимо отличается от гипотетической вероятности 0,20.

587. Решить задачу 586 при конкурирующей гипо­ тезе Н{: р < Ро-

ф(и^р)=:(1—2а)/2 = (1—2.0,05)72 = 0,45.

По таблице функции Лапласа находим £/кр=Ьб45. Следовательно, граница левосторонней критической области щ^^ = —1,645.

Так как б^пабл > "кр — нет оснований отвергнуть нулевую ги­ потезу (правило 3).

588. Партия изделий принимается, если вероятность того, что изделие окажется бракованным, не превышает

По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид р > Ро, поэтому критическая область — правосторонняя. Найдем критическую точку i/^p правосторонней критической области из равенства (правило 2)

ф («кр) =(1'—2.0,05)/2=0,45.

По таблице функции Лапласа (см. приложение 2) находим «кр = 1,645.

Так как ^«абл < "кр—и^т оснований отвергнуть гипотезу о том, что вероятность брака в партии не превышает 0,02. Таким образом, партию можно принять.

589. Партия изделий принимается, если вероятность того, что изделие окажется бракованным, не превышает 0,03. Среди случайно отобранных 400 изделий оказалось 18 бракованных. Можно ли принять партию?

230

590. Завод рассылает рекламные каталоги возможным заказчикам. Как показал опыт, вероятность того, что организация, получиви1ая каталог, закажет, рекламируе­ мое изделие, равна 0,08. Завод разослал 1000 каталогов новой улучшенной формы и получил 100 заказов. Можно ли считать, что новая форма рекламы оказалась значимо эффективнее первой?

а= 0,05,

591.В результате длительных наблюдений установ­ лено, что вероятность полного выздоровления больного, принимавшего лекарство Л, равна 0,8. Новое лекарство В назначено 800 больным, причем 660 из них полностью выздоровели. Можно ли считать новое лекарство значимо эффективнее лекарства А на пятипроцентном уровне зна­ чимости?

У к а з а н и е . Принять HQI р=:0,8; Н^: р уЬ 0,8.

§ 9. Сравнение нескольких дисперсий нормальных генеральных совокупностей

по выборкам различного объема. Критерий Бартлетта

Пусть генеральные совокупности Хх, Лг, . . . , Xi распределены нормально. Из этих совокупностей извлечены независимые выборки, вообще говоря, различных объемов /г/ (некоторые объемы могут быть одинаковыми; если все выборки имеют одинаковый объем, то пред­ почтительнее пользоваться критерием Кочрена, который приведен в следующем параграфе). По выборкам найдены исправленные выбо­ рочные дисперсии Si, Sj, . . . , sj. Требуется при уровне значимости а проверить нулевую гипотезу об однородности дисперсий, т. е. гипо­ тезу о равенстве между собой генеральных дисперсий:

Яог D (Хг) = D (А:.,) = . . . = D (Л:,).

Введем обозначения: ki = ni—1 —число степеней свободы дисперсии sf;

231

B=V/C—случайная величина (критерий Бартлетта), которая при условии справедливости гипотезы об однородности дисперсий распределена приближенно как х^ с I—1 степенями свободы, если объем каждой выборки Лх^4.

Правило. Для того чтобы при заданном уровне значимости а проверить нулевую гипотезу об однородности дисперсий нормальных совокупностей^ надо вычислить наблюдаемое значение критерия Барт­ летта Bnn^ji=^V/C и по таблице критических точек распределения х-, по уровню значимости а и числу степеней свободы I—1 (I—число выборок) найти критическую точку Хкр (а*. ^—О правосторонней критической области). Если ^набл < Хкр—нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если В„абл > Хкр—нулевую гипотезу отвергают.

З а м е ч а н и е 1. Не следует торопиться вычислять постоян­ ную С. Сначала надо найти V и сравнить с Хкр* ^^^^ окажется, что V < Хкр. то подавно (так как С > 1) B=^V/C < Хкр и, следовательно, С вычислять не нужно. Если же V > ХКР» ТО надо вычислить С и за­

592. По трем независимым выборкам, объемы которых ni=9, « , = 13 и Пз = 15, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей, найдены исправленные выбо­ рочные дисперсии, соответственно равные 3,2; 3,8 и 6,3. Требуется при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу об однородности дисперсий.

