_gmurman2[1]

/(jc) = 0,l е-**-'* в интервале (О, оо); вне этого интервала

кону Вейбулла, заданного плотностью вероятности/(х) = = (п/А:о)А:''-^е-^''/^« при л:>0; f{x) = 0 при х<0.

699. Найти явную формулу для разыгрывания не­ прерывной случайной величины X, распределенной по закону Релея, заданного плотностью вероятности f(x) =

=XA:/a^)e-^V2a« при л:>0; f{x) = 0 при л: < 0.

700.Найти явную формулу для разыгрывания непре­ рывной случайной величины X, заданной плотностью

702.Найти явную формулу для разыгрывания непре­ рывной случайной величины X, заданной плотностью вероятности /(л:) = (V2)sinjc в интервале (О, я); вне этого интервала /(х) = 0.

703.Найти явную формулу для разыгрывания не­ прерывной случайной величины X, заданной плотностью вероятности /(лг) = се-^*/(1—е-^^) в интервале (0,6); вне этого интервала / (х) = 0.

704.Найти методом суперпозиции явные формулы для разыгрывания непрерывной случайной величины X, заданной функцией распределения F(x)=l — (7з)(2е"'2*+ +е~зх)(о<л:<оо).

Р е ш е н и е . В соответствии с правилом 3 иредставим заданную функцию в виде

/^W = (V3)(l-e-3^) + (V3)(l~e-2^).

Функции, заключенные в, скобках, являются функциями распределе­ ния показательного закона, поэтому можно принять: Fi (х) = I —е"*^-^.

Введем в рассмотрение вспомогательную дискретную случайную величину Z с законом распределения

Z 1 2 р 1/3 2/3

300

Решив эти уравнения, получим:

д:=[ —1п(1—Г2)]/3, если r-i < 1/3; дг=[—.jn(l—/'2)]/2, если Г1^1/3.

Приняв во внимание, что случайные величины /? и I —/? в ин­ тервале (О, 1) распределены одинаково, окончательно имеем более

705. Найти методом суперпозиции явные формулы для разыгрывания непрерывной случайной величины X, задай-

708. а) Найти методом суперпозиции явные формулы для разыгрывания непрерывной случайной величины X,

301

709. а) Найти методом суперпозиции явные формулы для разыгрывания непрерывной случайной величины X, заданной плотностью вероятности f {х) = (5/12)[1+{х—1)*] в интервале (О, 2); вне этого интервала f{x) = 0.

б) Показать, что метод обратных функций требует решения уравнения пятой степени {х^—1)^4-5х/ — (12г;—

— 1) = 0.

§ 4. Приближенное разыгрывание нормальной случайной величины

Требуется приближенно разыграть нормальную случайную ве­ личину.

Правило. Для того чтобы приближенно разыграть возможное значение х/ нормальной случайной величины X с параметрами а = 0

средним квадратическим отклонением а, то, разыграв возможное значение Х( по приведенному выше правилу, находят искомое воз­ можное значение по формуле

710. Разыграть четыре возможных значения нормаль­ ной случайной величины с параметрами: а) а = 0, а = 1 ; б) а = 2, а = 3.

Р е ш е н и е , а) В соответствии с правилом разыграем возмож­ ное значение дг] нормальной случайной величины X с параметрами а = 0 и а = 1 по формуле

12

/=i

Выберем из второй строки таблицы приложения 9 первых 12 слу­ чайных чисел: 0,37; 0,54; 0,20; 0,48; 0,05; 0,64; 0,89; 0,47; 0,42; 0,96; 0,24; 0,80. Сложив эти числа, получим 5i=6,06. Искомое возможное значение JCI=5I — 6=6,06 — 6=0,06 .

Аналогично, выбрав из третьей, четвертой и пятой строк таб­ лицы по 12 первых случайных чисел, получим: 52=4,90, 5з=4,48, 54=6,83. Следовательно, JC2=4.90—6=—1,10; ;сз = 4,48—6=—1,52; Ж4 =6.83—6=0,83.

