_gmurman2[1]

чем объединим малочисленные частоты ( 4 + 2 + 1 = 7 ) и соответст­ вующие им теоретические частоты (6,30+2,32+0,84=9,46).

нения малочисленных частот целесообразно объединить и сами интер­ валы, которым принадлежат малочисленные частоты, в один интервал. Так, в рассматриваемой задаче, объединив последние три интервала, получим один интервал (15, 30). В этом случае теоретическая частота

П4=-пР (15<Х< 30)=200.0,0473=9,46

совпадает с суммой теоретических частот (9,46), приведенной в табл. 32.

Из табл. 32 находим: Хнабл — 1 >29. По таблице критических точек распределения х^ (<^^- приложение 5), по уровню значимости а=0,05 и числу степеней свободы ^ = s — 2 ^ 4 — 2 = 2 находим крити­ ческую точку правосторонней критической области Хкр(0,05; 2)=6,0.

Так как Хнабл < Хкр—нет оснований отвергнуть гипотезу о рас­ пределении X по показательному закону. Другими словами, данные наблюдений согласуются с этой гипотезой.

649. В итоге испытания 450 ламп было получено эмпирическое распределение длительности их горения, приведенное в табл. 33 (в первом столбце указаны интер-

270

валы в часах, во втором столбце—частота П/, т. е. коли­ чество ламп, время горения которых заключено в пределах соответствующего интервала).

Требуется при уровне значимости 0,01 проверить гипотез*у о том, что время горения ламп распределено по показательному закону.

650. В итоге испытаний 1000 элементов на время безотказной работы получено эмпирическое распределение, приведенное в табл. 34 (в первом столбце указаны интер­ валы времени в часах; во втором столбце—частота П/, т. е. количество отказавших элементов в /-м интервале).

гипотезу о том, что время безотказной работы элементов распределено по показательному закону.

651. В итоге регистрации времени прихода 800 посе­ тителей выставки (в качестве начала отсчета времени принят момент открытия работы выставки) получено эмпирическое распределение, приведенное в табл. 35 (в первом столбце указаны интервалы времени; во втором

271

требуется при уровне значимости 0,01 проверить гипотезу о том, что время прихода посетителей выставки распределено по показательному закону,

§ 19. Проверка гипотезы о распределении генеральной совокупности по биномиальному закону

Произведено п опытов. Каждый опыт состоит из N независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А одна и та же. Регистрируется число появлений события А в каж­ дом опыте. В итоге получено следующее распределение дискретной случайной величины X — числа появлений события А (в первой строке указано число дг/ появлений события А в одном опыте; во второй строке—частота л/, т. е. число опытов, в которых зарегист­ рировано XI появлений события А):

652. Произведено п=100 опытов. Каждый опыт со­ стоял из Л/" = 1 0 испытаний, в каждом из которых вероятность р появления события А равна 0,3. В итоге получено следующее эмпирическое распределение (в пер­ вой строке указано число х^ появлений события А в одном опыте; во второй строке—частота п,-, т. е. число опытов, в которых наблюдалось х^ появлений события А):

272

требуется при уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о том, что дискретная случайная величина X (число появлений события А) распределена по бино­ миальному закону.

Р е ш е н и е . 1. По формуле Бернулли

Ро ==^10(0) =0,710 =0.0282; Pi = P,o(l) = 100,3.0,7»=0.1211.

критерия Пирсона. Для этого составим расчетную табл. 36. Поскольку частота По=2 малочисленная (меньше пяти), объединим ее с часто­ той /1|^=10 и в таблицу запишем 2 + 1 0 = 12; в качестве теоретиче­ ской частоты, соответствующей объединенной частоте 12, запишем

находим критическую точку правосторонней критической области Хкр(0.05; 4) =9,5.

Так как Хнабл < Хкр—нет оснований отвергнуть гипотезу о бино­ миальном распределении X.