персий нет оснований. Другими словами, выборочные дисперсии различаются незначимо.

593. По данным задачи 592 требуется оценить гене­ ральную дисперсию рассматриваемых генеральных сово­ купностей.

232

Т а б л и ц а 10

Р е ш е н и е . Поскольку в результате решения предыдущей задачи установлена однородность дисперсий, то в качестве оценки генераль­ ной дисперсии примем среднюю арифметическую исправленных дис­ персий, взвешенную по числам степеней свободы:

D?=:$2 = ( 2 М)/^ = 159,4/34 с^ 4,7.

594. Можно ли воспользоваться критерием Бартлетта для проверки гипотезы об однородности дисперсий по

нормальных генеральных совокупностей, найдены исправ­ ленные выборочные дисперсии, соответственно равные 2,5; 3,6; 4,1; 5,8. Требуется: а) при уровне значимости 0,05 проверить гипотезу об однородности дисперсий; б) оце­ нить генеральную дисперсию.

596. Четыре исследователя параллельно определяют процентное содержание углерода в сплаве, причем первый иcCv^eдoвaтeль произвел анализ 25 проб, второй — 33, тре­ тий— 29, четвертый — 33 проб. «Исправленные» выбороч­ ные средние квадратические отклонения оказались соот­ ветственно равными 0,05; 0,07; 0,10; 0,08.

Требуется при уровне значимости 0,01 проверить гипо­ тезу об однородности дисперсий, в предположении, что процентное содержание углерода в сплаве распределено нормально.

У к а з а н и е . Для упрощения вычислений принять г/ = 100 s/.

233

597. Сравниваются четыре способа обработки изделий. Лучшим считается тот из; способов, дисперсия контроли­ руемого параметра которого меньше. Первым способом обработано 15, вторым — 20, третьим — 20, четвертым — 14 изделий. Исправленные выборочные дисперсии s? соот­ ветственно равны: 0,00053; 0,00078; 0,00096; 0,00062. Можно ли отдать предпочтение одному из способов, при уровне значимости 0,05? Предполагается, что контроли­ руемый параметр распределен нормально.

У к а 3 а II и е. Для упрощения вычислений принять rf= 100000s?*

598. Требуется сравнить точность обработки изделий на каждом из трех станков. С этой целью на первом станке было обработано 20, на втором—25, на третьем — 26 изделий. Отклонения X, У и Z контролируемого раз­ мера от заданного оказались следуюш.ими (в десятых долях мм):

отклонения для изделий

первого станка Х/ 2 4 6 8 9 частота П/ 5 6 3 2 4

отклонения для изделий

второго станка (// 1 2 3 5 7 8 12 частота т^ 2 4 4 6 3 5 1

отклонения для изделий третьего станка г^ 2 3 4 7 8 10 14

а) Можно ли считать, что станки обеспечивают оди­ наковую точность при уровне значимости 0,05 в предполо­ жении, что отклонения распределены нормально?

б) Исключив из рассмотрения третий станок (диспер­ сия отклонений этого станка — наибольшая), с помощью критерия Фишера—Снедекора убедиться, что первый и второй станки обеспечивают одинаковую точность обра­ ботки изделий.

§ 10. Сравнение нескольких дисперсий нормальных генеральных совокупностей по выборкам одинакового объема. Критерий Кочрена

Пусть генеральные совокупности Xi, Хг, ...» Xi распределены нормально. Из этих совокупностей извлечены / независимых выбо­ рок одинакового объема п и по ним найдены исправленные выбороч-

234

ные дисперсии si, S2, ...» s/, все с одинаковым числом степеней сво­ боды k = n — I. Требуется при уровне значимости а проверить нуле­ вую гипотезу об однородности дисперсий, т. е. гипотезу о равенстве между собой генеральных дисперсий:

Щ: D (Х|) = D (Х2) = . . . = D (X,).

sl+4+...+sy

Распределение этой случайной величины зависит только от числа степеней свободы k=^n—1 и количества выборок 1. Для проверки нулевой гипотезы строят правостороннюю критическую область.