б) Найдем возможные значения нормальной случайной величины Z с параметрами а = 2 , а = 3 по формуле z/=0X/-f-a. Подставив воз­ можные значениях{=0,06, а = 2 . а = 3 . получим ei=3 - 0,06+2=2 . 18 .

302

Аналогично найдем остальные возможные значения: 22=*—1,3, Z8 = — 2,56, 24=4.49.

711. Разыграть пять возможных значений нормаль­ ной случайной величины с параметрами: а)а = 0, а = 1 ; б) а= 10, а = 2.

У к а з а н и е . Для определенности выбрать по 12 первых дву­ значных чисел последних пяти строк таблицы приложения 9 и ум­ ножить каждое двузначное число на 0,01.

712. Разыграть пять возможных значений нормаль­ ной случайной величины с параметрами: а) а = 0, а==1; б) а = 4, 0 = 0,1.

У к а з а н и е . Для определенности выбрать по 12 первых трех­ значных чисел из первых пяти строк таблицы приложения 9 и умно­ жить каждое трехзначное число на 0,001.

713. Разыграть 50 возможных значений нормальной случайной величины X с параметрами а = 0 , а = 1 и оце­ нить параметры разыгранной величины.

§5. Разыгрывание двумерной случайной величины

А.Дискретная двумерная случайная величина. Разыгрывание дис­ кретной двумерной случайной величины (X, К) сводится к разыг­ рыванию ее составляющих—одномерных дискретных случайных вели­ чин X и Y.

Пусть задан закон распределения двумерной случайной вели­

714. Дискретная двумерная случайная величина (X, У), составляющие которой независимы, задана законом распределения:

Разыграть случайную величину (X, Y).

303

Р е ш е н и е . Найдем закон распределения составляющей X:

Pi = P ( X = X i ) = 0 , 1 8 + 0 , l 2 = 0 , 3 0 . р,==:Р (Х=Жа)= 0,30+0,20 =0,50, Рз=::Р(Х=Хз)=0,12 + 0.08=0.20.

Таким образом, искомый закон распределения имеет вид

X Xi х% Ж)

р0,30 0,50 0,20

Аналогично найдем закон распределения К:

УУх У%

р0,60 0,40

0>ставляющие X и У разыгрывают по правилу § I.

715, Разыграть пять пар возможных значений дву­ мерной случайной величины (X, К), составляющие кото­ рой независимы, зная закон ее распределения:

У к а з а н и е . Для определенности принять при разыгрывании X случайные числа: 0,98; 0,52; 0,01; 0,77; 0,67, а при разыгрывании К—числа 0,11; 0,80; 0,50; 0,54; 0,31.

зыгрыванию ее составляющих—одномерных случайных величин X и К.

304

Пусть задан закон распределения двумерной случайной вели­ чины (X, У). Если составляющие X и К н е з а в и с и м ы , то нахо­ дят законы их распределения и по ним разыгрывают X и Y по пра­ вилам § 3.

2.Функция совместного распределения равна произведению функций распределения составляющих.

3.Условные плотности распределения составляющих равны их безусловным плотностям.

4.Плотность совместного распределения равна произведению

717. Найтр! явные формулы для разыгрывания непре­ рывной двумерной случайной величины (X, Y), заданной плотностью вероятности / (х, у) = (V^) ху* в области, огра­

в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от JC, а другая только от у.

Найдем плотность распределения составляющей X:

Итак, /, (дг)=2дг (0 < дг < I). Разыграем X по правилу 2 (§ 3):

2 [х dx^ri.

Отсюда получим явную формулу для вычисления возмч)жных значе­ ний X:

Xi^ Y7T.

Найдем плотность распределения составляющей К:

(Ve) \ У^^У^П.

305

Отсюда получим явную формулу для вычисления возможных вначений у:

718. Найти явные формулы для разыгрывания дву­ мерной непрерывной случайной величины (X, К), задан­

распределена в интервале'(Х;,Х/+3) с плотностью/,(у)= 1/3,

yi:=3/i+Xi,

где JC/ находят по формуле (•).