273

653. Опыт» состоящий в одновременном подбрасывании четырех монет, повторили 100 раз. Эмпирическое рас­ пределение дискретной случайной величины X—числа появившихся «гербов»—оказалось следующим (в первой строке указано число дс/ выпавших «гербов» в одном бросании монет; во второй строке—частота л^ т. е. число бросаний, при которых выпало JC/ «гербов»):

лг/ О 1 2 3 4 п, 8 20 42 22 8

Требуется при уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о том, что случайная величина X распределена по биномиальному закону.

У к а з а н и е . Принять вероятность выпадения «герба» р»0,5 .

654. Отдел технического контроля проверил п=100 партий изделий по Л^==10 изделий в каждой партии и получил следующее эмпирическое распределение дискрет­ ной случайной величины X—числа нестандартных изде­ лий (в первой строке указано число л:,* неста1(дартных изделий в одной партии; во второй строке—частота п,., т. е. количество партий, содержащих лг/ нестандартных изделий):

вероятности того, что наудачу взятое изделие окажется нестандартным. 2. При составлении расчетной таблицы для сравнения эмпирических и теоретических частот с помощью критерия Пирсона сле­

объединения частот число групп выборки s = 7.

3. Один параметр (вероятность р) оценивался по выборке, поэтому

следующее эмпирическое распределение (в первой строке указано число лг/ поврежденных книг в одной выборке;

274

во второй строке—частота П/, т. е. количество выборок, содержащих дс,- поврежденных книг):

Требуется, используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о том, что дискрет­ ная случайная величина X (число поврежденных книг) распределена по биномиальному закону.

У к а з а н и е . Принять во внимание указания к задаче 654.

§ 20. Проверка гипотезы о равномерном распределении генеральной совокупности

Задано эмпирическое распределение непрерывной случайной величины X в виде последовательности интервалов jc/«i—Xi и соот­ ветствующих им частот Л/, причем 2л/^=/1 (объем выборки). Тре­ буется» используя критерий Пирсона, проверить гипотезу о том, что случайная величина Л^,распределена равномерно.

Правило. Для того чтобы проверить гипотезу о равномерном распределении X, т, е, по закону

надо:

1. Оценить параметры а и b—концы интервала^ в котором наблюдались возможные значения X, по формулам (через а* и Ь* обозначены оценки параметров):

а* =jrB— V^ ав, 6* =Хв+ У^З'ов.

2.Найти плотность вероятности предполагаемого распределения

/( j r ) = l / ( 6 * - a * ) .

3.Найти теоретические частоты:

n[=nPi^ninx){xi'-a'')]==n-^^rz^(Xi—a*);

Пз=Пз = . . . =п^.-1==П'.» ^ {Xi—Jf/-i), (i = 2 , 3, . . . . s — 1);

ns=n'^^_^^{b*--Xs^^).

4. Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона, приняв число степеней свободы /s = s—3, еде s — число интервалов, на которые разбита выборка.

656. Почему параметры а и b равномерно распреде­ ленной случайной величины X оцениваются по формулам

а*=х^ — УТо^, Ь* = х^ + \/То^?

275

Р е ш е н и е. Известно, что в качестве оценок математического ожидания и среднего квадратического отклонения случайной вели­ чины X можно принять соответственно выборочную среднюю лг^ и

выборочное среднее квадратическое отклонение о^.

Известно также (см. гл. VI, задачи 313, 315), что для равно­ мерного распределения математическое ожидание и среднее квадра­ тическое отклонение соответственно равны:

657. Почему при проверке с помощью критерия Пирсона гипотезы о равномерном распределении гене­ ральной совокупности X число степеней свободы опре­ деляется из равенства k = s—3, где s—число интервалов выборки?

Р е ш е н и е . При использовании критерия Пирсона число сте­ пеней свободы Af=s—1—г, где г—число параметров, оцениваемых по выборке. Равномерное распределение определяется двумя пара­ метрами а и 6. Так как эти два параметра оцениваются по выборке, то г = 2 и, следовательно, число степеней свободы/; = s—1—2 = s—3.