Правило. Для того чтобы при заданном уровне значимости а проверить гипотезу об однородности дисперсий нормально распреде­ ленных совокупностей, надо вычислить наблюдаемое значение критерия

^набл == Smax/(si + sf + . . . + S?)

и по таблице критических точек распределения Кочрена (см. при» ложение8) найти критическую точку G^cp (а; k; /). Если (/„абл < ^кр—' нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если 0„абл > ^кр — нулевую гипотезу отвергают.

З а м е ч а н и е . При условии однородности дисперсий независи­ мых выборок одинакового объема в качестве оценки генеральной дисперсии принимают среднюю арифметическую исправленных дис­ персий.

599. По четырем независимым выборкам одинакового объема п = 17, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей, найдены исправленные выборочные дис­ персии: 0,21; 0,25; 0,34; 0,40.

Требуется: а) при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу об однородности дисперсий (критиче­ ская область—правосторонняя); б) оценить генеральную дисперсию.

Р е ш е н и е , а) Найдем наблюдаемое значение критерия Коч­ рена—отношение максимальной исправленной дисперсии к сумме всех дисперсий:

Онабл=0,40/(0,21+0,25 + 0,34+0,40)=-1-.

Найдем по таблице критических точек распределения Кочрена (см. приложение 8) по уровню значимости 0,05, числу степеней сво­ боды k = n — 1 = 1 7 — 1 = 1 6 и числу выборок/ = 4 критическую точку Скр(0,05; 16; 4) =0,4366.

235

6) Поскольку однородность дисперсий установлена, в качестве оценки генеральной дисперсии примем среднюю арифметическую исправленных дисперсий:

Dr = (0,21+0,25 + 0,34 + 0,40)/4=0,3.

600. По шести независимым выборкам одинакового объема п = 37, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей, найдены исправленные выборочные дис­ персии: 2,34; 2,66; 2,95; 3,65; 3,86; 4,54.

Требуется проверить нулевую гипотезу об однород­ ности дисперсий: а) при уровне значимости 0,01; б) при уровне значимости 0,05.

601. Доказать^ что наблюдаемое значение критерия Кочрена не изменится, если все исправленные диспер­ сии умножить на одно и то же постоянное число.

602. По пяти независимым выборкам одинакового объема п==37, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей, найдены «исправленные» средние квадратические отклонения: 0,00021; 0,00035; 0,00038; 0,00062; 0,00084.

Требуется при уровне значимости 0,05 проверить нуле­ вую гипотезу об однородности дисперсий.

У к а з а н и е . Умножить предварительно все средние квадратические отклонения на 10*.

603. Четыре фасовочных автомата настроены на отве­ шивание одного и того же веса. На каждом автомате отвесили по 10 проб, а затем эти же пробы взвесили па­ точных весах и нашли по полученным отклонениям ис­ правленные дисперсии: 0,012; 0,021; 0,025; 0,032: а) можно ли при уровне значимости 0,05 считать, что автоматы обеспечивают одинаковую точность взвешивания? б) оце­ нить генеральную дисперсию.

Предполагается, что отклонения зарегистрированного веса от требуемого распределены нормально.

604. Каждая из трех лабораторий произвела анализ

10 проб сплава для определения процентного содержания углерода, причем исправленные выборочные дисперсии оказались равными 0,045; 0,062; 0,093: а) требуется при уровне значимости 0,01 проверить гипотезу об однород­ ности дисперсий; б) оценить генеральную дисперсию.

Предполагается, что процентное содержание углерода

всплаве распределено нормально.

605.Проверяется устойчивость (отсутствие разладки) работы станка по величине контролируемого размера

236

изделий. С этой целью каждые 30 мин отбирали пробу из 20 изделий; всего взяли 15 проб. В итоге измерения отобранных изделий были вычислены исправленные дис­ персии (их значения приведены в табл. 11).

Можно ли при уровне значимости 0,05 считать, что станок работает устойчиво (разладка не произошла)?