720.Найти явные формулы для разыгрывания непре­ рывной двумерной случайной величины (X, К), если со­ ставляющая X задана плотностью вероятности /^ (х)=(2х)/9

винтервале (О, 3); составляющая Y равномерно распре­ делена в интервале (х^ —2, Х/ + 2) с плотностью /, (у) = 1/4, где Xf—разыгранное возможное значение X.

721.Найти явные формулы для разыгрывания непре­ рывной двумерной случайной величины (X, К), заданной плотностью вероятности /(;с, у) = 6у в области, ограни­ ченной прямыми у = 0, у — х, х = 1 .

/i(*) = $/(*. у) dy=65ydy=3*MO<«<l).

306

Разыграем X по правилу 2 (§ 3):

'/

3 Cx2d;c = r/.

о

Отсюда получим явную формулу для вычисления возможных значений X:

ж/=И^г/. (•)

Найдем условную плотность вероятности составляющей К: * (I/ U) = / {X. y)lh {X) = фу)1(гх^) = (2у)1х\

Разыграем Y по правилу 2 (§ 3):

{2lx^)^y6y^rl

о

Отсюда получим явную формулу для вычисления возможных зна­ чений Yi

yt^XiV^i.

где X/ находят по формуле («).

722. Найти явные формулы для разыгрывания непре­ рывной двумерной случайной величины (X, К), заданной

§ 6. Оценка надежности простейших систем методом Монте-Карло

724. Система состоит из двух блоков, соединенных последовательно. Система отказывает при отказе хотя бы одного блока. Первый блок содержит два элемента: Л, В (они соединены параллельно) и отказывает при одновременном отказе обоих элементов. Второй блок со­ держит один элемент С и отказывает при отказе этого элемента, а) Найти методом Монте-Карло оценку Р* на­ дежности (вероятности безотказной работы) системы, зная вероятности безотказной работы элементов: Р(Л) = 0,8,

307

Р (В) = 0,85, Р(С) = 0,6; б) найти абсолютную погреш­ ность \Р — Р*|, где Р — надежность системы, вычисленная аналитически. Произвести 50 испытаний.

Р е ш е н и е , а) Выберем из таблицы приложения 9 три случай­ ных числа: 0,10, 0,09 и 0,73; по правилу *> (если случайное число меньше вероятности события, то событие наступило; если случайное число больше или равно вероятности события, то событие не насту­ пило) разыграем события А, В, С, состоящие в безотказной работе соответственно элементов >!, В, С. Результаты испытания будем записывать в расчетную табл. 57.

табл. 57 ставим знак минус.

Аналогично разыгрываются и остальные испытания. В табл. 57 приведены результаты четырех испытаний.

Произведя 50 испытаний, получим, что в 28 из них система работала безотказно. В качестве оценки искомой надежности Р при* мем относительную частоту Р* = 28/50 =0,56.

308

б) Найдем надежность системы Р аналитически. Вероятности безотказной работы первого и второго блоков соответственно равны:

Pi = l — Р(Л)Я(Б) = 1—0,2.0,15==0.97, P2=-P{C) = 0fi. Вероятность безотказной работы системы

P = P i . P 2 = 0,97 0,6=0,582.

дого блока соединены параллельно, а) Найти методом Монте-Карло оценку Р* надежности системы, зная вероят­

параллельно, а) Найти методом Монте-Карло оценку Р* надежности системы, зная вероятности безотказной работы элементов: Я (Л) = 0,8; Р (В) = 0,9; Р (С) = 0,7; Р (D)=0,75;

надежность системы, вычисленная аналитически. Произ­ вести 30 испытаний.

У к а з а н и е . Для определенности брать случайные числа из таблицы приложения 9, начиная с первой строки сверху.

727. Устройство состоит из двух узлов, соединенных последовательно. Первый узел содержит два элемента: Л, В, которые соединены параллельно. Второй узел со­ держит один элемент С. Время безотказной работы эле­ ментов распределено по показательному закону с пара­ метрами, соответственно равными 0,04; 0,05; 0,10. Найти методом Монте-Карло: а) оценку Р* вероятности безот­ казной работы устройства за время длительностью 10 ч; б) среднее время безотказной работы устройства. Произ­ вести 50 испытаний.

309