658. Произведено п==200 испытаний» в результате каждого из которых событие А появлялось в различные моменты времени. В итоге было получено эмпирическое распределение, приведенное в табл. 37 (в первом столбце указаны интервалы времени в минутах, во втором столбце— соответствующие частоты, т. е. число появлений события А в интервале). Требуется при уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о том, что время появления событий распределено равномерно.

276

Р е ш е н и е . 1. Найдем оценки параметров а и b равномерною распределения по формулам:

Для вычисления выборочной средней дг„ и выборочного сред­ него квадратического отклонения а^ примем середины Xi интервалов в качестве вариант (наблюдаемых значений X), В итоге получим эмпирическое распределение равноотстоящих вариант:

2.Найдем плотность предполагаемого равномерного распре­ деления:

/(л-) = 1/(/Ь*—а*) =1/(22,36—2,26) = 0,05.

3.Найдем теоретические частоты:

/г1 = л/(д:) (дгх —а*) = 200.0,05.(4—2,26)=17,4;

Л2 = 200.0,05(А:2 —A:I) = 1 0 ( 6 —4) = 20.

Длины третьего—девятого интервалов равны длине второго интервала, поэтому теоретические частоты, соответствующие этим интервалам и теоретическая частота второго интервала одинаковы, т. е.

л1о = 200.0,05.(6* — л-в)= 10.(22,36 —20)---23,6.

4. Сравним эмпирические и теоретические частоты, используа критерий Пирсона, приняв число степеней свободы k = s—3 = == 10—3 = 7. Для этого составим расчетную табл. 38.

277

Из расчетной таблицы получаем Хнабл~^»^^'

Найдем по таблице критических точек распределения х* (см. приложение 5) по уровню значимости а=0,05 и числу степеней свободы k = s—3= 10—3 = 7 критическую точку правосторонней кри­ тической области Xl^p{0fi5; 7) = 14,1.

Так как Хнабл ^ ^кр—"^ оснований отвергнуть гопотезу о равномерном распределении X. Другими словами, данные наблюде­ ний согласуются с этой гипотезой.

вес. в некоторой местности в течение 300 сут ре­ гистрировалась среднесуточная температура воздуха. В итоге наблюдений было получено эмпирическое распре­ деление, приведенное в табл. 40 (в первом столбце указан интервал температуры в градусах, во втором столбце—частота /i/, т. е. количество дней, среднесу­ точная температура которых принадлежит этому интер­ валу).

278

Требуется при уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о том, что среднесуточная температура воздуха распределена равномерно.

661. В течение 10 ч регистрировали прибытие авто­ машин к бензоколонке и получили эмпирическое рас­ пределение, приведенное в табл. 41 (в первом столбце указан интервал времени в часах, во втором столбце — частота, т. е. количество машин, прибывших в этом

Требуется при уровне значимости 0,01 проверить гипотезу о том, что время прибытия машин распределено равномерно.

§ 21. Проверка гипотезы о распределении генеральной совокупности по закону Пуассона

Задано эмпирическое распределение дискретной случайной величи­ ны X. Требуется, используя критерий Пирсона, проверить гипотезу о распределении генеральной совокупности по закону Пуассона.

Правило. Для того чтобы при уровне значимости а проверить гипотезу о том, что случайная величина X распределена по закону Пуассона, надо:

1. Найти по заданному эмпирическому распределению выборочную среднюю дгв.

2.Принять в качестве оценки параметра А, распределения Пуассона выборочную среднюю X = Xj^.

3.Найти по формуле Пуассона (или по готовым таблицам) вероятности Pi появленияровно i событий в п испытаниях (i = 0,1,2,..., г,

где г — максимальное число наблюдавшихся событий; п — объем выборки/

4. Найти теоретические частоты по формуле п'^-п- Pi.

5. Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона, приняв число степеней свободы k = s-2, где s — число различных групп выборки (если производилось объединение малочисленных частот в одну группу, то s — число оставшихся групп выборки после объединения частот).

662. Отдел технического контроля проверил п = 200 партий одинаковых изделий и получил следующее эмпи-

279