Предполагается, что контролируемый размер изделий распределен нормально.

У к а з а н и е . Используя таблицу приложения 8, выполшиь линейную интерполяцию.

§ 11. Сравнение двух вероятностей биномиальных распределений

Пусть в двух генеральных совокупностях производятся незави­ симые испытания: в результате каждого испытания событие А может появиться в первой совокупности с неизвестной вероятностью PJ, а во второй—с неизвестной вероятностью р*- По выборкам, извлечен­ ным из первой и второй совокупностей, найдены соответственные частоты:

вами, требуется установить, значимо или незначимо различаются относительные частоты Wi и w^-

стей появления события в двух генеральных совокупностях (имеющих биномиальные распределения) при конкурирующей гипотезе Н^: р^фр^,

237

надо вычислить наблюдаемое значение критерия

отвергнуть нулевую гипотезу. Если |^/набд1>^кр—нулевую гипо­ тезу отвергают.

Правило 2. При конкурирующей гипотезе Я^: pi > р% находят критическую точку правосторонней критической области по равен­ ству ф(//^р) = (1—2а)/2. Если £/пабл < "кр—'^^''^ оснований отверг­ нуть нулевую гипотезу. Если б^иабл > "кр—нулевую гипотезу от­ вергают.

Правило 3. При конкурирующей гипотезе Hyi Pt < Рг находят критическую точку (/^р ^^ правилу 2, а затем полагают границу левосторонней критической области </кр== — «кр» Если (/набл >—^кр— нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если £/пабл <—<^кр — нулевую гипотезу отвергают.

о равенстве вероятностей отказа элементов обоих устройств

«кр = Ь96. Так как | (У|,абл1 < "кр—нет оснований отвергнуть нуле­ вую гипотезу. Другими словами, вероятности отказа элемента обоих устройств различаются незначимо.

607. В партии из 500 деталей, изготовленных первым станком-автоматом, оказалось 60 нестандартных; из 600 де­ талей второго станка 42 нестандартных. При уровне зна­ чимости 0,01 проверить нулевую гипотезу//фГ Pt = P2^P о равенстве вероятностей изготовления нестандартной детали обоими станками при конкурирующей гипотезе ffi' РхФР^^

238

608. Для оценки качества изделий, изготовленных двумя заводами, взяты выборки «i = 200 и/Zo = 300 изде­ лий. В этих выборках оказалось соответственно /71^ = 20

о равенстве вероятностей изготовления бракованного из­ делия обоими заводами при конкурирующей гипотезе

У к а з а н и е . Построить правостороннюю критическую область.

609. Из 100 выстрелов по цели каждым из двух ору­ дий зарегистрировано соответственно mj^= 12 и т^=8 про­ махов. При уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу HQI PI= Р2 = Р О равенстве вероятностей промаха обоих орудий при конкурирующей гипотезе Hii РхФРг-

§ 12. Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента корреляции

Пусть двумерная генеральная совокупность (X, Y) распределена нормально. Из этой совокупности извлечена выборка объема п и по ней найден выборочный коэффициент корреляции Гд ?б 0. Требуется проверить нулевую гипотезу Я©- Гг=0 о равенстве нулю генераль­ ного коэффициента корреляции.

Если нулевая гипотеза принимается, то это означает, что X nY некоррелированы; в противном случае — коррелированы.

Правило. Для того чтобы при уровне значимости а проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента кор­ реляции нормальной двумерной случайной величины при конкурирующей гипотезе Hii г^ Ф О, надо вычислить наблюдаемое значение кри­ терия

610. По выборке объема /г =100, извлеченной из дву­ мерной нормальной генеральной совокупности (X, F), найден выборочный коэффициент корреляции Гв=0,2. Требуется при уровне значимости 0,05 проверить нуле­ вую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффи­ циента корреляции при конкурирующей гипотезе Я1:Гг=й=0.

Р е ш е н и е . Найдем наблюдаемое (эмпирическое) значение критерия:

Л,абл = '^вК?Г=:2/К1 —rS = 0,2V^100—2/Vl-~0,2« = 2.02.

239